数列 测试题（二）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心概念与综合应用，通过基础到创新的题型设计，系统覆盖等差等比数列、递推关系、求和及跨模块应用，强化逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|单选1-3、多选9-10、填空12-13|考查定义辨析、基本量计算及性质判断|从等差等比数列定义出发，推导通项与求和公式，形成概念-公式-性质的逻辑链| |递推数列与求和|单选4-5、填空14、解答15-17|涉及递推关系转化、错位相减及裂项相消法|通过构造新数列实现递推到通项的转化，结合函数思想解决求和及恒成立问题| |综合应用与创新|单选6-8、多选11、解答18-19|结合概率、实际情境及跨模块知识|以数列模型为载体，体现数学抽象与建模能力，衔接函数、不等式及统计知识|

一轮复习课《数列》测试题二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为等比数列，而且（    ） A． B． C． D． 2．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 4．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 6．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设*，则“数列为等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，（），斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的正确结论是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则，，是等比数列 C．若，都是等差数列，前项和为，且，则 D．若是等比数列，且（，为常数），则 11．在2025年乒超联赛总决赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2､3､4､⋯堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆第一层的乒乓球数为，第堆乒乓球的总数为，则（    ）（参考公式：） A． B． C． D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列中，，，则_____. 13.数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式____________________． 14．数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为__________. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 17．（15分）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 18．（17分）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. (1)若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； (2)求这局比赛甲获胜的概率； (3)记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 19．（17分）某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐． (1)求；(2)求（）； (3)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习课《数列》测试题二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为等比数列，而且（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】利用等比数列的通项公式的基本量运算求出公比和，即可求的值. 【详解】设等比数列的公比为. 由可得，又，所以. 又由可得解得. 所以.故选：D 2．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【详解】由等差数列前项和性质可得，​， 因为，所以， 再根据等差数列中项性质：， 代入得，即， 又已知，设公差为，则，解得， 即等差数列的通项公式， 所以. 3．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为，所以. 4．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 5．已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列是以2为首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以6为公差的等差数列， 所以. 故选：B. 6．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【详解】由，则，，则， 因为是等差数列，则，即是递减数列， 又，， 则满足的正整数的值为14. 7．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 8．设*，则“数列为等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.4 【分析】根据充分必要条件的判断方法可通过特殊值举例，分充分性和必要性，分别判断. 【详解】数列为等比数列，设，则，充分性不成立； 设为常数列，且，满足，但不是等比数列，必要性不成立． 故选：D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，（），斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的正确结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】根据斐波那契数列的递推公式可得到累加后即可判断A选项；取特殊值代入即可排除B选项；根据斐波那契数列的递推公式可得到，累加后即可得到C选项；将看成，然后再利用递推公式即可判断D选项. 【详解】因为，，则，且, 所以，，，…，，， 累加得，故A正确； 因为时，，故B错误； 因为，，…，， 将以上各式相加，得，故C正确； 因为，所以 ， 故D正确。 故选：ACD. 10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则，，是等比数列 C．若，都是等差数列，前项和为，且，则 D．若是等比数列，且（，为常数），则 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】对于A，根据等差数列的定义结合与的关系判断即可；对于B，举例即可判断；对于C，根据等差数列的性质及求和公式求解判断即可；对于D，先求出，再根据等比数列的定义求解判断即可. 【详解】对于A，由是等差数列，设其公差为，为常数， 则 ，即， 当时，， 则，为常数， 则是等差数列，故A正确； 对于B，当时，满足是等比数列，而， 此时，，不是等比数列，故B错误； 对于C，由，都是等差数列，， 则，故C正确； 对于D，由，得，，， 则，， ， 因为是等比数列，所以，即， 则，即，故D正确. 故选：ACD 11．在2025年乒超联赛总决赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2､3､4､⋯堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆第一层的乒乓球数为，第堆乒乓球的总数为，则（    ）（参考公式：） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【分析】对于A，由题意求出即可判断；对于B，利用裂项相消法求出即可判断；对于C，，根据题目信息即可求解；对于D，利用裂项相消法求解即可判断. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，， 所以当时，故A正确； 对于B选项， ， 所以 ， 因为且，所以，即，故B错误； 对于C选项， ，故C正确； 对于D选项，， ， ，故D正确． 故选：ACD． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列中，，，则_____. 【答案】 【难度】0.94 【分析】利用给定数列的递推规则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为： 13.数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式____________________． 【答案】 【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可. 【详解】因为且， 所以， 令，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以①， 当时，②， ①②得， 当时代入上式得，符合条件， 综上， 故答案为： 14．数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为__________. 【答案】8 【难度】0.65 【分析】将递推式两边同时平方可得的通项公式，从而求出的通项公式，利用累乘对不等式进行化简，得到不等关系，再结合恒成立问题求出正整数的最大值. 【详解】由得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由得，. 因为，所以，则， 可得，则正整数的最大值为8. 故答案为：8. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【难度】0.6 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【详解】（1）在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. （2）（ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 16．（15分）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）先应用因式分解得出，再结合计算求解通项公式； （2）先化简再应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. （2）由于，故 . 17．（15分）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.51 【分析】（1）当时，可得，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即．又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴， 故. 令， ∴， ∴， ∴，∴. 18．（17分）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成后，先多得2分的一方获胜）.甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至. (1)若已知比赛结果为，求这局比赛是乙获胜的概率； (2)求这局比赛甲获胜的概率； (3)记为这局比赛结束时甲的总发球个数，求的数学期望. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）分析比赛结果为的所有情况及其概率，利用条件概率公式求得这局比赛是乙获胜的概率； （2）分析之后的3种情况（甲连赢两球、乙连赢两球，甲乙各赢一球战成平局后再比）的概率，由全概率公式列出递推公式，从而求得这局比赛甲获胜的概率；或由分类分步，归纳可得若打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时，由极限思想求无穷等比数列的和可得这局比赛甲获胜的概率. （3）分结束比赛，和比分为平，继续比赛两种情况进行分行，可列得甲继续发球数的期望所对应的方程，从而求得的数学期望. 【详解】（1）由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球， 记事件：甲发球甲赢，事件：乙发球乙赢，事件：比赛结果为16：14，事件：乙这局比赛获胜. 所求为， ， ，所以. 所以在已知比赛结果为的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为. （2）方法一（全概率公式）：由（1）知，之后，有3种情况： ①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件，则； ②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件，则； ③甲与乙各赢一球，再次打平，比分为15：15，记作事件，则. 设事件：这局比赛甲获胜. 由全概率公式有， 由于比分为与比分为比赛的状态完全相同，所以， 所以，解得， 故这局比赛甲获胜的概率为. 方法二（分类分步与极限思想）：由（1）知再打2球甲获胜的概率，打平的概率为， 则再打4球后甲获胜的概率为，打平的概率为， 再打6球甲获胜的概率为，打平的概率为. 依此类推，打个球后甲获胜，则需前个球每两个球都打平，此时. 故甲获胜的概率为， 当时，，，故这局比赛甲获胜的概率为. （3）比分为平时甲已经发球14个，设之后甲继续发球个数的期望为，由（1）可得： ①若结束比赛，此时甲继续发球数为1，概率为； ②若比赛没有结束，比分为平，概率为，甲继续发球数的期望为. 从而，解得. 所以甲的总发球个数的期望为. 19．（17分）某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐． (1)求；(2)求（）； (3)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)(3)分布列见解析， 【难度】0.4 【分析】（1）根据，逐步根据题意计算； （2）由递推关系先得到，然后构造等比数列求解； （3）先列举出王同学前天不连续三天在同一家餐厅就餐的所有情况，然后结合条件概率和独立事件的乘法公式求解. 【详解】（1）由题知，，， （2）由题知，， 可得，又，则是首项为，公比为的等比数列，则，则 （3）王同学前5天在哪个餐厅用餐可能情况如下： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 X A A B A A 4 B 3 B A 3 B A A B 3 B A 3 B 2 B A A 3 B 2 所以可取值为2，3，4， ， ， ， 即的分布列为： 2 3 4 . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $