第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法（6大知识点+12大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学整式的乘法与除法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等乘法运算，以及同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式等除法运算，构建从基础到综合的完整知识支架。 该资料以12类题型为框架，融合实际应用（如长方形面积计算）和规律探究（杨辉三角），通过例题与变式训练培养学生几何直观与推理意识。知识清单提示易错点，巩固练习综合提升，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用能力。

第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法 题型归纳 【题型1. 单项式乘单项式 3】 【题型2. 单项式乘多项式 3】 【题型3. 多项式乘多项式 3】 【题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 4】 【题型5. 整式乘法中字母求参问题 4】 【题型6. 整式乘法中的规律性问题 5】 【题型7. 整式乘法的应用 6】 【题型8. 同底数幂的除法运算 9】 【题型9. 单项式除以单项式 9】 【题型10. 多项式除以单项式 9】 【题型11. 整式四则混合运算 10】 【题型12. 整式运算中的化简求值 11】 【巩固练习 12】 知识清单 知识点1 单项式乘单项式 1.运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【提示】 ① 单项式乘单项式的结果仍是单项式； ② 系数相乘时，要注意符号； ③ 同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉. 知识点2 单项式乘多项式 1.运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 【提示】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 知识点3 多项式乘多项式 1.运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 知识点4 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2.规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 知识点5 单项式相除 1.运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 知识点6 多项式除以单项式 1.运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 题型专练 题型1. 单项式乘单项式 【例1】计算：（   ） A． B． C． D． 【例2】计算：___________． 【变式1】计算：___________． 【变式2】计算________________． 【变式3】计算：_____． 【变式4】计算_________． 题型2. 单项式乘多项式 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】计算__________ 【变式1】计算：____． 【变式2】计算：______________ 【变式3】计算：______． 【变式4】计算：__________． 题型3. 多项式乘多项式 【例1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】计算：________． 【变式1】计算：__________． 【变式2】计算：__________． 【变式3】计算：_______． 【变式4】，则的值是_______ 题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 【例1】乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】计算：______． 【变式1】如果，那么________，________． 【变式2】若，则___． 【变式3】若（m、n为常数），则____． 【变式4】已知，，则__________． 题型5. 整式乘法中字母求参问题 【例1】已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【例2】如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【例3】已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【变式1】已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若的运算结果中不含项，则________． 【变式3】若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为______． 【变式4】在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【变式5】（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 题型6. 整式乘法中的规律性问题 【例1】根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：         1  1                         1  2  1                      1  3  3  1                   1  4  6  4  1                         ……               …… 依据上述规律，可得 展开式中含项的系数为__________________． 【变式1】我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【变式2】观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为______． 【变式3】计算下列各式： _______． _______． _______． (1)由此可发现：_______（只写出结果）； (2)利用（1）计算的值． 题型7. 整式乘法的应用 【例1】如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【例2】陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． 【变式2】已知一个长方体包装箱的长为，宽为，高为． (1)求这个长方体包装箱的体积； (2)如果给这个长方体包装箱的外表面都喷上油漆，那么需喷油漆的面积为多少平方米？ 【变式3】【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 【变式4】如图，一公路旁有一块小型长方形的果园（果园到公路旁的间隙忽略不计），已知该果园长，宽，为了扩宽车道，该公路现计划沿方向拓宽，且要求至少拓宽．考虑到园主利益，施工方提议，可将果园沿方向加宽，并向园主承诺，拓宽后的果园面积只多不少．请你用所学的知识帮园主判断，施工方的承诺能否兑现． 题型8. 同底数幂的除法运算 【例1】下列运算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【例2】计算： (1) (2) 【变式1】计算：______． 【变式2】若，，则的值为______． 【变式3】已知，求的值． 题型9. 单项式除以单项式 【例1】计算：______． 【例2】计算：． 【变式1】计算：________． 【变式2】计算_____． 【变式3】计算：_____． 【变式4】计算：． 题型10. 多项式除以单项式 【例1】计算：________． 【例2】计算：． 【变式1】计算：______． 【变式2】计算：． 【变式3】计算． 【变式4】计算： 题型11. 整式四则混合运算 【例1】计算： 【例2】计算 (1) (2) 【变式1】计算： (1)． (2) 【变式2】计算或化简 (1) (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 【变式4】计算： (1) (2) 题型12. 整式乘法中的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中． 【例2】化简求值：，其中x是最大的负整数． 【变式1】已知a、b满足，求的值． 【变式2】先化简，再求值：．其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中满足． 【变式4】先化简，再求值：，其中与互为相反数． 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）下列计算中，结果为多项式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）若运算结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知线段a，b，c．从中任取两条作为一个梯形的上底与下底，第三条作为该梯形的高，这三种选取方式如下：①上底为a，下底为b，高为c；②上底为a，下底为c，高为b；③上底为b，下底为c，高为a．这三种选取方式对应的梯形面积分别记作，若则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 7．（2026·河南周口·一模）物理学中光的传播速度约为某恒星发出的光到达地球需要4.2年，一年按秒计算，该恒星与地球的距离用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26七年级下·北京·期中）规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 11．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为____． 14．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 15．（2026·上海浦东新·二模）年月日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚度米，一根头发丝直径约毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的______倍．（用科学记数法表示） 16．（25-26七年级下·四川·期中）下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 17．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：______． 18．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）化简 (1)； (2)． 20．（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中，． 22．（25-26七年级下·河南郑州·期中）先化简，再求值：，其中，． 23．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若定义是以为系数的二次三项式，可以表示为：，其中，均为实数． 例如：，完成下面的探究： (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 24．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 25．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 26．（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 27．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值． 28．（2026·安徽池州·二模）【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法 题型归纳 【题型1. 单项式乘单项式 3】 【题型2. 单项式乘多项式 4】 【题型3. 多项式乘多项式 6】 【题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 7】 【题型5. 整式乘法中字母求参问题 9】 【题型6. 整式乘法中的规律性问题 13】 【题型7. 整式乘法的应用 16】 【题型8. 同底数幂的除法运算 19】 【题型9. 单项式除以单项式 21】 【题型10. 多项式除以单项式 23】 【题型11. 整式四则混合运算 24】 【题型12. 整式运算中的化简求值 27】 【巩固练习 30】 知识清单 知识点1 单项式乘单项式 1.运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【提示】 ① 单项式乘单项式的结果仍是单项式； ② 系数相乘时，要注意符号； ③ 同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉. 知识点2 单项式乘多项式 1.运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 【提示】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 知识点3 多项式乘多项式 1.运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 知识点4 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2.规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 知识点5 单项式相除 1.运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 知识点6 多项式除以单项式 1.运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 题型专练 题型1. 单项式乘单项式 【例1】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【例2】计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，直接根据单项式乘以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键； 根据单项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】计算________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则成为解题的关键． 根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法等知识点，掌握积的乘方运算法则成为解题的关键． 先算积的乘方，然后按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】计算_________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，利用同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型2. 单项式乘多项式 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 【例2】计算__________ 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式的方法计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：____． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】计算：______________ 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据单项式乘以多项式的运算求解即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可先去括号，然后再进行整式的加减运算． 【详解】解：原式； 故答案为． 【变式4】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法混合运算．根据单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型3. 多项式乘多项式 【例1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则展开并合并即可得出答案． 【详解】解： 故选D． 【例2】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式2】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键． 根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4】，则的值是_______ 【答案】2019 【详解】解：∵， ∴ ． 题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 【例1】乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式1】如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：， ∴，， 故答案为：，． 【变式2】若，则___． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】若（m、n为常数），则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，准确计算是解题的关键． 直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案． 【详解】解：（m、n为常数）， （m、n为常数）， ，， ． 故答案为：． 【变式4】已知，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的变形求值，掌握乘法法则是关键． 根据多项式与多项式相乘的法则对所求代数式进行变形，再把和的值代入，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故答案为∶． 题型5. 整式乘法中字母求参问题 【例1】已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 【例2】如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 【例3】已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 【变式1】已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 【变式2】若的运算结果中不含项，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式中不含有某项的问题， 展开多项式乘法后，合并同类项，令项的系数为零，求解的值. 【详解】解： ， ∵多项式的运算中不含项， ∴， 解得. 故答案为：2. 【变式3】若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． （1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【详解】（1）解：甲错把看成了4，得到结果是： ， 乙错把看成，得到结果：， ∴， ，， 解得：； （2）． 【变式5】（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值 . 【详解】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 题型6. 整式乘法中的规律性问题 【例1】根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 【例2】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：         1  1                         1  2  1                      1  3  3  1                   1  4  6  4  1                         ……               …… 依据上述规律，可得 展开式中含项的系数为__________________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 首先确定是展开式中的第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：根据杨辉三角，可得展开式中的第二项为： ， ∴展开式中含项的系数为， 故答案为：． 【变式1】我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第四项的系数． 【详解】解：通过观察可得除过每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和， 的第四项系数， 的第四项系数， 的第三项系数， ∴的第四项系数， 故选：D． 【变式2】观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法的规律探索，熟练利用题中等式得出规律是解题的关键．利用规律得出，求出，再代入求解即可． 【详解】解：根据规律可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】计算下列各式： _______． _______． _______． (1)由此可发现：_______（只写出结果）； (2)利用（1）计算的值． 【答案】(1) (2)1093 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及数字规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． （1）根据前几个等式左右变化规律求解即可； （2）利用（1）中规律得到，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 故答案为：． （2）解：由（1）知，， 所以 ． 题型7. 整式乘法的应用 【例1】如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 【例2】陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 【答案】(1)（平方米）； (2)元． 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． （1）根据题意，结合图形列式即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算，将结果与相乘即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）当米时， （平方米）， （元）， 即修建观赏台需要总费用元． 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． 【答案】平方米 【分析】本题考查列代数式及整式的运算，绿化的总面积为长方形地块的面积减去中间空白矩形面积． 【详解】解：绿化的总面积为： （平方米）． 【变式2】已知一个长方体包装箱的长为，宽为，高为． (1)求这个长方体包装箱的体积； (2)如果给这个长方体包装箱的外表面都喷上油漆，那么需喷油漆的面积为多少平方米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查单项式的乘法的应用、列代数式，涉及单项式乘单项式、单项式乘多项式，理解题意，掌握单项式乘法运算法则是解答的关键． （1）先利用长方体的体积公式列代数式，再利用单项式乘单项式的运算法则求解即可； （2）先利用长方体的表面积公式列出代数式，再利用单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以这个长方体包装箱的体积为； （2）解：因为包装箱的表面积为， 所以需喷的油漆． 【变式3】【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．可用和两种方法表示如图②中阴影部分的面积，由此可以得出，、之间的等量关系是； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (1)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (2)已知，，利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）利用体积相等推导出； （2）利用（1）中结论进行变形计算即可． 【详解】（1）解：根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：， ； （2）解：由（1）知：， ， ，， ， ． 【变式4】如图，一公路旁有一块小型长方形的果园（果园到公路旁的间隙忽略不计），已知该果园长，宽，为了扩宽车道，该公路现计划沿方向拓宽，且要求至少拓宽．考虑到园主利益，施工方提议，可将果园沿方向加宽，并向园主承诺，拓宽后的果园面积只多不少．请你用所学的知识帮园主判断，施工方的承诺能否兑现． 【答案】施工方的承诺不能兑现，理由见解析． 【分析】本题考查因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是读懂题意，表示出果园原来的面积和改变后的面积，先表示出果园原来的面积和改变后的面积，相减判断差的符号即可． 【详解】解：施工方的承诺不能兑现，理由如下： 果园原来的面积为， 改变后果园面积为， ∵， ∴ ∴改变后果园面积变小，施工方的承诺不能兑现． 题型8. 同底数幂的除法运算 【例1】下列运算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算中幂的运算法则和同类项合并规则，只需根据对应法则逐一计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：A选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ A错误，不符合题意； B选项，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，运算有意义时结果为， ∴ B正确，符合题意； C选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，， ∴ C错误，不符合题意； D选项，与不是同类项，不能合并， ∴ D错误，不符合题意． 【例2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法与除法运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及多项式除以单项式的法则． （1）先根据幂的乘方法则计算乘方，再依据同底数幂的乘法法则进行乘法运算； （2）按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加． 【详解】（1）解： （2） 【变式1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂运算的运用．先利用幂的乘方法则求出的值，再根据同底数幂的除法法则计算的值． 【详解】解：，， 【变式3】已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握逆用同底数幂的除法是解题的关键．先逆用同底数幂的除法的性质将转化为同底数幂相除，再逆用幂的乘方的性质将式子进行转化，最后将已知条件代入求值． 【详解】， ， ． 题型9. 单项式除以单项式 【例1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握计算法则是解题的关键． 根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： 【变式1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握相关运算法则即可；根据单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式2】计算_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】计算：_____． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则． 先根据积的乘方计算，再根据单项式除以单项式的计算法则进行计算，单项式除以单项式：系数与系数相除，同底数幂相除（底数不变，指数相减），只在被除数中出现的字母连同它的指数，作为商的一个因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，单项式除以单项式，根据相应的运算法则先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可． 【详解】解： ； 题型10. 多项式除以单项式 【例1】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了多项式除以单项式．用多项式的每一项除以单项式，再把得到的结果相加即可． 【详解】解： 【变式1】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式除以单项式的计算方法求解即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算． 【答案】 【分析】此题考查了多项式与单项式的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 【变式4】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式运算，根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： 题型11. 整式四则混合运算 【例1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据单项式乘以多项式法则、单项式除以单项式法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【例2】计算 (1) (2) 【答案】(1)　； (2)． 【分析】　本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再乘除，合并同类项即可； （2）原式同时计算完全平方公式和多项式除以以单项式法则，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）原式， ． 【变式1】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，最后计算多项式除以单项式即可； （2）先计算零指数幂，再根据积的乘方的逆运算法则和同底数幂乘法的逆运算法则把变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算或化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算、多项式的混合运算，（1）先计算幂运算、再计算乘法运算，最后计算加减； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，熟练掌握整式的加减乘除混合运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式和同底数幂的除法，再合并同类项，即得答案； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，即得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的混合运算． （1）利用积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可； （2）利用积的乘方和单项式乘以单项式计算后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 题型12. 整式乘法中的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确的去括号是解题的关键．先去括号，再根据合并同类项化简，最后将代入到化简后的结果进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【例2】化简求值：，其中x是最大的负整数． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解，化简再求值，先提取公因式化简，再计算即可． 【详解】 ； 是最大的负整数， ， ． 【变式1】已知a、b满足，求的值． 【答案】47 【分析】本题考查整式乘法的化简求值，平方差公式，算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质和整式的乘法公式是解题的关键． 根据非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再利用平方差公式和多项式乘以多项式展开化简，代入数据求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【变式3】先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式的化简求值，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内单项式乘以多项式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后根据平方和绝对值的非负性求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 【变式4】先化简，再求值：，其中与互为相反数． 【答案】，1 【分析】先根据多项式乘多项式法则将所求式子展开，然后合并同类项，再根据相反数的定义得，然后根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组，再代值计算即可． 【详解】解： ， ∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴原式 ． ． 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）下列计算中，结果为多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，是单项式，不是多项式，A错误； 选项B：，是两个单项式的和，属于多项式，B正确； 选项C：，是单项式，不是多项式，C错误； 选项D：，不属于整式，不是多项式，D错误． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． ∵的展开式中不含项， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）若运算结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解： ， ∵运算结果中不含项， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知线段a，b，c．从中任取两条作为一个梯形的上底与下底，第三条作为该梯形的高，这三种选取方式如下：①上底为a，下底为b，高为c；②上底为a，下底为c，高为b；③上底为b，下底为c，高为a．这三种选取方式对应的梯形面积分别记作，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出，然后通过作差法结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 由得，，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即； 由得，，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即， ∴． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据程序框图列出式子，再计算化简，再根据对于任意x，输出的y恒为定值，可得的系数为，求解即可． 【详解】解：， ∴， ． 7．（2026·河南周口·一模）物理学中光的传播速度约为某恒星发出的光到达地球需要4.2年，一年按秒计算，该恒星与地球的距离用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出某恒星发出的光到达地球需要的秒数，再用秒数乘以速度即可． 【详解】解：， ． 8．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据给出的各式归纳出一般规律，再将所求式子对照规律，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数， 则中，最高次项为，对应规律得 ， 即， ∴把，代入规律得． 9．（25-26七年级下·北京·期中）规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 11．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】10 【分析】先按照多项式与多项式的乘法法则展开原式，再合并关于x的同类项，令x一次项的系数等于0，列方程求解即可． 【详解】解：， 计算结果中不含x的一次项， ， 解得：． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为____． 【答案】 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值． 【详解】解：， ， ∴， ． 14．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 【答案】 【详解】 解：根据题意得代表的整式是 ． 15．（2026·上海浦东新·二模）年月日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚度米，一根头发丝直径约毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的______倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后通过法则即可求解． 【详解】解：． 16．（25-26七年级下·四川·期中）下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与长方形面积计算，解题的关键是利用“阴影面积=大长方形面积-小长方形面积”的关系，结合多项式乘法法则化简． 先分别计算大、小长方形的面积，再用大长方形面积减去小长方形面积，最后通过多项式乘法和合并同类项化简结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：______． 【答案】 【分析】先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 18．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算单项式乘法和积的乘方，再合并同类项； （2）利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，从而完成化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 21．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 22．（25-26七年级下·河南郑州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式. 23．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若定义是以为系数的二次三项式，可以表示为：，其中，均为实数． 例如：，完成下面的探究： (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2)7 【分析】（1）根据定义得到多项式，再将代入计算即可； （2）根据定义得到多项式，再根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得到m的值，最后将m的值代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴=， 把代入得； （2）解：由题：， ， 即， ， ． 24．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 25．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 26．（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 27．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 28．（2026·安徽池州·二模）【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①找到规律：第n行是的字母的系数，即可求解； ②数之和可以看作时的值，即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）找到规律：前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，即可求解． 【详解】（1）解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． （2）观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． （3）观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $