精品解析：宁夏银川市灵武市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

灵武市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意， 则. 2. 已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，计算即得． 【详解】由题意，． 故选：C． 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理得， 所以， 故. 4. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D. 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱柱，棱锥的定义进行判断． 【详解】 在如图所示棱柱中，侧面，都是矩形，且侧面，与底面垂直， 则截面可能为矩形，故A正确； 侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形的棱锥为正棱锥，例菱形沿一条对角线折起所得的三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正三棱锥，故B错误； 若底面不是矩形，则该棱柱不是长方体，故C错误； 如图所示，若侧面与与底面垂直，但该四棱柱不是直四棱柱， 例若两个侧面和底面都垂直，但底面是梯形的四棱柱，不是直四棱柱，故D错误． 6. 某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ） A. 乙车间产量的中位数为6月份的产量 B. 甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C. 甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D. 甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【解析】 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（    ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定边，再由求角，最后根据可确定三角形形状. 【详解】如图： 过作，垂足为. 则，，所以； 又，所以为等腰三角形. 由，得＝＝， 所以，，又因为， 则是等边三角形. 8. 已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得的外接圆半径，结合三棱锥的高建立勾股关系，进而可求三棱锥的体积. 【详解】的外接圆半径，又三棱锥的外接球半径， 设该三棱锥的高为，所以，即，得， 所以三棱锥的体积. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. 的共轭复数为 C. D. 若复数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先对复数化简，再根据复数的性质一一验证. 【详解】， 在复平面内，对应的点为，位于第三象限， 选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； ， ，选项D正确. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与互相平行 B. 与互相垂直 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【详解】A：满足数乘关系，两向量平行，正确； B：，故，正确； C：不共线的两个非零向量才可作为平面内的一组基底，因为，垂直，故不共线，所以可作为一组基底，正确； D：投影向量公式：因为，所以向量在上的投影向量为，不是，错误. 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在中，，设，，用与表示，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 又， 所以， 即. 13. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个半球的体积和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【小问1详解】 该半球的直径为，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为，， 该“浮球”的体积是. 【小问2详解】 上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为，所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：克. 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 17. 年月日至月日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与下四分位数． 【答案】（1） （2） （3）中位数为，下四分位数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和等于建立方程求解； （2）计算相关区间的人数，根据分层随机抽样的比例计算抽取人数； （3）根据中位数和下四分位数的定义，利用直方图面积平分原理列方程求解可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为. 根据频率分布直方图的性质，得， 化简得，即，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 成绩在内的频率为，对应的人数为人； 成绩在内的频率为，对应的人数为人； 所以成绩在内的总人数为人. 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人，抽样比为. 则成绩在内被抽取的人数为人. 【小问3详解】 各组的频率分别为：  : ； : ； : ； : ； : . 前两组的累积频率为， 前三组的累积频率为，所以中位数位于内. 设中位数为，则有，解得， 即，解得. 下四分位数即第分位数，对应累积频率为，第一组频率为， 前两组累积频率为，所以下四分位数位于内. 设下四分位数为，则有，解得， 即，所以. 综上所述，估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为，下四分位数为. 18. 在中，角的对边分别为，且向量，向量． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． 【小问2详解】 由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 19. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. （2）； （3）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【小问3详解】 存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 五、附加题（9分） 20. 已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. （1）若，且满足 ，求虚数的虚部； （2）若 且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实系数方程的根的特征得到，利用求出的值，即得的虚部； （2）由及根与韦达定理得到， 由，代入得到的方程，求解并回代检验即得的值. 【小问1详解】 因为，且是实系数方程的两根， 所以是的共轭复数，即， 由可得， 解得， 因为，所以，故的虚部为. 【小问2详解】 因为， 由韦达定理，（*）， 因， 将（*）代入，得， 整理得， 解得或. 当时，，， 此时方程有实根，不符合题意，舍去； 当时，，， 符合题意，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵武市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 5. 下列结论正确的是（ ） A. 过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D. 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 6. 某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ） A. 乙车间产量的中位数为6月份的产量 B. 甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C. 甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D. 甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 7. 已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（    ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. 的共轭复数为 C. D. 若复数，则 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与互相平行 B. 与互相垂直 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在中，，设，，用与表示，则________． 13. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 17. 年月日至月日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与下四分位数． 18. 在中，角的对边分别为，且向量，向量． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 19. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 五、附加题（9分） 20. 已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. （1）若，且满足 ，求虚数的虚部； （2）若 且，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $