精品解析：宁夏银川市永宁县永宁中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

永宁中学2025-2026学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分；150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置. 2．客观选择题答案必须用2B铅笔填涂在答题卡对应题号区域，主观题用0.5 mm黑色签字笔作答. 3．所有试题答案均需写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以. 2. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两向量等式，两边平方后相减，即可求得答案. 【详解】由，所以， 由，所以， 所以，即. 3. 如图，在中，．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，. . 4. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 5. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，10，10， 因为，所以这组数据的第百分位数是. 6. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确； 对于B：若，，则或者与相交，故错误； 对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误； 对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误. 7. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. 8. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【解析】 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若向量满足，则． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A：，，则，所以A不正确； 对于B：，则与的夹角为，所以B正确； 对于C：，∴在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D：，与平行的向量可表示为，但不满足平行条件，且平行向量不唯一，故D不正确. 11. 某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数、总样本方差的计算公式，分别求解对应数值后判断选项即可. 【详解】 选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误； 选项CD：分层随机抽样总样本方差为 ，故C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 【答案】10 【解析】 【分析】先计算三个年级总人数得到抽样比，再分别求出高一年级、高三年级的抽取人数，计算二者差值即可. 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 因此抽取的高一年级学生人数为， 抽取的高三年级学生人数为， 故高一年级抽取人数比高三年级多(人). 13. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，利用正三角形性质及三垂线定理证明为二面角的平面角，进而在中求解侧棱长. 【详解】取的中点，连接，. 因为为正三角形，所以. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 所以即为二面角的平面角，即. 在中，，， 所以. 在中，， 所以. 故侧棱长为. 14. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【解析】 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 四．解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． 【小问2详解】 ， ， 因为， 所以， 得． 16. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】（1），众数为； （2）中位数为，平均数为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1建立方程求a，根据最高矩形底边中点确定众数； （2）利用面积平分原理计算中位数，利用组中值与频率的乘积之和计算平均数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为10， 所有小矩形的面积之和为1， 则， 即， 解得. 由图可知，频率最高的组为，其对应的小矩形最高， 故众数为该组底边的中点值，即. 【小问2详解】 由（1）知， 各组频率依次为：：， ：， ：， ：，  ：. 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内. 设中位数为， 则， 解得， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 平均数为各组组中值与对应频率乘积之和， 即. 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求棱锥的体积： （2）求证：平面． 【答案】（1）2； （2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点， 所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积公式求体积. （2）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最后由线面平行的判定可证出结论. 【小问1详解】 由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 略 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 19. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证，平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小 【答案】（1）因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 因为，为中点，则， 且，平面，所以平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，即可得，根据三线合一可得，即可得线面垂直； （2）根据题意可得，，可得平面，即可得面面垂直； （3）分析可知直线与平面所成角为，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，则， 可知直线与平面所成角为， 由题意可知：，， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁中学2025-2026学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分；150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置. 2．客观选择题答案必须用2B铅笔填涂在答题卡对应题号区域，主观题用0.5 mm黑色签字笔作答. 3．所有试题答案均需写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少一个红球；都是白球 B. 恰有一个红球；恰有一个白球 C. 至少有一个红球；至多有一个白球 D. 至多一个红球；都是红球 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若向量满足，则． 11. 某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 13. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________． 14. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 四．解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 16. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求棱锥的体积： （2）求证：平面． 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 19. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证，平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $