2026-2027学年人教版数学七年级上册【有理数的巧算】培优专项训练

**基本信息** 以六大巧算方法为核心，构建从基础法则到高阶技巧的系统化训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|6大方法|凑整法（凑整简化）、拆项法（拆分结合）、组合法（规律分组）、倒数法（除转乘分配）、裂项相消法（拆项抵消）、错位相减法（乘比相减消项）|从基本运算法则→运算律→运算顺序→巧算方法，形成“基础-进阶”逻辑链| |典例分析|6题型（1例2变式/题型）|每种题型配方法点拨，明确适用场景与核心步骤|题型与方法一一对应，变式训练强化方法迁移| |综合训练|13题（基础6+能力5+拓展2）|分层设计，基础巩固法则，能力提升技巧，拓展探究创新|衔接中考高频考点，培养数据意识与应用意识|

七年级上册有理数的巧算培优练习 第一部分知识梳理 一、有理数运算基本法则 1.加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加，仍得这个数， 2.减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b) 3.乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当 负因数有偶数个时，积为正.几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0. 4 除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a×(b≠0】 5.乘方法则： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数 次幂是0. 二、运算律 1.加法交换律：a+b=b+a 2.加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c】 3.乘法交换律：ab=ba 4.乘法结合律：(ab)c=a(bc】 5.乘法分配律：ab+c)=ab+ac 三、运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减：有括号先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号 的顺序依次进行)· 第1页共18页 四、六大巧算方法简介 方法 适用场景 核心思想 凑整法 多个小数、分数相加 将能凑成整数的数先结合，简化计算 拆项法 带分数或复杂加减 将带分数拆成整数部分与真分数部分分别计算 组合法 长串有规律的正负数交替 分组观察规律，把和为定值的加数组合 倒数法 复杂分数除法 将除法转化为乘法，利用乘法分配律简化 裂项相消法 分母是连续两数的积的分数 将一项拆成两项之差，前后抵消 连加 错位相减法 等比数列求和 等式两边同乘公比后相减，消去中间项 第二部分典例分析与变式训练 题型一：凑整法 方法点拨：多个有理数相加时，将能凑成整数的数（如互为补数、同分母分数、小数与分 数可互化等)先结合在一起，可以使计算简便. 例1计第，-3191+2兴-6814-碧 21 变式1计算下列各式： (1)〔-7.3-(-63+1-3.31+(-2号 c2)(-2.125+3+5君+-32 第2页共18页 题型二：拆项法 方法点拨：先把带分数拆成整数和真分数两部分，再把整数部分和真分数部分分别结合， 利用交换律、结合律得出结果。 例2计第：-5爱+(-9号+17+-3》 变式2计算下列各式： 1(+3号+1-2星+1月》+(-1：(2(-2025号+-2026+4052哈 题型三：组合法 方法点拨：观察算式，找出算式分布规律，适当分组，利用结合律将相加和为整数的数结 合在一起简化计算. 例3计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2021+2022-2023-2024+2025+2026. 变式3计算下列各式： (1)1-2+3-4+5-6+…+99-100: 第3页共18页 (2)1-3-5+7+9-11-13+15+…+2017-2019-2021+2023+2025 题型四：倒数法 方法点拨：对于形如a÷(b1±b2±…±bn)的复杂除法，可先求其倒数，转化为乘法，利用 乘法分配律简化计算， 例1计：动（号品日名 变式4计算下列各式： 1安哈是+号 2六-品是+是引 题型五：裂项相消法 方法点拨：利 1=1-1。 1一=上1-1)等公式，将一项拆成两项 nn+打nn+i或n+k友后n+k 之差，使相邻项前后抵消，简化求和. 1+1+1+…+ 1 例5计算：1×22x33×4 2025×2026 第4页共18页 变式5计算下列各式： 1×33×55×797×991 (2) 上+1+1+1+…+1 61220309900 题型六：错位相减法 方法点拨：对于等比数列求和（从第二项起，每一项与前一项之比为常数)，设和为S, 等式两边同乘公比得新式，两式相减消去中间项，求得S. 例6求1+2+22+23+…+210的值. 变式6计算下列各式： (1)1+5+52+53++510, (2)1+3+32+33+…+32026 第三部分综合训练 一、基础训练 计算下列各题： 1.（-2.4+-3.7+(-4.6+5.7: 第5页共18页 2（-34-(-22+-4号--5号-1： 3.(-0.25)×(-3)×8×(-40)×(-3)×(-12.5): 5.36.2×1.638+6.38×6.38; 6.9×18+999×-4-99, 二、能力提升 计算下列各题： 第6页共18页 1.(-20182+-20173+40362: 2.1+2-3-4+5+6-7-8+…+2021+2022-2023-2024+2025: 3女324'35*4k6*t阳iom 1 4计综：（动目后店号引 55=1号方宁京的监 三、拓展探究 1.阅读材料，回答问题. 第7页共18页 材料：计算1+2+22+23+…+2225的值. 解：设S=1+2+2+23+…+22025① 则2S=2+22+23+24+…+22026② ②-①，得S=22026-1 请仿照以上方法，计算： (1)1+2+22+23+…+2": 2.观察下列等式： ☆1 111 2×323 1-1_1 3×434 … (1)猜想并写出： 1 n(n+1）----- ； 1+1+ …+ 1 (2)计算：1x33x55x7 2025×2027 1 1 1 1 (3)计算：1×2×32x3×43×4×5nn+1n+2 十…十 1 =[1 1 提示：nn+1(n+2艺n+1n+1n+2） 第8页共18页 第四部分答案与解析 题型一：凑整法 例1计完(-a19142兴-6814-是 解： 式-39*-6811412号+(-号别 =(-10)+2=-8 变式1 a-73-63+1-331+(-2 解： 第9页共18页 原式=(-7.3+63+33+-23 =[-73+3.3]+[63+-23】 =(-4)+4=0 ②-2125)+(+3号+5号+(-32 解： 原式=(-2.125)+3.2+5.125+(-3.2) =[(-2.125)+5.125]+[3.2+(-3.2)] =3+0=3 题型二：拆项法 例2计：(~5君1+(-9号+17层+(-3分》 解： 原式=-5+(-9*17+(-3小+-君+(~号+星+-】 -0-君+经导 =-9+1=-3+1=-6+1=-5 6424444 变式2 +3号+(-2+1号+(-14 解： 原武=3+-2+1+-1]+号+)+[-2+-】 =1+1+(-1)=1 2-2025号+(-20263+4052日 解： 原式=0-2025j+(-2026)+4052]+[-子+-2+ 第10页共18页 =1+-g=1+(-1=0 题型三：组合法 例3计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2021+2022-2023-2024+2025+2026 解： 观察规律：每4个数一组(1+2-3-4)=-4，每组和为-4. 从1到2024共2024个数，共2024÷4=506组. 506×(-4)=-2024 再加上最后两项2025+2026=4051 原式=-2024+4051=2027 变式3 (1)1-2+3-4+5-6+…+99-100 解： 每2个数一组：（1-2)+(3-4)+.+(99-100) 每组和为-1，共50组. 原式=50×(-1)=-50 (2)1-3-5+7+9-11-13+15+.+2017-2019-2021+2023+2025 解： 观察规律：每4个数一组(1-3-5+7)=0，(9-11-13+15)=0，每组和为0. 从1到2024共2024个数，2024÷4=506组. 前2024项和为506×0=0. 最后一项为2025. 原式=0+2025=2025 题型四：倒数法 例4计第：动号0+合 解： 设A=2-1+1-2 31065, 先求A的值： 第11页共18页 A=20-3+5-12=10-1 30303030303 原式 1.11 303=30 3 10 变式4 解： 设B6是+号号 B=7-9+2812-14-1 42424242423 1÷之=-×3二} 423=42 2 六品各+是引 )1435 解： 设C-3 5+8-2 14357 c=21-25+16-20-8=-4 707070707035 原式六（若=六×-要日 70 8 题型五：裂项相消法 1+1+1+…+ 例5计算：1x2*2x33×4 2025×2026 解： 原武1兮*-+2驾 1 20252026 =1- 1-2025 20262026 变式5 @13*3写7t*。 1 1 97×99 解： 第12页共18页 棚z号2 原武1-+（分吉++g立的川 1的-器8 哈立茹0 1 9900 解： 1_11-11=1 1 62×3’123×4’204×5’,990099×100 或专+号+的 专品鵠 题型六：错位相减法 例6求1+2+2+23+…+210的值. 解： 设S=1+2+2+23++210 则2S=2+22+23+…+210+2 2S-S=(2+22+…+21)-（1+2+22+…+20） S=211-1=2048-1=2047 变式6 (1)1+5+52+53+.+5100 解： 设S=1+5+52+53+.+5100 则5S=5+52+53++5100+5101 5S-S=5101-1 4S=5101-1 S=501-1 4 (2)1+3+32+33+…+32026 第13页共18页 解： 设S=1+3+32+33+…+32026 则3S=3+32+33++32026+32027 3S-S=32027-1 2S=32027-1 5=307-1 2 第三部分分层训练 一、基础训练 1.(-2.4)+(-3.7）+-4.6)+5.7 解： 原式=[(-2.4)+(-4.6)]+[(-3.7)+5.7] =(-7)+2=-5 2.-34-(-22+(-48-(-5号-1 解： 原式=-32+2-42+5号-1 4 6 整数部分：-3+2-4+5-1=-1 公微公：日古*号是品台8品 或1+2号 3.(-0.25)×-3)×8×(-40)×- ×-125 解： 负因数的个数为5（奇数），结果为负. 0.25×3×8×40×号×125 =(0.25x8×(3×3×(40×12.5) =2×1×500=1000 原式=-1000 第14页共18页 4+号 12 解： 设D=1-3+2-2 6 437 D=14-63+5624.-17 8484848484 原式=一 17)=- 12 17 5.36.2×1.638+6.38×6.38 解： 直接计算： 36.2×1.638=59.2956 6.38×6.38=40.7044 原式=59.2956+40.7044=100 6.99×118}+99×-4-99 解： 原式=999×(118}-1-1) 44 =999×117=999×(100+17） =99900+16983=116883 二、能力提升 1-2018号+(-20173+4036 3 解： 整数部分：-2018-2017+4036=1 分数部分： 5-2+1=-5-4+3=-6=-1 6326666 原式=1+(-1)=0 2.1+2-3-4+5+6-7-8+.+2021+2022-2023-2024+2025 解： 每4个数一组1+2-3-4)=-4 第15页共18页 从1到2024共2024个数，2024÷4=506组. 506×(-4)=-2024 再加上2025： 原式=-2024+2025=1 1×32×43×54×6 98×100 解： 利用nn+2之分n*2 111-1 原式1吉分+兮吉宝吉制++品而 + 299100 经器 -898 9900 19800 解： 设题-日合市子 始高易品品 5求S=1+1+1+1 1 33233 310的值. 解： S=1+1+1 1 332 +…+ 30 两边同乘 第16页共18页 30 — 332 3 相减： s-1s=1-1 3 2=1- 3Π 2×310 三、拓展探究 1.(1)计算：S=1+2+2+23+…+2 解： (1)设和为S,即： S=1+2+22+23+…+2”① 等式两边同乘公比2，得： 2S=2+22+23++2"+2m+1② 用②式减去①式，消去中间项： 2S-S=(2+22+23+…+2”+2m+1）-（1+2+22+…+2”) ∴.S=2n+1-1 20 解： 210 十一 20、1 20 2°22Π 分品 S=1-1=20-1=1024-1-1023 210 210 1024 1024 第17页共18页 1=1-1 2.(1)猜想并写出：nn+1nn+1 1 1 2.(2)计算：1×33×55×7 7++2m5×2027 解： *2片 原式1号吉++7刀 17*器 1+1 1 1 2.(3)计算：1x2×32×3×43×4×5nn+1n+2) 解： 利用提示 1-1[1 1 n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2 限式2234女3g4+ 1 2×33×4 nn+1)(n+1(n+2) 21k2nelin2 1 号2 1 1 42(n+1)n+2 第18页共18页