精品解析：宁夏银川市永宁中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

永宁中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若向量，则( ) A. B. C. D. 2. 若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. 复数的虚部为 C. D. 复数w满足，则的最大值为2 10. 下列命题正确的是（ ） A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B. 若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 C. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点 D. 若直线上有无数个点不在平面内，则 11. 已知的三个内角的对边分别为，且，面积，则（ ） A. B. C. D. 的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 13. 已知是两个不共线的向量，，若与共线，则______． 14. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 16. 已知复数，复数在复平面内对应的点为． （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数． 17. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. （1）求两点AC间的长度； （2）求山MN的高度. 18. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若向量，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，解得 故选：A． 2. 若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 5. 如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】 由异面直线的概念，逐项判断即可得解. 【详解】由题意，直线、、均与直线相交， 由异面直线的概念可得直线与直线成异面直线. 故选：C. 6. 已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得，即可得答案. 【详解】由题设，，， 所以，即向量与的夹角为. 故选：C 7. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 8. 已知，若的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由再去除两者方向共线（相反）的情况即得. 【详解】由题意，解得， 又由，解得或， 所以的范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. 复数的虚部为 C. D. 复数w满足，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【详解】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B. 若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 C. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点 D. 若直线上有无数个点不在平面内，则 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：两两相交且不共点的三条直线有3个不重合的交点，首先两条相交直线可确定一个平面， 第三条直线与前两条直线的两个交点都在该平面内，故第三条直线也在这个平面中， 因此三条直线确定唯一平面，A正确. 选项B：根据线面平行的定义，直线与平面平行即与没有公共点， 因此与内的任意一条直线都不存在公共点，B正确. 选项C：两个平面相交时，公共部分是一条直线，直线上有无限个点，因此它们有无限个公共点，C错误. 选项D：若直线与平面相交，仅交点在内，其余无数个点都不在内，此时不平行于，D错误. 11. 已知的三个内角的对边分别为，且，面积，则（ ） A. B. C. D. 的外接圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查解三角形的综合应用，结合三角形面积公式、余弦定理、正弦定理及三角形内角性质逐一判断选项即可. 【详解】选项AB：因为，，所以，又， 所以，即，联立求解得，AB正确； 选项C：由余弦定理得，故， 由正弦定理得， 因为，所以为锐角，所以，错误； 选项D：由正弦定理得外接圆半径，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 13. 已知是两个不共线的向量，，若与共线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给出的条件，利用共线向量定理求出，即可求解. 【详解】由已知，是两个不共线的向量，则， 又因为与共线，则，即， 即， 即，解得. 故答案为：. 14. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】193 【解析】 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知求： （1）； （2）； （3）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）6 （2）54 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，根据求模公式，即可得答案. （2）求出的坐标，根据数量积公式，代入求解，即可得答案. （3）根据向量夹角公式，代入计算，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 ，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 16. 已知复数，复数在复平面内对应的点为． （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，将代入方程，可得m，n的值，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意 ， 所以， 则复数的共轭复数 17. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. （1）求两点AC间的长度； （2）求山MN的高度. 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【小问1详解】 在中，因为，，， 所以， 【小问2详解】 在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 18. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积； （2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果. 【小问1详解】 旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， ， 所以小圆锥的半径， 圆柱的体积 圆锥的体积 旋转体的体积； 【小问2详解】 圆柱的侧面积 圆锥的侧面积 圆柱的底面积， 圆锥的底面积 旋转体上底面的面积 旋转体的表面积. 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】（1）； （2）周长、外接圆面积分别为、. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【小问1详解】 由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $