第1章 一元二次方程（复习课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系及实际应用，通过知识图谱将概念要素、四种解法、判别式与根的关系、应用类型等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的分层复习模式，如通过例8平均变化率问题、例9利润问题培养数学建模意识，配方法应用题型提升运算能力，针对训练题覆盖不同难度满足个性化需求。这种设计既巩固学生知识，又帮助教师精准把握复习重点。

第1章 一元二次方程 复习课件 青岛版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能准确识别一元二次方程，能把一元二次方程化成一般式，并能正确指出各项的系数。 02 基本技能 掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解解法。能根据方程特征选用适当的方法解一元二次方程。 深化理解 能用根的判别式判断方程根的情况。能根据根的情况求字母系数的取值范围。 思想与应用 在解决实际问题时，进而建立方程模型，借助一元二次方程求解，得到结论，是数学建模思想应用的重要体现。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 (1)用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;（2）用根的判别式判定一元二次方程实根的存在性问；(3)列出一元二次方程解应用问题，会检验方程解的合理性。 (1)一元二次方程的概念和解法； （2）一元二次方程根的判别式； （3）一元二次程根与系数的关系； (4)列出一元二次方程解应用题。 4 知识图谱 一元二次方程 根的判别式Δ＝b2－4ac. 根与系数的关系 列一元二次方程解实际问题 概念 解法 一般形式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 5 考点串讲 ——1：一元二次方程的概念 方程两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的三要素 ：（1）是整式方程（整理前）； （2）只含有一个未知数；（3）整理后未知数的最高次数是2。 6 考点串讲 ——2：一元二次方程的一般形式： 一般形式 项及项 的系数 特点 ax２ + bx + c=0（a≠0） 二次项为ax２， 二次项系数为a 一次项为bx 一次项系数为b 常数项为c。 方程左边是关于未知数的二次整式， 右边为0. 注意 (1)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，但b，c可以为0; (2)ax２＋bx＋c＝０(a≠0)是关于x的方程，即未知数为x; (3)指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，必须先将方程化为一般形式，一定注意二次项、一次项、常数项、二次项系数及一次项系数都包括前面的符号，特别是“-”不能漏。 7 考点串讲 ——3：一元二次方程的根 1.定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 2.判断一个数值是否为一元二次方程的根的方法： 将这个数值代入一元二次方程，看方程两边是否相等. 若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 8 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 1.直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 类型 表达形式 求解方法 x2=k（k≥0） x=±, (mx+n)²=k(k≥0) mx+n=± (ax+b)²=(mx+n)² ax+b=±(mx+n) 开平方把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程,得原方程的根 适用类型 9 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 2.配方法 当一元二次方程的二次项系数为1时, 可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程的左边配成一个完全平方式,再由平方根的意义求解方程。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 （1）化；（2）移；（3）配；（4）开；（5）写。 配方法解一元二次方程的一般步骤： 10 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 3.公式法 一般地,当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是：x = 。 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。 步骤 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ；二定：确定a，b，c的值，不要漏掉符号； 三算：计算 b2-4ac 确定方程根的情况； 四判：判断 b2-4ac 的符号； 五代: 代入求根公式。 11 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 4.因式分解法 利用提取公因式，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法把方程左边化成两个因式乘积的形式，右边为0，从而实现降次转化成一次方程从而得解。 因式分解法求解的步骤： 第一步：移项变形 右式化为 0 第二步：因式分解左式变成乘积 第三步降次求解 解一次方程 12 考点串讲 ——5：一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)是否有实数根,是由式子b2－4ac值的符号决定的。我们把代数式b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的判别式. 1.根的判别式 2.根的判别式Δ＝b2－4ac的值与根的个数的关系 Δ的判别式 Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 两个不相 等实数根 两个相等 实数根 没有实数根 13 考点串讲 ——6：一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,)的有两个实数根为x1,x2, 那么x1+x2= ，x1•x2= 。 2.利用一元二次方程根与系数的关系讨论根的符号： Δ≥0且x1•x2＞0 Δ＞0且x1•x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值较大 两根异号且负根的绝对值较大 14 考点串讲 ——6：一元二次方程根与系数的关系 3.一元二次方程根与系数关系的应用： (1)不解方程，求关于两根的代数式的值; (2)已知方程的一个根，求另一个根及方程中字母系数值; (3)已知方程两根的关系，求方程中字母系数的值。 15 考点串讲 ——7：一元二次方程与实际问题 1.列一元二次方程解实际问题的一般步骤是： 01审题：找题目中的已知量、未知量、量与量的关系及等量关系； 02设未知数：根据题 意设合适的未知数 （间接设或直接设）； 03列方程（组）：根据量与量的关系及等量关系列出方程； 04解方程（组）： 用适当的方法 求出未知数的值； 05验根：验根是否是所列方程的解,且是否符合题意 ； 06答：完整，规范 的写出际问题的答案。 16 考点串讲 ——7：一元二次方程与实际问题 2.列一元二次方程解实际问题的常见类型： （1）平均增长（降价）率： ①增长率问题 设基数为a，平均增长率为x，增加两次后的 数量为b.则a（1+x)2=b； ②下降率问题 设基数为a，平均下降率为x，下降两次后的数量为b.则a（1-x)2=b 17 考点串讲 ——7：一元二次方程与实际问题 （2）利润问题 销售中利润问题的关系式: ①利润=售价-进价； ②利润率=×100%= ×100% ； ③售价=进价×(1+利润率)=商品标价×； ④总销售额=总销售量×商品单价; ⑤总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出。 18 考点串讲 ——7：一元二次方程与实际问题 （3）古代数学问题 对于古代数学问题，核心是抓住和、差、倍、分、均分、剩余、不足等关键词，列一元二次方程解决。常见类型:鸡兔同笼问题、盈亏问题、均分问题、盈不足问题等。解决的关键是化古为今，巧设未知数，列方程求解。 19 考点串讲 ——7：一元二次方程与实际问题 4.黄金分割问题 如图所示，点C是线段AB上的一点， 它把线段AB分割为两部分，使AC是AB与CB的比例中项，即= 通过列一元二次方程，解得=。这里是个无理数，精确到0.001的近似值是0.618。在图中,我们称点C为线段AB的黄金分割点。 • A B C 20 题型全解 题型01 依据一元二次方程的概念确定字母的值 例1、当a为何值时，方程(a+1)x|a|+1+2x-7=0为关于x的一 元二次方程? 解:∵方程(a+1)x|a|+1+2x-7=0为关于x的一元二次方程， |a|+1=2。 a+1≠0， ∴ ∴故当a=1时，原方程为关于x的一元二次方程。 解得a=1 21 题型全解 根据一元二次方程的概念确定字母的值方法总结 条件 1：未知数的次数 当一元二次方程的未知数的最高次数含有字母时，未知数的最高次数2. 条件 2：二次项系数 当二次项系数是含字母的代数式时必须保证二次项系数不为0。 题型01 依据一元二次方程的概念确定字母的值 题型全解 题型02 一元二次方程的解法 例2、用适当的方法解下列方程: (1)（2x+3）2-1=3 (2)2x2+4x-1=0; (3)2x(x-3)+x=3; (4)x2-5x=2x-2. 分析:根据方程的结构特点，选择恰当的方法求解. (1)整理可得（2x+3）2=16，适合用平方根的意义求解; (2)把二次项系数化为1后,一次项系数为偶数，适合用配方法求解; (3)移项后，能进行因式分解，适合用因式分解法求解; (4)适合用公式法求解. 23 题型全解 题型02 一元二次方程的解法 解：(1)整理得 （2x+3）2=16 ； (2)系数化为1得 x2+2x-=0; 开平方得 2x+3=±4 解得 x1=,x2=- 。 移项得 x2+2x= ; 配方法得 x2+2x+1=1-; 变形得（x+1）2= 开平方得x+1=± x1=-1+,x2=-1- 。 24 题型全解 题型02 一元二次方程的解法 (3)移项得2x(x-3)+x-3=0; (4)整理得x2-7x+2=0. 因式分解,得 (x-3)（2x+1）=0； ∴x-3=0或2x+1=0； ∴ x1=3, x2=- 。 a=1,b=-7,c=2, Δ=（-7）2-4×1×2 =41＞0。 x1 = , x2 = 。 25 题型全解 适当解法选择方法总结 总结极简解法判断依据 1. 能分解成乘积=0 → 因式分解法 2. 能化成平方=常数 → 直接开平方法 3. 以上都做不到 → 公式法 4. 题目硬性规定配方 / 需求最值 → 配方法 补充辅助解法判断小依据 1. 常数项c=0：大多提公因式， 优先因式分解； 2. 一次项b=0：优先直接开平方法； 3. a、b、c都是较小整数，优先 尝试因式分解； 4. a、b、c数值大、带根号、小数， 直接用公式法。 题型02 一元二次方程的解法 题型全解 题型03 配方法的应用 例3、阅读材料:把一个多项式进行配方可以解决代数式 的最大(或最小)值问题。 例如:x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2 ∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2, ∴代数式x2+2x+3有最小值，最小值是2。 根据以上信息，解决下列问题:(1)求代数式x2-4x+5的最小值; (2)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值。 27 题型全解 题型03 配方法的应用 解：（1）x2-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1 ∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1, ∴代数式x2-4x+5有最小值，最小值是1。 （2）∵2x2+kx+7=2（x2+x)+7=2(x+)2+7- ∴代数式2x2+kx有最小值7-. ∴7- =2 ∴k=±2 28 题型全解 方法总结 用配方法求代数式的最值 求多项式ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的最值时，要先把多项式配方成a(x+h)2+k的形式。若a≠1,则需要提出二次项系数a，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。若a>0，则代数式ax2+bx+c有最小值;若a<0，则代数式ax2+bx+c有最大值。 题型03 配方法的应用 题型全解 题型04 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 例4、已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解:由题意得, k+1≥2。 1-2k≠0， ∴ b2-4ac=（-2）2-4(1-2k)×（-1）＞0. 解得,-1≤k＜2且k≠ 30 题型全解 方法总结 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 在解一元二次方程中字母的取值或取值范围问题时，要认真观 察，如果二次项系数是含有字母的代数式，那么要确保二次项系数不等于零，只有在这一条件下讨论的方程才是一元二次方程。另外，绝对不能把方程有实数根与有两个实数根混为一谈。在解题时，不要一 遇到“实数根”的字眼，就想当然地认为方程就一定是一元二次方程，因为一元一次方程有实数解也可以称作一元一次方程有实数根。 题型04 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 题型全解 题型05 利用根的判别式进行相关证明 例5、已知关于x的方程kx2-(4k-3)x+3k-3=0。 (1)若k=1，求该方程的根。 (2)若x=-1是该方程的一个根，求k的值。 (3)小慧同学提出:无论k取何值，这个方程都有实数根。请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由。 解析：(1)把k的值代入方程，利用因式分解法求解; (2)把x=-1代入方程，化为关于k的方程求解; (3)根据题意，分方程是一元二次方程和方程是一元一次方程 两种情况讨论。 32 题型全解 题型05 利用根的判别式进行相关证明 解:(1)若k=1,则方程为x2-x=0. ∴x(x-1)=0,解得∴ x1=3, x2=- 。 (2)把x=-1代人方程，得k+4k-3+3k-3=0, 解得k=,故k的值是. 33 题型全解 题型05 利用根的判别式进行相关证明 (3)小慧同学的观点正确。理由: ①当k≠0时， ∵Δ=[-(4k-3)]2-4k(3k-3)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0, ∴这个方程有实数根。 ②当k=0时，原方程为3x-3=0， 解得x=1，这个方程有实数根。 ∴无论k取何值，方程都有实数根。 34 题型全解 方法总结 利用根的判别式证明一元二次方程有实数根的技巧 在利用根的判别式证明一元二次方程有实数根时，首先计算判别式，再判断判别式与0的大小关系，进而得到结论。需要注意的是，若判别式计算出来是一个多项式，要通过配方判断其取值范围。 题型05 利用根的判别式进行相关证明 题型全解 题型06 利用根的判别式解决几何图形问题 例6、已知关于x的一元二次方程ax2-(a+8)x+8=0，若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形?求此菱形的边长。 解析：根据菱形的性质知道邻边相等，因为邻边是方程的两个根，所以得到方程有两个相等的实数根，利用Δ=0求出a的值，进而求得方程的解，问题得解。 36 题型全解 题型06 利用根的判别式解决几何图形问题 解:∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。 ∵AB,BC的长是已知方程的两个实数根 ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ=[-(a+8)]2-4ax8=(a-8)2=0. ∴a的值为8, ∴一元二次方程为8x2-16x+8=0，解得x1=x2=1， ∴菱形的边长为1。 答:当a=8时，平行四边形ABCD是菱形，此菱形的边长为1。 37 题型全解 方法总结 利用根的判别式解决几何图形问题 解决一元二次方程根的判别式与几何图形的综合问题，一般根据几何图形的特点，确定一元二次方程根的判别式的取值，进而求出字母的值或范围，达到解决问题的目的。 题型06 利用根的判别式解决几何图形问题 题型全解 题型07 利用根与系数的关系求代数式的值 例7、已知关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+k=0有两个实数根。 (1)求k的取值范围; (2)当k=1时,x1，x2是方程的两个根，求x12+4x1+x2-3x1x2的值。 解析:(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式， 得k≠0且Δ≥0，求k的取值范围; (2)先将k=1代入得到方程，再利用根的定义和根与系数的关系，对所求式子进行变形，代换求值。 39 题型全解 题型07 利用根与系数的关系求代数式的值 解:(1)∵方程是一元二次方程，: ∴二次项系数k≠0。: ∵方程有两个实数根，∴Δ≥0, 即Δ=(2k+1)2-4k·k=4k2+4k+1-4k2=4k+1≥0, 解得k≥-。 综上,k≥-且k≠0。 40 题型全解 题型07 利用根与系数的关系求代数式的值 (2)当k=1时，方程为x2+3x+1=0。 由根的定义，得x12+3x1+1=0,即x12+3x1=-1。 由根与系数的关系，得x1+x2=-3,x1x2=1, x12+4x1+x2-3x1x2 =x12+3x1+x1+x2-3x1x2 =-1+(-3) -3×1=-7. 41 题型全解 方法总结 利用根与系数的关系求代数式的值 利用根与系数的关系求与-元二次方程的两个根有关的代数式的值时，一般考虑将两根之和、两根之积整体代入。若代数式不能完全用两根之和、两根之积表示，则可考虑结合根的定义或其他已知条件，先将代数式变形为能利用两根之和、两根之积的形式，再代入求值。 题型07 利用根与系数的关系求代数式的值 题型全解 题型08 列一元二次方程解平均变化率问题 例8、习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投人，月份投人图书购置经费50万元，三月份投人图书购置经费72万元。 (1)求该市图书馆这两个月投入图书购置经费的月平均增长率。 (2)如果按(1)中经费投入的月平均增长率计算，该市图书馆计划四月份用不超过当月图书购置经费5%的金额购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室。若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台? 43 题型全解 解析:(1)根据“一月份投入的图书购置经费×（1+月平均增长率)2=三月份投入的图书购置经费”列出方程求解; (2)根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入的图书购置经费的5%，列一元一次不等式求解。 解:(1)设月平均增长率为x， 根据题意，得50(1+x)2=72， 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)。答:月平均增长率为20%。 题型08 列一元二次方程解平均变化率问题 44 题型全解 (2)四月份的图书购置经费为72(1+20%)=86.4(万元)， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪(15-m)台。 根据题意，得3300m+2400(15-m)≤864000×5%， 解得m≤8。 答:最多可购买电脑8台。 题型08 列一元二次方程解平均变化率问题 45 题型全解 题型09 列一元二次方程解利润问题 例9、某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件。现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果每件这种商品每涨价0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元? 分析:设每件售价提高x元，则列表如下: 类型 单件利润（元） 销售量 总利润（元） 涨价前 涨价后 10-8=2 200 2×200=400 10+x-8=x+2 200-×10 (x+2)(200- ×10) 46 题型全解 题型09 列一元二次方程解利润问题 解:设每件售价提高x元，则每件利润为(10+x-8)元，即(x+2)元，每天的销售量为(200-×10)件。 根据题意，得(x+2)(200-×10)=640, 化简，得x2-8x+12=0, 解得x1=2，x2=6。 当x=2时，售价为每件12元，每天的销售量为200×10=160(件); 当x=6时，售价为每件16元，每天的销售量为200- ×10=80(件)。 47 题型全解 题型10 列一元二次方程解几何问题 例10、小海家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小海打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB的长为xm。 (1)如图(1),当AD≤MN时，①AD= m;(用含x的代数式表示) ②若围成的养蜂场面积为92m2，求AB的长。 (2)如图(2)，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到230m2? 说明理由。 48 题型全解 题型10 列一元二次方程解几何问题 解:(1)①(50-2x) ②根据题意，得(50-2x)x=92 整理得x2-25x+46=0， 解得x1=2，x2=23。 当x=2时,50-2x=50-2x2=46>10,不符合题意，舍去; 当x=23时，50-2x=50-2x23=4<10,符合题意。 答:AB的长为23m。 49 题型全解 题型10 列一元二次方程解几何问题 (2)养蜂场的面积不能达到230m2。理由如下: 假设养蜂场的面积可以达到230m2， ∵AB的长为xm, ∴BC的长为48+2+10-2x=(30-x)m。 根据题意，得(30-x)x=230,整理，得x2-30x+230=0。 ∵4=(-30)2-4×1×230=-20<0,∴原方程没有实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230m2。 50 题型全解 题型11 黄金分割点的应用 例11、图(1)是一张宽与长之比为:1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形。同学们都知道按如图(2)所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是，请根据图(2)证明你的结论; 若不是，请说明理由。 51 题型全解 题型11 黄金分割点的应用 分析:本题需先根据四边形ABEF是正方形，得出AB，DC，AF的长，从而得出AF与AD的比值，再根据点F是线段AD的黄金分割点，即可求出FD与DC的比值，根据比值判定矩形CDFE是黄金矩形。 解:矩形EFDC是黄金矩形。 证明:∵四边形ABEF是正方形， ∴AB=DC=AF。 52 题型全解 题型11 黄金分割点的应用 ∵= ∴= , 即点F是线段AD的黄金分割点。 ∴ = = ∴ = ∴矩形CDFE是黄金矩形。 53 针对训练 1.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x-5=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程?并求出此方程的根. (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程?并写出这个方程的 二次项系数、一次项系数及常数项。 解:(1)根据一元一次方程的定义可知m2-9=0且m+3≠0， 解得m=3,此时方程为6x-5=0，解得x= (2)根据一元二次方程的定义可知m2-9≠0，解得m≠±3. 该方程的二次项系数为m2-9，一次项系数为m+3，常数项为一5. 针对训练 2.已知关于x的方程mx2+(4m-2)x+4m-4=0(m为常数，且m≠0)。 (1)求证:方程总有实数根。 (2)若该方程有两个实数根， ①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根，求这个实数根; ②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值。 解：（1）证明:∵m≠0,∴方程为一元二次方程。 ∴Δ=(4m-2)2-4m(4m-4)=4>0,∴方程总有实根。 针对训练 (2)解:①x= = 解得x1=-2, x2=-， ∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实根-2。 ②∵x=- =-2+，又m为整数， ∴当m=±1，±2时，-2+为整数， 即m为±1，±2时方程的两个实根都是整数。 针对训练 3.已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，第三边BC的长为5，当 k为何值时，△ABC是等腰三角形?并求此时△ABC的周长。 分析:要使△ABC为等腰三角形，即有AB= AC或AB=BC 或AC=BC，注意分类讨论，把已知根代入方程即可求出k的值。 解:当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下: ①若BC为底，则AB=AC。此时应有Δ=0， Δ=[-(2k+1)]2-4k(k+1)=1≠0, 所以这种情况不存在。 针对训练 ②若BC为腰，则有AB=BC或AC=BC这两种情况。 当BC为△ABC的腰时， x=5是已知方程的根， 所以52-5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k1=4,k2=5. 当k=4时，方程的两个根分别为x1=k=4,x2=k+1=5, 此时△ABC的周长为4+5+5=14。 当k=5时，方程的两个根分别为x=k=5,x2=k+1=6, 此时△ABC的周长为6+5+5=16。 所以当k为4或5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16。 针对训练 4.(四川遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0。 (1)求证:无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且x12+x22-x1x2=9,求m的值。 解析;本题利用一元二次方程根与系数的关系求字母的值，解决此类问题的关键是先将已知的两根的关系式用一元二次方程两根的和与积表示出来，于字母的方程，再进行求解，值得注意的是求得的字母的值需满足Δ≥0。 针对训练 解:(1)∵Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1(m-1) =m2+4m+4-4m+4=m2+8>0, ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)∵方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2, ∴x1+x2=m+2,x1x2=m-1 ∵x12+x22-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9, ∴(m+2)2-3(m-1)=9。整理,得m2+m-2=0,即(m+2)(m-1)=0。 解得m1=-2,m2=1。∴m的值为-2或1 针对训练 5.(山东淄博中考)“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人。 (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率。 (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材，该公司规定:若购买不超过100套，每套售价1600元;若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1000元。已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数。 针对训练 解析：一元二次方程在实际问题中的应用是中考的常考内容，解题的关键是根据题目中存在的数量关系，列出方程，解方程得出的根要根据具体情况进行检验，合理取舍。中考中经常与分式、函数、图形等综合考查。 本题主要考察（1）求平均增长率时，用公式a(1+x)2=b，这里a为增长前的数值，b为增长后的数值，a的值应小于b的值； (2)设购买这种健身器材m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可. 针对训练 解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.由题意得32(1+x)2=50,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去). 答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)∵1 600×100=160 000<240 000, ∴购买的这种健身器材的套数大于100套. 设购买的这种健身器材的套数为m套.由题意得 m(1600-×40)=240000, 整理得m2-500m+60000=0, 解得m1=200,m2=300 当m=300时，售价为1600-×40=800<1000,不符合题意，舍去. 答:购买的这种健身器材的套数为200套. 单元总结/思想方法归纳 ·整体思想 本章中涉及的整体思想主要是利用一元二次方程的恒等变形及根与系数的关系，不解方程而达到求含有方程根的代数式的值的目的 ·分类讨论思想 在本章中，利用根的判别式来判断含有字母系数的一元二次方程根的情况，或利用一元二次方程根的情况来解决等腰三角形问题时，经常用到分类讨论思想。 ·建模思想 本章主要考查构造一元二次方程模型解决实际问题。在解决实际问题时，通过分析已知量、未知量及其等量关系，设出未知数，列出方程，再通过解方程可以得到实际问题的解。用方程的形式表示出来，构造方程模型解决实际问题。 64 青岛版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $