期末专题09 乘法公式（4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

该初中数学乘法公式专题复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，知识梳理模块涵盖平方差公式、完全平方公式、应用注意事项及添括号法则，以公式表达式、文字语言、特征及常见变形呈现脉络，突出公式几何意义与变形应用等重难点。 讲义亮点在于7大题型分层设计，如平方差公式几何验证题（题型2）培养几何直观，完全平方变形求值题（题型4）提升运算能力，典例配变式满足不同层次学生需求。过关检测覆盖基础与综合应用，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

期末专题09 乘法公式 （4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 平方差公式】 2 【题型2 平方差公式与几何图形】 4 【题型3 完全平方公式】 7 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 10 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 12 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 17 【题型7 整式的混合运算】 19 知识梳理 乘法公式是整式乘法的特殊形式，是简化多项式乘法运算的重要工具 知识点1、 平方差公式 公式表达式 文字语言 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式特征 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 常见变形 位置变形： 系数变形： 符号变形： 知识点2 完全平方公式 公式表达式 和的完全平方： 差的完全平方： 文字语言 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 公式特征 左边是一个二项式的完全平方。 右边是三项式，首尾两项是左边二项式各项的平方，中间项是左边两项乘积的 2 倍，符号与左边二项式中间的符号一致。 口诀记忆 首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 常见变形 知识点3 公式的应用注意事项 公式中的a、b 可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等代数式。 运用公式前要先判断式子是否符合公式的结构特征，避免盲目套用。 计算时要注意符号：尤其是完全平方公式的中间项符号，以及平方差公式中相反项的符号处理。 知识点4 拓展：添括号法则（配合乘法公式使用） 法则内容：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 示例： a+b−c=a+(b−c)； a−b+c=a−(b−c) 题型精讲 【题型1 平方差公式】 【典例1】．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 解题技巧：本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【变式1-1】．计算：（　　） A．535000 B．835000 C．585000 D．无法计算 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两个数的和与差的乘积计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【变式1-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行计算即可； （2）直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-3】．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 解题技巧：本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【变式2-1】．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：， 图2长方形的面积为， 根据两者面积相等，可得， 故选：A． 【变式2-2】．如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于的恒等式． 【详解】解:正方形中，， 拼接后等腰梯形的面积， ∵面积相等， ∴． 故选：D． 【变式2-3】．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 【题型3 完全平方公式】 【典例3】．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【详解】解：∵， 又∵=， ∴， 比较x项系数得：， 故选：C． 解题技巧：本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【变式3-1】．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】通过完全平方公式展开并简化即可；本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式3-2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，难度适中．先进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【变式3-3】．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 【典例4】．已知，则的值为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 解题技巧：本题主要考查了完全平方公式变形求值，利用完全平方公式进行推导求值即可． 【变式4-1】．已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，，，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式4-2】．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式4-3】．已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ； （3），， ． 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例5】．有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 解题技巧：此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【变式5-1】．如图，两个形状、大小相同的长方形和长方形，点在边上，，，且．当，时，图中阴影部分的面积为（    ） A．60 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查列代数式以及整式乘法的应用．正确的识图，得到图形的边长，是解题的关键． 延长交于，利用割补法求出阴影部分的面积，列出代数式，变形后将代入求值即可． 【详解】解：如图，延长交于， ，， 则 ， 当时， 阴影部分的面积． 故选C． 【变式5-2】．如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用，用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：14． 【变式5-3】．【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： (1)写出图1中所表示的数学等式：______； (2)如图2是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______； (3)【灵活应用】图3中有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和18，求正方形A，B的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，通过对完全平方公式变形求值等知识点，解题关键是掌握完全平方公式． （1）用两种方式表示图形的面积，从而可得等式； （2）用两种方式表示阴影部分的面积，从而可得等式； （3）先得出，，再由，解得：．从而可得正方形A，B的面积之和． 【详解】（1）解：图1中的面积可表示为，也可表示为， 所以图1中所表示的数学等式：， 故答案为：； （2）图2是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，阴影部分的面积可表示为，也可表示为， 所以得到的数学等式是， 故答案为：； （3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b． ∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和18， ∴，， ∴， ∴． ∴正方形A，B的面积之和为． 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 【典例6】．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【详解】解：， ， ∴ ， ∴ . 故选：D． 解题技巧：本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，比较系数求出m的值，即可求解． 【变式6-1】．如果是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．9 B．6 C．3 D．3或 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】题目主要考查完全平方公式的计算，熟练掌握是解题关键． 根据完全平方公式，表达式应匹配 的形式，通过比较系数求出 ，再根据常数项关系解出． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴设 ， 比较系数，得 ， ∴ ， 又 ， ∴，即， ∴， 故选：D． 【变式6-2】．关于的整式是个完全平方式，则 ． 【答案】或 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式，将整式与的形式比较系数，求出与的关系，进而得到的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 【变式6-3】．若是完全平方式，则 ． 【答案】9或/或9 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，由，再通过比较系数确定参数的值． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：9或． 【题型7 整式的混合运算】 【典例7】．化简：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【详解】解： 解题技巧：本题考查了整式运算的知识；根据完全平方公式、去括号法则、合并同类项的性质计算，即可得到答案． 【变式7-1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先运用完全平方公式和平方差公式展开式子，然后合并同类项即可． （2）先计算积的乘方，再计算多项式除以单项式． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式7-2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式7-3】．用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中； (4)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)9984 (2) (3)；0 (4)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的四则混合运算以及化简求值，熟练掌握整式的四则混合运算和完全平方公式是本题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先运用多项式除以单项式和完全平方公式把括号展开，再合并同类项，把a、b的值代入结果中即可求解； （4）运用单项式乘以多项式法则和完全平方公式、平方差公式把括号展开，合并同类项，把x、y的值代入化简的结果中即可求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； 当时， 原式； （4）解： ， 当时， 原式． 思维导图 过关检测 1．化简的结果为（　　） A． B．9 C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的运算，先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故选B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算中各类计算的法则是解题的关键． 通过合并同类项、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方、单项式乘法等知识，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】选项A中，和不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； 选项B中，，故B错误，不符合题意； 选项C中，，故C错误，不符合题意； 选项D中，，故D正确，符合题意； 故选D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将 表示为 ，然后代入已知值计算． 【详解】解：, ， . 故选：A． 4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 5．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与面积，观察两个图，得左图面积平行四边形的面积，右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，再结合阴影面积不变，故，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则 左图面积平行四边形的面积底乘高，即左图面积； 右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，即右图面积； 根据阴影面积不变，得， 故选：C． 6．已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形． 运用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解． 【详解】解：∵ ∴当时， 原式 故选：A． 7．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，把所求式子乘以，所得结果不改变原式的结果，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8．已知：，，则ab的值为（    ） A．14 B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 9．若，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 利用完全平方公式，由已知条件和，通过关系式计算的值． 【详解】解：由得， 由得， 则， 所以． 故答案为：． 10． ． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作、、，则 ； ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，可以得到，配方得，把代入即可求出的值，即可得解． 【详解】每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆圈上的数字之和应为，其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， ， ； 故答案为：；． 12．若，则 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开所求表达式，并代入已知条件计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．运用平方差公式计算： ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 将 表示为 ，应用平方差公式进行化简． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 14．定义一种新的运算：规定，则 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了新定义运算，平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算，进而根据平方差公式进行简便运算，即可求出值． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式除以单项式、整式的混合运算 【分析】（1）结合同底数幂相乘、同底数幂相除进行计算即可得解； （2）结合多项式除以单项式运算法则进行计算即可得解； （3）结合完全平方公式、平方差公式，整式的混合运算法则进行计算即可得解； （4）结合平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、同底数幂相除、多项式除以单项式、完全平方公式、平方差公式、整式的混合运算法则，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及化简求值，首先利用平方差公式、完全平方公式和单项式与多项式乘法法则化简，再合并同类项，再把代入化简后的整式计算求值． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 17．现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握该知识点，正确找到等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为45米和30米，列出方程组并解题即可． （2）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为和，列出方程组用含、的代数式表示、，然后根据作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，得到，代入、得到关于、的方程，可求得，则、的代数式也可求得，最终得到和的数量关系． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． （2）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． ， ， ， ， ， ，， ． 18．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题09 乘法公式 （4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 平方差公式】 2 【题型2 平方差公式与几何图形】 3 【题型3 完全平方公式】 4 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 5 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 6 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 7 【题型7 整式的混合运算】 8 知识梳理 乘法公式是整式乘法的特殊形式，是简化多项式乘法运算的重要工具 知识点1、 平方差公式 公式表达式 文字语言 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式特征 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 常见变形 位置变形： 系数变形： 符号变形： 知识点2 完全平方公式 公式表达式 和的完全平方： 差的完全平方： 文字语言 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 公式特征 左边是一个二项式的完全平方。 右边是三项式，首尾两项是左边二项式各项的平方，中间项是左边两项乘积的 2 倍，符号与左边二项式中间的符号一致。 口诀记忆 首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 常见变形 知识点3 公式的应用注意事项 公式中的a、b 可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等代数式。 运用公式前要先判断式子是否符合公式的结构特征，避免盲目套用。 计算时要注意符号：尤其是完全平方公式的中间项符号，以及平方差公式中相反项的符号处理。 知识点4 拓展：添括号法则（配合乘法公式使用） 法则内容：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 示例： a+b−c=a+(b−c)； a−b+c=a−(b−c) 题型精讲 【题型1 平方差公式】 【典例1】．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 解题技巧：本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【变式1-1】．计算：（　　） A．535000 B．835000 C．585000 D．无法计算 【变式1-2】．计算： (1)． (2)． 【变式1-3】．先化简，再求值，其中． 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 解题技巧：本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【变式2-1】．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C．4 D． 【变式2-2】．如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【题型3 完全平方公式】 【典例3】．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 解题技巧：本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【变式3-1】．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【变式3-2】．先化简，再求值：，其中，． 【变式3-3】．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 【典例4】．已知，则的值为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 解题技巧：本题主要考查了完全平方公式变形求值，利用完全平方公式进行推导求值即可． 【变式4-1】．已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【变式4-2】．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【变式4-3】．已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【题型5 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例5】．有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 解题技巧：此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【变式5-1】．如图，两个形状、大小相同的长方形和长方形，点在边上，，，且．当，时，图中阴影部分的面积为（    ） A．60 B．10 C．20 D．30 【变式5-2】．如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式5-3】．【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： (1)写出图1中所表示的数学等式：______； (2)如图2是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______； (3)【灵活应用】图3中有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和18，求正方形A，B的面积之和． 【题型6 求完全平方公式中的字母系数】 【典例6】．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A． B． C．16 D． 解题技巧：本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，比较系数求出m的值，即可求解． 【变式6-1】．如果是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．9 B．6 C．3 D．3或 【变式6-2】．关于的整式是个完全平方式，则 ． 【变式6-3】．若是完全平方式，则 ． 【题型7 整式的混合运算】 【典例7】．化简：． 解题技巧：本题考查了整式运算的知识；根据完全平方公式、去括号法则、合并同类项的性质计算，即可得到答案． 【变式7-1】．计算： (1) (2) 【变式7-2】．先化简，再求值：，其中，． 【变式7-3】．用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中； (4)先化简，再求值：，其中． 思维导图 过关检测 1．化简的结果为（　　） A． B．9 C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 5．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 7．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知：，，则ab的值为（    ） A．14 B．6 C． D． 9．若，，则的值是 ． 10． ． 11．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作、、，则 ； ． 12．若，则 ． 13．运用平方差公式计算： ． 14．定义一种新的运算：规定，则 ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 18．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $