精品解析：江苏扬州市邗江实验2025-2026学年度第二学期期中考试七年级数学

2025—2026学年度第二学期期中考试 七年级数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四个高校校徽主题图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x，y的二元一次方程，则满足（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，那么（ ） A. 19 B. 25 C. 31 D. 73 5. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（ ） A. B. C. D. 8. 二元一次方程的正整数解有（　　）组． A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，调把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 10. 已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 11. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 12. 已知，，则________． 13. 已知，，则_____． 14. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_________． 15. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 17. 已知：，则__________． 18. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 三、解答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2） 20. 简便计算： （1）； （2）． 21. 解方程组： （1）； （2） 22. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 23. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点，点、分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的，并求的面积； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是　　　　　　． 24. 阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则 ； （2）折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 25. 阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ （1）已知，求的值． （2）已知，求代数式的值． 26. 对于有理数x，y，定义新运算：，a、b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 27. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 28. 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 七年级数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面四个高校校徽主题图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据定义对各个选项分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与完全平方公式逐项分析判断． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意． 3. 若是关于x，y的二元一次方程，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 4. 已知，，那么（ ） A. 19 B. 25 C. 31 D. 73 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解的值，无需单独求出、的具体值． 【详解】解：∵完全平方公式为． ∴移项可得． ∵，． ∴代入得． 故选：B 5. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 6. 下列图形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；核心技巧是利用旋转得到的等线段和旋转角，构造等腰三角形求解；易错点是误将旋转角当作三角形的内角，或忽略等腰三角形两底角相等的性质． 先根据旋转性质得到和，从而判定为等腰三角形；再利用等腰三角形 “等边对等角” 和三角形内角和定理，直接计算出的度数． 【详解】由旋转可知：，． 为等腰三角形． 在等腰中，． 故选：D． 8. 二元一次方程的正整数解有（　　）组． A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】要求二元一次方程2x＋y＝6在正整数范围内的解的个数，就要先求出二元一次方程2x＋y＝6在正整数范围内的解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值范围，再分析解的情况． 【详解】由已知得：y＝6−2x 要使x，y都是正整数，必须满足：①6−2x＞0，求得x≤2；②x＞0． 根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，2， 相应的y值为y＝4，2． ∴共有2组：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2． 故选B 【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，调把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 10. 已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含x的二次项， ， 解得：． 11. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 12. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值． 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 13. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式将变形，代入已知条件求出的值，再开平方即可得到的值． 【详解】根据完全平方公式可得：， 整理得：， 将，代入得：， 对等式两边开平方得：． 14. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_________． 【答案】C点 【解析】 【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示： 故点C为旋转中心， 故答案为：C点 15. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 【答案】 19 【解析】 【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长为，通过等量代换可得，进而求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，  的周长为，  ，  ，  ． 17. 已知：，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，利用平方差公式分解因式； 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，得到，，然后直接利用因式分解求值． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用积的乘方的逆运算计算； （2）运用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用消元法消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数即可． （2）先将原方程组整理为标准二元一次方程组，再用消元法求解． 【小问1详解】 解： 由②得 把③代入①，得 解得， 把代入③，得 因此原方程组的解为； 【小问2详解】 解：整理原方程组得 由得 把，得 解得， 把代入③，得 因此原方程组的解为． 22. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1）（） （2）完成绿化共需要1220元 【解析】 【分析】（1）利用长方形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将，，代入式子中，计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，  ； 【小问2详解】 解：当时， （）， 元． 答：完成绿化共需要元． 23. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点，点、分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的，并求的面积； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是　　　　　　． 【答案】（1）画图见解析；的面积为；（2）平行且相等． 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移的性质是解题关键． （1）根据点A平移的规律，可得到点B、C平移后对应点位置，进而求解即可； （2）利用平移的性质即可得出两条线段之间的关系． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； 的面积=； （2）连接，，则这两条线段之间的关系是：平行且相等． 故答案为：平行且相等． 24. 阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则 ； （2）折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】（1）28 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【小问1详解】 解：， 由折叠知，； 【小问2详解】 解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 25. 阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ （1）已知，求的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ． 26. 对于有理数x，y，定义新运算：，a、b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，解方程组可得，再由得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入①得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 27. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 28. 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】（1）75 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； （3）分类讨论当在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当在点O的上方时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在点O的下方时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $