5.5.2简单的三角恒等变换 同步练习--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过基础-提升-综合三层设计，覆盖三角恒等变换公式应用、函数性质及综合证明，梯度合理，助力新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-7）|最小正周期、二倍角公式等基础应用|聚焦公式直接应用，如周期计算、简单恒等变换| |提升层（多选8-9、填空10-17）|同角关系、和差角公式、降幂公式|强调公式辨析与灵活运用，如给值求值、公式变形| |综合层（解答18-21）|函数性质（周期/单调性/最值）、综合证明|突出逻辑推理与综合应用，如函数性质探究、三角恒等式证明|

5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 7．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 二、多选题 8．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 9．下列关系式与化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数的值域为______； 11．已知，，则____. 12．已知，则______． 13．若函数的最大值为13，则常数__________. 14．把化为的形式为_______. 15．已知函数，则的最小正周期为_________________. 16．已知角顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则的值为_____. 17．已知，且.写出满足条件的一组，的值______，______. 四、解答题 18．已知，. (1)求和的值； (2)若，，求证：. 19．已知函数. (1)求的最小正周期及最值； (2)求在上的单调递增区间. 20．（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 21．已知函数，． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A B B A A C ABD BC 1．B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【详解】由，所以最小正周期． 2．A 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用三角函数的周期公式可判断ACD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A符合要求； 对于B选项，对于函数，因为，故函数的最小正周期不是，B不符合要求； 对于C选项，函数的最小正周期为，C不符合要求； 对于D选项，函数的最小正周期为，D不符合要求. 3．B 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、cos2x的降幂公式及应用 【分析】借助降幂公式可得，再结合余弦型函数性质计算即可得. 【详解】， ，故的最小正周期为，即①正确； 当时，， 由在上单调递增， 故在上单调递增，故②正确. 4．B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式、给值求值型问题、二倍角的余弦公式 【详解】因为，所以，所以， 由，则. 5．A 【知识点】给值求角型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 6．A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 7．C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给角求值型问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】将代入，利用凑特殊角的方法，结合两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则 . 故选：C 8．ABD 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】由同角的平方关系求出的值判断A；由诱导公式求出的值判断B；由两角和的正弦公式求出的值判断C；由二倍角公式求出判断D. 【详解】对于A，因为为第二象限角，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 9．BC 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】由三角函数诱导公式结合三角函数恒等变换依次验证选项即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 10． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式将原函数转化为正弦函数型，结合正弦函数的有界性求值域. 【详解】因为，由辅助角公式得 ， 因为，，所以，， 所以的值域为. 11． 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、sin2x的降幂公式及应用、已知弦（切）求切（弦）、sinxcosx的降幂公式及应用 【详解】由，，得， 所以. 12． 【知识点】和差化积公式、二倍角的余弦公式、积化和差公式 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 13． 【知识点】辅助角公式 【详解】已知函数的最大值为13， 则，解得，进而. 14． 【知识点】辅助角公式 【详解】. 15． 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、二倍角的余弦公式 【详解】， 则的最小正周期为. 16． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角三角函数的概念，结合三角函数恒等变换求解即可 【详解】因为角终边经过点，所以， 所以. 17． （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【详解】，根据诱导公式可得 ， 解得或， 化简可得（任意）或（任意）， 因为， 所以取时，，任选，如， 代入验证可得. 18．(1)， (2)由（1）知， 因为， 因为，，所以， 所以. 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给值求角型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以，所以； 所以. （2）略. 19．(1)最小正周期为，最大值为，最小值为. (2)单调递增区间为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx的函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简得，由三角函数的性质求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）因为. 所以函数的最小正周期为，最大值为，最小值为. （2）由， 得， 所以函数的单调递增区间为. 20．(1)；(2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）将所求齐次分式分子分母同除以，转化为用表示的形式代入计算； （2）对已知等式两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角正弦公式求解. 【详解】（1）由可知，对所求式子分子分母同除以， 原式. （2）将两边同时平方得： ， 即， 得，解得. 21．(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）通过二倍角公式、同角三角函数关系将原式化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解周期； （2）利用正弦函数范围求解最大值. 【详解】（1） ，其中， 则函数的最小正周期； （2）由，其中， 由，故的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $