精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年高一下学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2025～2026学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 以下说法正确的是（ ）． A. a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 B. a是平面外的一条直线，则过a且与平行的平面有且只有一个 C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则 D. 空间中平行于同一条直线的两直线平行 4. 某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 7. 如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 10. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和10cm，高为15cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”可装______L． 13. 如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 14. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且 ，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，. （1）证明：； （2）若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 18. 如图，是的直径，C是圆周上异于的点，是平面外一点，且． （1）求证：平面平面； （2）若，点是上一点，且与在直径同侧，． ①设平面平面，求证：； ②求二面角的正切值． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形． （1）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，，，，求：该阳马的外接球表面积； （2）若四棱锥是阳马，且，点E可能为PA，PB，PC的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明； （3）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，，当面积的最小值是9时，求证：平面PAB． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025～2026学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合共轭复数及复数的概念求解即可. 【详解】. 则，所以的虚部为. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 以下说法正确的是（ ）． A. a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 B. a是平面外的一条直线，则过a且与平行的平面有且只有一个 C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则 D. 空间中平行于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【详解】a、b、c是空间中的三条直线，若且，则或是异面直线或相交，故A错误； 若直线与平面相交，则没有过a且与平行的平面，故B错误； 若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则相交，故C错误； 根据平行性的传递性可知，空间中平行于同一条直线的两直线平行，故D正确. 4. 某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 5. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则四边形是平行四边形，可得，就是直线和BN所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接，相交于点，连接，则， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以就是直线和BN所成的角， 设正方体的棱长为2， 则， 由余弦定理得. 故选：C. 6. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则， 由四边形是菱形，可得，则， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：C. 7. 如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A求证平面；B求证平面；C利用反证法判断；D根据平面求证. 【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 8. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 10. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合线面平行、垂直的判定与性质，分析直线与平面的位置关系，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故A错误. 对于B，由，得，又，故，B正确. 对于C，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故C错误. 对于D，由，得，又，则或，故D错误. 11. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；对于B，根据线面平行的判定定理证明即可；根据线面垂直的判定定理判断即可；对于D，根据等体积法计算求解即可. 【详解】对于A，三棱柱中，，，且， 易知为等腰直角三角形，又点是棱中点，所以. 因为侧面，均为正方形， 所以，，，所以. 因为，平面，，所以平面， 则三棱柱为直三棱柱. 又平面，所以. 因为，平面，，所以平面，A正确. 对于B，连接，由点为与交点及为正方形，得点为中点. 又点是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 对于C，由A知，平面，平面，所以， 又，所以. 因为，平面，，所以平面， 故与平面不垂直. 对于D，在等腰中，点为中点，，所以. 在中，， 因为平面，平面，所以. 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 即点到平面的距离为，D正确. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和10cm，高为15cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”可装______L． 【答案】2.375L 【解析】 【分析】根据台体的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，台体的体积为. 13. 如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由异面直线的定义可以判断①；证明平面平面，即可证得AH垂直于平面，即可判断②；易证平面，由线面垂直可得线线垂直，即可判断③. 【详解】由与既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内，所以是异面直线，①正确； 由，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 因为AH垂直于平面，所以AH垂直于平面，②正确； 连接，因为四边形为正方形，所以， 由正方体可得平面，平面，则， 又，所以平面，又平面， 所以，因此直线与直线所成的角是90°，③正确. 14. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】由、为、的中点，得， 又，，则为平行四边形，， 过作，设 ， ，则， 可得，， 连接、，设 ， ，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，，则，， 可得，，， 所以截面周长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【解析】 【分析】先作辅助线，再应用球及圆台的表面积及体积公式计算求解即可. 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且 ，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，. （1）证明：； （2）若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明； （2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解. 【小问1详解】 因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. 【小问2详解】 因为，，则， 由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为， 则三棱锥的体积，解得， 设到平面的距离为，则， 因为，则，解得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，是的直径，C是圆周上异于的点，是平面外一点，且． （1）求证：平面平面； （2）若，点是上一点，且与在直径同侧，． ①设平面平面，求证：； ②求二面角的正切值． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可证明线面垂直，即平面，进一步可得面面垂直.（2）根据圆内接四边形，可证明，进而根据线面平行的判定证明线面平行，再根据线面平行的性质可证线线平行.（3）先找出二面角的平面角，然后再求解即可. 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又是以为直径的圆周上一点， ． ， ， ， ，，平面， 平面， 平面， 平面平面； 【小问2详解】 ①证明：由题意，四边形是圆的内接四边形， ，， ， 又点在圆上且与在直线的同侧， ， 平面，平面， 平面， 设平面平面， 平面， ； ②取的中点，连接，， 则，， ，． 平面，平面， 是平面与平面所成的锐二面角的平面角， ，，． 是边长为1的正三角形， ． 平面， ， 平面与平面所成的锐二面角的正切值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形． （1）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，，，，求：该阳马的外接球表面积； （2）若四棱锥是阳马，且，点E可能为PA，PB，PC的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明； （3）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，，当面积的最小值是9时，求证：平面PAB． 【答案】（1） （2）点E是的中点, 因为，所以， 又因为底面，底面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，． 由，，，平面， 所以平面． 又平面，所以， 所以， 因此，四面体为鳖臑． （3）因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面． 设与相交于点F，连接， 又由平面，平面， 所以，， 当面积最小时，最小，则， ，即，解得． 由且，，平面， 则平面，又平面，则， 又，则， 而，平面，故平面． 【解析】 【分析】（1）易知外接球的直径为长方体的体对角线长，求出对角线长即可求出球体表面积； （2）利用线面垂直的判定定理，即可证明四面体为鳖臑； （3）先通过线面垂直将面积最值转化为点到直线的距离，求出，进而可得，最终证明平面PAB． 【小问1详解】 把四棱锥放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，，，则长方体的对角线长为， 所以长方体的外接球的半径， 因此，该阳马的外接球的表面积为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $