精品解析：浙江省杭州市钱塘区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，可以看作由其中一个图形经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A： 该图形属于中心对称图形，不能通过平移得到，故本选项错误；  B： 该图形属于旋转对称图形，需通过旋转得到，故本选项错误；  C ：该图形可以看作由一个基本图形（例如左上角的图案分别向右、向下、向右下平移）平移得到，符合平移性质，故本选项正确； D ：该图形属于旋转对称图形，需通过旋转得到，故本选项错误． 2. 据报道，中国科学院化学研究所科研团队首次制备出宽度约为0.00000000082米的原子级单链晶体．数据0.00000000082用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为，其中满足，为原数小数点向右移动的位数， ∴． 3. 下列根据如图所示的信息得到的结论，其中正确的是（） A. 点到直线的距离是线段的长 B. 点到直线的距离是线段的长 C. 点到直线的距离是线段的长 D. 点到直线的距离是线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．结合图形中的垂直符号进行判断即可． 【详解】解：由图可知，，． 对于A，线段与不垂直，不是点到直线的距离，故A错误； 对于B，，点到直线的距离是线段的长，故B正确； 对于C，线段与不垂直，不是点到直线的距离，故C错误； 对于D，，点到直线的距离是线段的长，故D错误． 4. 甲、乙两位同学分解因式的结果分别为和．下列说法正确的是（ ） A. 甲错误，乙正确 B. 甲乙都正确 C. 甲正确，乙错误 D. 甲乙都错误 【答案】A 【解析】 【详解】解： ∵  ， ∴ 甲的分解错误； ∵ ， ∴ 乙的分解正确． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要根据完全平方公式、同类项合并规则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则逐一判断选项. 【详解】解：选项A：∵ ∴ A错误； 选项B：∵ 与不是同类项，不能合并 ∴ B错误； 选项C：∵ ∴ C正确； 选项D：∵ ∴ D错． 6. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳个数并整理、绘制成如图． 下列说法中正确的是（ ） A. 甲同学有3天的跳绳个数多于乙同学 B. 甲、乙同学的跳绳个数每天都在增加 C. 甲、乙同学跳绳个数最少都是179个 D. 甲、乙同学跳绳个数最多都是188个 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，甲同学有3天的跳绳个数多于乙同学，故A正确； 甲同学第二天到第三天的跳绳个数在减少，故B错误； 乙同学跳绳个数最少是177个，故C错误； 甲同学跳绳个数最多是187个，故D错误． 7. 将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将扩大后的，替换原分式中的，，化简后与原分式比较，值相等的即为正确选项． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，不符合要求； B、，与原分式值相等，符合要求； C、，分式值变为原来的倍，不符合要求； D、，分式值变为原来的倍，不符合要求． 8. 某校举办青年教师座谈会，若每桌坐8人，则有6人没有座位；若每桌坐10人，则最后一桌只有6人．设青年教师有x人，桌子有y张，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵总人数为，桌子数为， 第一种方案：每桌坐8人，6人没有座位，坐满的总人数为，加上没座位的6人等于总人数， ∴ 第二种方案：每桌坐10人，最后一桌只有6人，即前桌坐满，总人数等于前桌人数加最后一桌的6人 ， ∴，化简得， 可得方程组． 9. 若分式方程有增根，则a的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的概念，解题思路为：先根据分式分母为0确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程计算得到的值. 【详解】解：∵ 分式方程有增根， ∴ 增根满足，即， 方程两边同乘去分母得： ， 整理得， 将代入得： 解得． 10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（ ） A. 20 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据杨辉三角的规律得出展开式的各项系数，再根据确定各项系数的符号，从而得出答案． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，下一行的系数等于上一行相邻两数之和， ∵的系数为， ∴的系数为， ∵， ∴展开式中各项系数的符号正负相间，即第、、、项系数为正，第、、项系数为负， ∴的展开式中从左起第四项的系数为． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_____ ． 【答案】 【解析】 【详解】解 ． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据分式值为的条件，即分子为且分母不为，列条件求解即可. 【详解】解：分式的值为， 需满足： 解得， 当时，分母，满足分母不为的条件， 因此符合要求． 13. 如图，已知直线，，，，若，则的度数为_____ ． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得，根据邻补角的定义可得． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ． 14. 某班学生参加课外兴趣小组的情况如图所示（每人只参加一个课外兴趣小组）．若参加体育兴趣小组的人数比参加音乐兴趣小组的人数多2人，则该班共有学生_____ 人． 【答案】 【解析】 【详解】解：由扇形统计图可知，参加体育兴趣小组的人数占总人数的，参加音乐兴趣小组的人数占总人数的， 该班共有学生： （人）． 15. 若关于x，y的方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与相反数的概念，根据，互为相反数得到，将其代入原方程组，即可求解得到的值. 【详解】解：，互为相反数， ，将代入原方程组得：， 解得． 16. 已知，则n的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 解得：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式：． （2）提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程（组） （1）解方程组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 某校对七年级男生开展实心球投掷测试，以下是测试成绩抽样与数据分析过程． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为3分，最高分为满分10分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）写出，，，的值，并补全频数分布直方图． （2）若该校七年级男生共有280人，请根据样本数据估计七年级男生实心球投掷测试成绩达到分的人数． 【答案】（1） ，，， 补全频数分布直方图如下： （2）人 【解析】 【分析】（1）根据第1组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）利用全校人数乘以成绩不低于分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 则， ， ，， 【小问2详解】 解：（人） 答：估计七年级男生实心球投掷测试成绩达到分的人数为人． 21. 对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． （1）将分式化为形式，并写出m，n的值． （2）若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】（1）， ， （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 22. 现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖千克，各种糖的质量和单价如表．商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 单价/（元/千克） 已知甲种糖的单价比乙种糖的单价多元/千克，且这千克糖的平均价为元． （1）求表中，的值． （2）加入甲、乙、丙三种糖中的一种糖，使混合糖的单价每千克提高元，应加入哪种糖果？加入多少千克？ 【答案】（1）的值为，的值为 （2）应加入甲种糖，加入千克 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可． （2）需要分类讨论加入哪一种糖，分别计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克， 列方程组 解得 答：甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克． 【小问2详解】 解：由（1）知甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克， 根据题意设加入甲种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴加入甲种糖千克，可使混合糖的单价为每千克元． 设加入乙种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， ， 不成立，舍去． 设加入丙种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，但为负值意味着减少丙种糖的含量不符合题意舍去． 综上所述，加入甲种糖千克，可使混合糖的单价为每千克元． 23. 在学习乘法公式时，甲同学发现这四个代数式之间是有关系的，即，，．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求和的值． 【答案】（1）8 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据，求出和的值，进而根据求出的值，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则 综上所述，． 24. 折纸是一门古老又有趣的艺术．如图1，已知点，分别在长方形纸条，边上且，沿直线进行第一次折叠，点，的对应点分别是，，交于点，点，分别在，边上（点不与点重合），沿直线进行第二次折叠，点，的对应点分别是，．设，． （1）当时： ①若，求的度数． ②求与满足的关系式． （2）如图2，当时，求与满足的关系式． 【答案】（1）①； （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据第一次折叠求出，再利用平行线性质由、、依次得出、、，由邻补角性质得，结合第二次折叠的性质得到，最后通过角度作差即可求出的度数； ②把具体角度替换为，沿用①的推导步骤，用含的式子逐步表示各相关角，即可得出与满足的关系式； （2）先由得到，结合求出，利用对顶角相等得到，再根据第二次折叠的性质求出，最后依据平角定义列等式整理，即可得出与的关系式． 【小问1详解】 解：①由第一次折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由第二次折叠得， ∴； ②由第一次折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由第二次折叠得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由第二次折叠得， ∵， ∴， 整理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，可以看作由其中一个图形经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，中国科学院化学研究所科研团队首次制备出宽度约为0.00000000082米的原子级单链晶体．数据0.00000000082用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列根据如图所示的信息得到的结论，其中正确的是（） A. 点到直线的距离是线段的长 B. 点到直线的距离是线段的长 C. 点到直线的距离是线段的长 D. 点到直线的距离是线段的长 4. 甲、乙两位同学分解因式的结果分别为和．下列说法正确的是（ ） A. 甲错误，乙正确 B. 甲乙都正确 C. 甲正确，乙错误 D. 甲乙都错误 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳个数并整理、绘制成如图． 下列说法中正确的是（ ） A. 甲同学有3天的跳绳个数多于乙同学 B. 甲、乙同学的跳绳个数每天都在增加 C. 甲、乙同学跳绳个数最少都是179个 D. 甲、乙同学跳绳个数最多都是188个 7. 将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校举办青年教师座谈会，若每桌坐8人，则有6人没有座位；若每桌坐10人，则最后一桌只有6人．设青年教师有x人，桌子有y张，则（ ） A. B. C. D. 9. 若分式方程有增根，则a的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（ ） A. 20 B. C. 15 D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_____ ． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____ ． 13. 如图，已知直线，，，，若，则的度数为_____ ． 14. 某班学生参加课外兴趣小组的情况如图所示（每人只参加一个课外兴趣小组）．若参加体育兴趣小组的人数比参加音乐兴趣小组的人数多2人，则该班共有学生_____ 人． 15. 若关于x，y的方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值为_____ ． 16. 已知，则n的值为_____ ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 18. 因式分解： （1）． （2）． 19. 解方程（组） （1）解方程组：； （2）解分式方程：． 20. 某校对七年级男生开展实心球投掷测试，以下是测试成绩抽样与数据分析过程． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为3分，最高分为满分10分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）写出，，，的值，并补全频数分布直方图． （2）若该校七年级男生共有280人，请根据样本数据估计七年级男生实心球投掷测试成绩达到分的人数． 21. 对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． （1）将分式化为形式，并写出m，n的值． （2）若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 22. 现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖千克，各种糖的质量和单价如表．商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 单价/（元/千克） 已知甲种糖的单价比乙种糖的单价多元/千克，且这千克糖的平均价为元． （1）求表中，的值． （2）加入甲、乙、丙三种糖中的一种糖，使混合糖的单价每千克提高元，应加入哪种糖果？加入多少千克？ 23. 在学习乘法公式时，甲同学发现这四个代数式之间是有关系的，即，，．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求和的值． 24. 折纸是一门古老又有趣的艺术．如图1，已知点，分别在长方形纸条，边上且，沿直线进行第一次折叠，点，的对应点分别是，，交于点，点，分别在，边上（点不与点重合），沿直线进行第二次折叠，点，的对应点分别是，．设，． （1）当时： ①若，求的度数． ②求与满足的关系式． （2）如图2，当时，求与满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $