精品解析：湖南省邵阳市洞口县洞口思源实验学校2020-2021学年九年级下学期第一次月考数学试题

初三数学试卷 （考试时间：90分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 数轴上到的距离是的点为（ ） A. 2 B. -2 C. 4或2 D. 4或-2 2. 在算式的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不等式x＜2的正整数解只有一个 B. -2是不等式2x-1＜0的一个解 C. 不等式-3x＞9的解集是x＞-3 D. 不等式x＜10的整数解有无数个 4. 如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 至2011年末，南通市户籍人口为万人，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，与相交于点，， ， ，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则＝( ) A. 2011＋671 B. 2012＋671 C. 2013＋671 D. 2014＋671 10. 如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：______． 12. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=______cm． 13. 将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，则这个大正方体铝块的棱长为______（不计损耗）． 14. 一组数据2、、4、1、0的中位数是__． 15. 如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为_______． 16. 求的值，可令 ， ， 因此．仿照以上推理， 计算出的值为 __________. 17. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 18. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则 的最小值为_____． 三、解答题（本大题共6个小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值，其中x满足方程 ． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 22. 某学校为了解八年级学生的课外阅读情况，钟老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图．根据图示信息，解答下列问题： （1）被抽查学生人数为______；课外阅读量的众数为______； （2）扇形统计图中的______；______； （3）将条形统计图补充完整； （4）若规定：假期阅读本以上（含本）课外书籍者为完成假期作业，据此估计该校名学生中，完成假期作业的有多少人？ 23. 如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离． （精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 24. 我区浙江中国花木城组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的苗木共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种苗木，由信息解答以下问题： 苗 木 品 种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨苗木获利（万元） 3 4 2 （1）设装A种苗木车辆数为x，装运B种苗木的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； （2）若装运每种苗木的车辆都不少于2辆，则车辆安排方案有几种？写出每种安排方案 （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润． 25. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、． （1）求和的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行，交AC于点D．设的长为m，的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接，求面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与相切的圆的面积（结果保留π）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 （考试时间：90分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 数轴上到的距离是的点为（ ） A. 2 B. -2 C. 4或2 D. 4或-2 【答案】D 【解析】 【分析】此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧． 【详解】在数轴上与表示1的点距离3个单位长度的点表示的数是1+3=4或1-3=-2． 故选D． 【点睛】此题考查了数轴，注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉任一种情况． 2. 在算式的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 【答案】D 【解析】 【分析】分别填上运算符号计算后比较大小． 【详解】当填入加号时：，当填入减号时：； 当填入乘号时：；当填入除号时：． ∵，∴这个运算符号是除号． 故选D． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不等式x＜2的正整数解只有一个 B. -2是不等式2x-1＜0的一个解 C. 不等式-3x＞9的解集是x＞-3 D. 不等式x＜10的整数解有无数个 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式整数解的知识，即可判定A与D，解不等式求得B，C的解集，可判断B，C，从而可得答案． 【详解】解：A、不等式x＜2的正整数解只有1，故该选项正确，不符合题意， B、2x-1＜0的解集为x＜，所以-2是不等式2x-1＜0的一个解，故该选项正确，不符合题意， C、不等式-3x＞9的解集是x＜-3，故该选项错误，符合题意， D、不等式x＜10的整数解有无数个，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的解的定义，不等式的解法以及不等式的整数解．此题比较简单，注意不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变． 4. 如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的主视图的画法，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中． 简单组合体的三视图． 【详解】从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加． 故选B． 5. 至2011年末，南通市户籍人口为万人，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将万用科学记数法表示为：， 故选：． 6. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥,由题意可知底面半径和母线长，从而求出侧面积即可. 【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为，母线长为1， 因此侧面面积为×π×1＝π. 故本题答案为：D. 【点睛】本题主要考查了根据三视图判断几何体和圆锥侧面积计算公式，圆锥的侧面积是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长，根据三视图判断该几何体为圆锥是解题的关键. 7. 如图，已知，与 相交于点，， ， ，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可证明得出，即可得出答案． 【详解】解：，与 相交于点P， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】锐角三角函数的定义． 【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则＝( ) A. 2011＋671 B. 2012＋671 C. 2013＋671 D. 2014＋671 【答案】B 【解析】 【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，，，···顺时针旋转，每旋转一次，（i=1,2,3,···）的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解： 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2，BC=． 根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，，，···顺时针旋转，每旋转一次，（i=1,2,3,···）的长度依次增加2，，1，且三次一循环． ∵2012÷3==670…2， ∴． 故选：B． 10. 如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点 、 同时从点O出发， 点沿折线运动，到达点时停止； 点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设 运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的动点问题、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得，，，再分三种情况：当 时， ；当点 运动到点时，点 运动到点时，此时点 停止运动，点 在上运动，的面积不变；当点 运动到点，点 在上运动时；分别求解即可，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵动点 、 同时从点O出发， 点沿折线运动，到达点时停止； 点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设 运动秒时， ∴当 时， ， 如图，作于，于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时为二次函数； 当点 运动到点时，点 运动到点时，此时点 停止运动，点 在上运动，的面积不变，始终为； 当点 运动到点，点 在上运动时，如图： 此时，， ∴，此时为一次函数； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解： . 12. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=______cm． 【答案】5或11 【解析】 【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解． 【详解】由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论： 当C点在B点右侧时，如图所示： AC=AB+BC=8+3=11cm； 当C点在B点左侧时，如图所示： AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm； 所以线段AC等于11cm或5cm. 13. 将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，则这个大正方体铝块的棱长为______（不计损耗）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根的应用，根据题意，得到大正方体的体积等于两个小正方体的体积之和，求出大正方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：由题意，得：大正方体铝块的棱长为； 故答案为： 14. 一组数据2、、4、1、0的中位数是__． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，先把数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可 【详解】∵从小到大排列：，0，1，2，4， ∴中位数是1， 故答案为：1 15. 如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为， ∴， ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 16. 求的值，可令 ， ， 因此．仿照以上推理， 计算出的值为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：可令，则， 则，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律探究，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 17. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 【答案】40° 【解析】 【详解】解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 18. 如图，正方形中，，E是 的中点，点P是对角线 上一动点，则 的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于 对称，所以如果连接 ，交 于点P，那 的值最小．在中，由勾股定理先计算出 的长度，即为 的最小值． 【详解】解：连接 ，交 于点P，连接 、 ． ∵四边形为正方形，， ∴ ，， ∴点B与点D关于 对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 的长即为 的最小值， ∵E是 的中点， ∴ ， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算三角函数值，零指数幂，负指数幂以及绝对值，再计算加减法即可； 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负指数幂以及绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则． 20. 先化简，再求值，其中x满足方程 ． 【答案】； 【解析】 【分析】由题意化简分式先利用分式的加减运算化简括号内，然后利用分式的除法运算法则进行计算，进而求解一元二次方程并将结果代入即可，注意分母不为0. 【详解】解： = = = = 解x2+x﹣6＝0 (x－2)(x+3)=0 ∴x1=2，x2=－3 ∵x－2≠0 ∴当x=－3时，原式=. 【点睛】本题考查分式的化简求值和解一元二次方程，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因数，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 22. 某学校为了解八年级学生的课外阅读情况，钟老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图．根据图示信息，解答下列问题： （1）被抽查学生人数为______；课外阅读量的众数为______； （2）扇形统计图中的______；______； （3）将条形统计图补充完整； （4）若规定：假期阅读本以上（含本）课外书籍者为完成假期作业，据此估计该校名学生中，完成假期作业的有多少人？ 【答案】（1）50人，本；（2）；（3）见解析；（4）432人 【解析】 【分析】（1）根据读2本的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的学生人数；根据扇形统计图，读3本的人数最多，再根据众数的定义即可得解； （2）根据各部分的百分比等于各部分的人数除以总人数的方计算求出a的值，再求出读4本的人数，然后根据百分比的求解方法列式计算即可求出b的值； （3）根据（2）的计算补全统计图即可； （4）根据完成假期作业的人数所占的百分比，乘以总人数600，计算即可． 【详解】解：（1）（人）； 根据扇形统计图，读3本的人数所占的百分比最大， ∴课外阅读量的众数为； 故答案为：15；3； （2）∵， ∴， ∴读4本书的人数为50-4-10-16-6=14， ∴， ∴ ； 故答案为：32；28； （3）补全条形图如下： （4）样本中完成作业的频率为：， ∴完成假期作业的人数为：（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离． （精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 【答案】（1）居民楼AB的高度为21.2m； （2）C、A之间的距离为33.4m． 【解析】 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由，得出EC的长度，进而可求出答案． （2）在Rt△ABP中，tan60°=，得出BP的长，再由PE=CE可求得PE的长，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E， 在Rt△CPE中， ∵PC=30m，∠CPE=45°， ∴sin45°=， ∴CE=PC•sin45°=30×=15（m）， ∵点C与点A在同一水平线上， ∴AB=CE=15≈21.2（m）， 答：居民楼AB的高度约为21.2m； （2）在Rt△ABP中， ∵∠APB=60°， ∴tan60°=， ∴BP=（m）， ∵PE=CE=15 m， ∴AC=BE=15+5≈33.4（m）， 答：C、A之间的距离约为33.4m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解． 24. 我区浙江中国花木城组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的苗木共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种苗木，由信息解答以下问题： 苗 木 品 种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨苗木获利（万元） 3 4 2 （1）设装A种苗木车辆数为x，装运B种苗木的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； （2）若装运每种苗木的车辆都不少于2辆，则车辆安排方案有几种？写出每种安排方案 （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润． 【答案】（1）y=10-2x； （2）有三种，见解析 （3）采用方案一可获得最大利润，最大利润为344万元． 【解析】 【小问1详解】 解：由装A种为x辆，装B种为y辆，装C种为（10-x-y）辆， 由题意得：12x+10y+8（10-x-y）=100， ∴y=10-2x； 【小问2详解】 解：∵10-x-y=10-x-（10-2x）=x， 故装C种车也为 x 辆． 由题意得：， 解得：2≤x≤4， ∵x应取整数， ∴x=2或x=3或x=4， ∴车辆的安排方案有三种． 方案一：安排2辆汽车运A品种，6辆汽车运B品种，2辆汽车运C品种； 方案二：安排3辆汽车运A品种，4辆汽车运B品种，3辆汽车运C品种； 方案三：安排4辆汽车运A品种，2辆汽车运B品种，4辆汽车运C品种； 【小问3详解】 解：设销售利润为W（万元），则 W=3×12x+4×10×（10-2x）+2×8x=-28x+400， ∵k=-28＜0， ∴W随x的减小而增大， ∴当x=2时，W取最大值，W最大值=344． 即应采用方案一可获得最大利润，最大利润为344万元． 25. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接 、 ． （1）求和的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行 ，交AC于点D．设的长为m，的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接，求面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与 相切的圆的面积（结果保留π）． 【答案】（1） ， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当，可确定C点坐标；当时，可确定A、B点的坐标，从而确定和的长； （2）由直线，可得出，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围； （3）首先用m列出的面积表达式，、的面积差即为的面积，由此可得关于关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到的最大面积以及此时m的值；过E作 于F，这个垂线段的长即为与 相切的 的半径，可根据相似三角形、得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解． 【小问1详解】 解：在 中， 令，得 ， ∴； 令，即， 解得： ， ， ∴、． ∴ ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即． ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ， ∴的最大面积为， 此时，，， 又， 过E作 于F， 则， ∴，即． ∴． ∴以E点为圆心，与 相切的圆的面积 ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，点坐标代入法求解二次函数的表达式，三角形相似判定和性质，找变量关系写函数关系式，函数最大值的存在性证明，直线与圆的位置关系等周四，熟练掌握函数的图象和性质，相似的判定和性质是解题的关键，数形结合的思想很重要． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $