1.1.2 空间向量基本定理（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖基底、基向量及正交分解等核心内容。课堂从教室墙角棱、灯泡定位的生活情境导入，回顾共线与平面向量基本定理，通过类比构建“共线-共面-空间”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过互动探究（如斜三棱柱向量共面证明）和典例分析（直三棱柱数量积计算），培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。小结结构化呈现核心推论与易错点，采用类比迁移教学法，助力学生构建空间观念，教师可依托分层训练提升教学效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量基本定理 1.1 空间向量及其运算 学 习 目 标 1 2 理解空间向量基本定理的内容及其证明，掌握空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示 理解基底、基向量的概念，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量 理解单位正交基底和正交分解的概念，能够将向量进行正确正交分解 通过从平面到空间的类比推理，培养数学抽象和直观想象的核心素养 通过定理证明和向量表示，提升逻辑推理和数学运算的核心素养 通过空间向量基本定理的应用，培养用向量方法解决立体几何问题的能力 新课引入 同学们，我们先看身边的教室：墙角有三条两两垂直的棱——左右墙面交线、前后墙面交线、地面竖直线，这三条线对应长、宽、高。 教室里任意一点，比如天花板角落的灯泡，我们都能用“向前走多少、向左走多少、向上爬多少”三组长度定位它。 再换个思路：不用垂直的棱行不行？比如地面取一条墙边、一条斜着的对角线，再竖一条高度线，只要这三条线不共面，依然能算出灯泡的位置。 把长度换成向量思考：空间里任意一个位置向量，是不是都能拆成三个不共面向量的组合？ 今天我们就来探究 空间向量基本定理 互动探究 回顾旧知 空间向量基本定理 在平面向量中，我们已经学过如下结论： 共线向量基本定理 如果 ≠0 且 b ，则存在唯一的实数 λ ，使得 b=λ 平面向量基本定理 如果平面内两个向量 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向量 c ，存在唯一的实数对 (x,y) ，使得 c=x+yb 上述结论在空间中仍成立吗？ 可以看出，共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立。 1.已知非零空间向量 ， 不共线，使 与 共线的 的值是 示例 解析：若 与 共线，则存在实数 ，使得 ， 解得 2.例如，如图所示的正方体 中， 在直线 上的充要条件是，存在实数 ，使得 如果 在底面ABCD内，则一定存在实数 与 ，使得 而且，若 ，则 目标一：空间向量共面 互动探究 向量共面 空间向量基本定理 在空间中，由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则，还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法。 共面向量定理 如果两个向量 不共线，则向量 ,b,c 共面的充要条件是，存在唯一的实数对 (x,y) ，使 c=x+yb 这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要注意到当 x 与 yb 不共线时， x,yb,x+yb 分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可. 例如如图所示，已知斜三棱柱 中， ， ， ，在 上和 上分别有一点 和 ，且 ， 其中 .求证： ， ， 共面. 示例 证明：因为： 所以 由共面向量定理可知， 共面. 目标二：空间四点共面 互动探究 四点共面 空间向量基本定理 由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法： 如果 ， ， 三点不共线，则点 在平面 内的充要条件是，存在唯一的实数对 ，使 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点.若由 确定的点 与A，B，C共面，则 的值为（ ） A.- 2 B.- 1 C.1 D.2 解析：由点 与A，B，C共面，且 可得 ，解得 ，故选B. 已知 为空间任意一点， 满足任意三点不共线但四点共面，且 ，则实数 的值为（ ） A.-1 B.2 C.-2 D.-3 解析：因为 为空间任意一点， ， 所以 ，所以 ， 因为 满足任意三点不共线，但四点共面， 所以 ，解得 。故选C. 目标三：空间向量基本定理 知识讲解 空间向量基本定理 定理 共线向量基本定理表明，给定直线上的一个非零向量 ，那么直线上任意一个向量 b 都可以唯一地写成数乘向量 的形式 平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量 与 b 不共线时，任意一个向量 c 都可以写成 与 b 的线性运算，而且表达式唯一。 空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来；如果没有，说明理由。 空间向量基本定理：如果空间中的三个向量 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 知识讲解 空间向量基本定理 解读 因为 不共面，所以它们两两都不平行，过点 作 ，则平面 是两两相交的三个平面，如图所示。 立.否则，作 ，过点 作直线 平行于 ，交平面 于点 ；在平面 内，过 作直线 平行于 ，作直线 平行于 ，且分别与直线 相交于点 ；在 上取一点 ，使得 。 于是存在三个实数 ，使得 作 ，则 是一个平行六面体，因此 即 解决了存在性 知识讲解 空间向量基本定理 解读 下面来说明定理中的有序实数组 是唯一的.设 则 .如果 ，则 由此可知 共面，这与已知矛盾，因此 .同理 .这也就说明，空间向量基本定理中， 用 表示的表达式 唯一.特别地，当 不共面时，可知 表达式 一般称为向量 的线性组合或线性表达式 解决了唯 一性 知识讲解 空间向量基本定理 解读 上述空间向量基本定理说明，如果三个向量 ,b,c 不共面，则它们的线性组合 x+yb+zc 能生成所有的空间向量，因此，空间中不共面的三个向量 ,b,c 组成空间向量的一组基底，记为 {,b,c} . 此时， ,b,c 都称为基向量；如果 p=+yb+zc ，则称 +yb+zc 为 p 在基底 {a,b,c} 下的分解式. 重要概念：基底 示例 例如 在长方体 中，可以作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 对于A，因为 ，所以 共面，故 不能作为基底，故A错误 对于B，因为 ，所以 共面，故 不能作为基底，故B错误 对于C，因为 不共面，所以 可以作为基底，故C正确； 对于D，因为 共面，且 ，所以 共面，故 不能作为基底，故D错误。故选C。 若 是空间的一组基底，且向量 ， ， 不能构成空间的一组基底，则 A. B. C. D. 解析：因为向量 ， ， 不能构成空间的一组基底，所以 ， ， 共面，故存在实数 ， 使得 线性组合 求参 解得 故选D. 目标四：定理应用 典例分析 题型1用基底构建线性组合 例1 如图所示平行六面体ABCD- A’B’C’D’中，设 ，试用基底 表示向量 解：因为是平行六面体，所以 典例分析 题型2用基底求数量积 1. 选择基底并计算数量积关系 例2 如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 . 在直三棱柱 中，由于侧棱垂直于底面，且已知底面的边长和夹角，我们选择从点 出发的三个不共面向量作为一组基底： 设 ，，。 根据已知条件，我们可以得到基向量的模长和数量积： * * * * * （因为侧棱垂直于底面） * * 模长平方：，， 典例分析 题型2用基底求数量积 2. 将目标向量用基底表示 例2 如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 . 我们要计算的是 ，因此先把这两个向量分解： 求 ： 求 ： 点 是 的中点。根据向量加法和线性运算： 其中 ； 由于 与 全等且对应边平行，。 所以： 典例分析 题型2用基底求数量积 3. 计算数量积 例2 如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 . 将上述结果代入数量积公式： 根据向量数量积的分配律展开计算： ，答： 。 目标五：针对训练 举一反三 1.如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ， 则下列向量中与 相等的向量是（） A. B. C. D. 解： 因为 是上底面 对角线的交点，即上底面的中心。 在 中， 为 的中点。 所以 又因为 所以 因此 答案：A 举一反三 2.在四面体 中， ， ，设 ， ， ，则 （） A. B. C. D. 解： 由题意， ， （因为 ，即 是靠近 的三等分点） 其中， 所以 答案：A 举一反三 3.在三棱锥 中， 是棱 的中点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 解析： ，， 代入可得： ， 举一反三 3.在三棱锥 中， 是棱 的中点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. ： ， 对比选项，正确答案为 D。 举一反三 4.已知三棱锥 ，点 ， 分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 等于（ ） A. B. C. D.   ,第二步：表示终点向量 因为 是棱 的中点，所以点 到点 的向量为： ，第三步：计算目标向量 根据向量减法的三角形法则（终点减起点），可得： 将前面求得的 和 代入上式： ，第四步：提取公因式与选项比对 提取公因式 ，得到：，对比选项，这与 D 选项完全一致。 举一反三 5.如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 .  1. 选择基底并计算数量积关系:在直三棱柱 中，由于侧棱垂直于底面，且已知底面的边长和夹角，我们选择从点 出发的三个不共面向量作为一组基底： 设 ，，。根据已知条件，我们可以得到基向量的模长和数量积：, , ,, , （因为侧棱垂直于底面） 模长平方：，， 举一反三 5.如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 .   2. 将目标向量用基底表示 我们要计算的是 ，因此先把这两个向量分解： 求 ： 求 ： 点 是 的中点。根据向量加法和线性运算： 其中 ； 由于 与 全等且对应边平行，。 所以： 举一反三 5.如图所示，已知直三棱柱 中， 为 的中点， ，求 .   3. 计算数量积 将上述结果代入数量积公式： 根据向量数量积的分配律展开计算： 目标六：小结 学海拾贝 核心推论与重要结论 1. 空间向量的唯一性：任意空间向量在一组确定基底下的分解式是唯一的，这是向量坐标运算、参数求解的核心依据。 提分笔记 提分笔记 2. 特殊基底——正交基底：两两垂直的非零向量构成的基底，计算最简便，是空间直角坐标系建立的理论基础。 重点注意事项（高频易错点） 提分笔记 1. 基底的核心前提：必须“不共面” 三个向量能否作为空间基底，唯一判定标准是三向量不共面，与向量是否垂直、是否为单位向量无关。两两垂直、长度为1只是特殊基底的性质，不是基底的必备条件。若三个向量共面，只能表示该平面内的向量，无法表示空间任意向量，绝对不能作为空间基底。 学海拾贝 提分笔记 2. 区分平面基底与空间基底，避免维度混淆 平面向量基本定理：2个不共线向量可作为平面基底； 空间向量基本定理：必须3个不共面向量。 易错点：用2个向量表示空间向量、用3个共面向量充当空间基底，均为错误用法。 提分笔记 3. 零向量的特殊禁忌 基底中绝对不能包含零向量。因为零向量与任意向量共面，若基底含零向量，三个向量必然共面，违背空间基底的核心条件。 学海拾贝 本节课核心思想 从二维平面到三维空间的类比拓展思想：平面靠“2个不共线向量”定位，空间靠“3个不共面向量”定位；通过基底分解，实现空间向量代数化，为后续空间向量坐标运算、立体几何证明与求值奠定理论基础。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $