精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷 七年级数学卷

2025学年第二学期七年级期末学业评价调测试卷（2026.6） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共20分） 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 若分式无意义，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 2. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式的结构特征为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：，不能用平方差公式计算； B选项：，不能用平方差公式计算； C选项：，可以用平方差公式计算； D选项：，不能用平方差公式计算． 3. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、，因式分解正确，A符合题意； B、不能分解为，故B错误，不符合题意； C、是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故C错误，不符合题意； D、，原分解没有分解彻底，故D错误，不符合题意． 4. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 5. 体重指数（BMI）是国际上衡量人体胖瘦程度及健康状况的常用标准，主要用于筛查是否存在超重、肥胖或体重不足．体重指数计算公式为：体重指数=体重（）÷身高2（m）．某中学为了解八年级600名男生的体重指数情况，随机抽取了50名男生，测得他们的体重指数并整理如下： 等级 偏瘦 正常 超重 肥胖 体重指数 人数/名 6 35 7 2 根据以上信息，估计该校八年级600名男生中体重指数等级为正常的是（ ） A. 35名 B. 42名 C. 350名 D. 420名 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抽取的50名样本中，体重指数等级为正常的人数是35名， ∴样本中正常等级的占比为， ∴估计八年级600名男生中正常等级的人数为名． 6. 满足二元一次方程和的部分，值分别如表、表所示，则方程组的解是（ ） 表 表 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由表格可知：同时满足两个方程的解为． 7. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 当时，则有， ∴． 8. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 9. 我们把形如的整体叫集合，其中，，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的性质，结合集合元素的互异性，逐步推导出和的值，再计算． 【详解】解：∵，存在， ∴， ∵中含有元素，中元素为，且， ∴可得， ∵中含有元素，中元素为，且，不可能为， ∴可得，解得， 检验：将代入得，，满足，符合集合元素互异性， ∴． 10. 某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出关于，，的方程，利用，为非负整数的性质，求解得到的可能值，再匹配选项即可． 【详解】解：∵原轨道长米，若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段， ∴， 整理得； ∵原轨道长米，若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段， ∴， 整理得； 可知， 整理得． ∵，为非负整数，且， 因此方程的非负整数解为，，， 将三组解分别代入计算： 当时，，不符合选项； 当时，，符合选项； 当时，，不符合选项； 因此可能为米． 试卷Ⅱ（非选择题，共80分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式____________． 【答案】 【解析】 【分析】多项式有两项，两项都含有相同的因式x，所以提取提取公因式x即可． 【详解】． 故答案为． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 计算：=___________． 【答案】3a﹣1 【解析】 【详解】解：（6a2﹣2a）÷2a= =6a2÷2a﹣2a÷2a =3a﹣1． 【点睛】整式的除法． 13. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 14. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 15. 《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为，“”的值为，则“天”与“地”的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的对应关系，设“天”为，“地”为，根据已知条件列出二元一次方程组，整体计算即可． 【详解】解：设“天”为，“地”为， 根据题干给出的代数式对应规则，可得方程组：， 整理得：， 得：， 两边同除以得：． 16. 某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图方式放在两条平行线，之间，其中点，在直线上，点，在直线上，，，．的平分线交直线于点，若．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，则________．    【答案】或 【解析】 【分析】由题意可分：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当点在点的右侧时，如图所示：    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ②当点在点的左侧时，如图所示： 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述：或． 三、解答题（本大题共有8小题，共62分） 17. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 整理方程得， 两边同时乘得， 整理得， 解得， 检验：当时，，分母不为零， ∴是原分式方程的解． 19. 下面是小柯同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简： 解：原式① ② ③ ④ （1）请指出小柯同学第一次出现错误步骤的序号：________；并写出正确的化简过程． （2）请在，，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）第一次出现错误的步骤序号为②， 正确化简过程：原式 ； （2）选择代入，原式的值为 【解析】 【分析】（1）需要检查给定化简步骤，根据去括号法则找出错误，再按分式混合运算规则正确化简； （2）需要先根据分式有意义的条件排除使分母为0的数值，选择合法的数值代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解：步骤①的通分和因式分解均正确，步骤②计算分子去括号时未对括号内的项变号，因此第一次错误的步骤序号为②． 正确化简过程略； 【小问2详解】 解：要使分式有意义，分母不能为，因此可得：，，，即且， 因此只能选择代入化简结果． 将代入得：． 20. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A．鲁迅故里、B．安昌古镇、C．柯岩风景区、D．东湖、E．兰亭五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数为________人，并在图中补全条形统计图； （2）请写出图中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是________； （3）若该校七年级共有名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 【答案】（1）100，补全条形统计图如下： （2） （3）最喜欢去D地研学的学生人数为200人 【解析】 【分析】（1）由统计图可知喜欢去B的人数为20人，所占百分比为，然后可得被调查总人数，进而问题可求解； （2）用乘以C部分所占的比例即可； （3）根据题意可直接列式进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：本次调查的学生人数为人， 其中喜欢去A的人数为人， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：由（1）可得：图中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：由题意得：（人）； 答：最喜欢去D地研学的学生人数为200人． 21. 如图，在中，点在上，点在上，点，在上，，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，则有，然后问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图，它所对应的公式为________（填写对应公式的序号）． ①： ②： ③： （2）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，求的值． （3）如图，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）①； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过大正方形面积的两种表示方法，验证完全平方公式的变形； （2）利用周长和面积得到与，整体代入展开式求值； （3）设A，B两张纸片的边长分别为m，n，根据题意得到，，根据完全平方公式得到，进而计算即可． 【小问1详解】 解：据图可知，大正方形的边长为， 则其面积为， 也可以看成四个长、宽分别为、的矩形和边长为的正方形的面积之和， 即， 可得； 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图， 设A，B两张纸片的边长分别为m，n， 可知大正方形的边长为， ∴， ∵A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 23. 绍兴“朝花夕拾”文创店主打鲁迅语录盲盒、古风手账本、故乡主题钥匙扣，六一推出促销活动，借文创让青少年了解鲁迅精神． 素材 进价：文创盲盒________元/个 手账本_______元/本 钥匙扣元/个 售价：元/个 元/本 元/个 素材 文创盲盒进价比手账本进价贵元，且用元购买文创盲盒的数量与用元购买古风手账本的数量相等． 素材 为了刺激消费，商店实行以下优惠： 盲盒 买个盲盒送个钥匙扣 手账本 买本手账送个钥匙扣 问题解决： （1）求文创盲盒和古风手账本的进价． （2）小桥班按优惠方案购买盲盒与手账本，获赠若干钥匙扣，三种物品共件，总花费元，求盲盒数量． 【答案】（1）文创盲盒的进价为元，古风手账本的进价为元 （2）购买盲盒个 【解析】 【分析】（1）设文创盲盒的进价为元，则古风手账本的进价为元，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设购买盲盒个，由题意得：，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设文创盲盒的进价为元，则古风手账本的进价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， 答：文创盲盒的进价为元，古风手账本的进价为元． 【小问2详解】 解：设购买盲盒个，由题意得： ， 整理得：， 解得：； 答：购买盲盒个． 24. 新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； （2）若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1）①×；②√；③× （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义逐一验证数对； （2）根据定义列方程求解； （3）先根据定义得到与的关系，代入目标方程化简后，结合整数解的限制条件求出整数． 【小问1详解】 解：①对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； ②对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴是“友好数对”； ③对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； 【小问2详解】 ∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 解得，即； 【小问3详解】 ∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 即， 将代入方程，得， 两边同乘得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵方程有整数解，为整数， ∴为整数，即是2的整数约数， ∴或， 解得，，，， ∵，且时，不符合的条件， ∴或． 【点睛】本题为新定义题型，解题核心是紧扣“友好数对”的定义，结合分式方程的求解、整式化简以及整数的性质进行计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级期末学业评价调测试卷（2026.6） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共20分） 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 若分式无意义，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 2. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 体重指数（BMI）是国际上衡量人体胖瘦程度及健康状况的常用标准，主要用于筛查是否存在超重、肥胖或体重不足．体重指数计算公式为：体重指数=体重（）÷身高2（m）．某中学为了解八年级600名男生的体重指数情况，随机抽取了50名男生，测得他们的体重指数并整理如下： 等级 偏瘦 正常 超重 肥胖 体重指数 人数/名 6 35 7 2 根据以上信息，估计该校八年级600名男生中体重指数等级为正常的是（ ） A. 35名 B. 42名 C. 350名 D. 420名 6. 满足二元一次方程和的部分，值分别如表、表所示，则方程组的解是（ ） 表 表 A. B. C. D. 7. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行． A. B. C. D. 8. 计算（ ） A. B. C. D. 9. 我们把形如的整体叫集合，其中，，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（ ）米． A. B. C. D. 试卷Ⅱ（非选择题，共80分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式____________． 12. 计算：=___________． 13. 若分式的值为0，则的值为_____． 14. 若，，则________． 15. 《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为，“”的值为，则“天”与“地”的和为________． 16. 某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图方式放在两条平行线，之间，其中点，在直线上，点，在直线上，，，．的平分线交直线于点，若．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，则________．    三、解答题（本大题共有8小题，共62分） 17. 计算下列各题： （1） （2） 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 19. 下面是小柯同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简： 解：原式① ② ③ ④ （1）请指出小柯同学第一次出现错误步骤的序号：________；并写出正确的化简过程． （2）请在，，，中选择一个合适的数代入求值． 20. 某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A．鲁迅故里、B．安昌古镇、C．柯岩风景区、D．东湖、E．兰亭五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数为________人，并在图中补全条形统计图； （2）请写出图中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是________； （3）若该校七年级共有名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 21. 如图，在中，点在上，点在上，点，在上，，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图，它所对应的公式为________（填写对应公式的序号）． ①： ②： ③： （2）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，求的值． （3）如图，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为，A，B两张纸片的面积和为，求阴影部分的面积． 23. 绍兴“朝花夕拾”文创店主打鲁迅语录盲盒、古风手账本、故乡主题钥匙扣，六一推出促销活动，借文创让青少年了解鲁迅精神． 素材 进价：文创盲盒________元/个 手账本_______元/本 钥匙扣元/个 售价：元/个 元/本 元/个 素材 文创盲盒进价比手账本进价贵元，且用元购买文创盲盒的数量与用元购买古风手账本的数量相等． 素材 为了刺激消费，商店实行以下优惠： 盲盒 买个盲盒送个钥匙扣 手账本 买本手账送个钥匙扣 问题解决： （1）求文创盲盒和古风手账本的进价． （2）小桥班按优惠方案购买盲盒与手账本，获赠若干钥匙扣，三种物品共件，总花费元，求盲盒数量． 24. 新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； （2）若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $