1.3 一元二次方程根的判别式（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾一般形式、解法及求根公式中b²-4ac≥0的条件，结合三个具体方程求解，引导学生观察判别式符号与根的关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是“观察-归纳-应用”探究过程，从特殊方程归纳关系再配方法推导证明，培养推理能力。典例强调化为一般式确定系数，落实抽象能力。如例4结合三角形三边证判别式大于0，提升应用意识。学生能发展归纳推理与代数证明能力，教师可借助清晰路径和分层练习提升教学效果。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.4 1.3一元二次方程根的判别式 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程根的判别式的推导过程;掌握能不解方程判断方程根的情况； 经历“观察-归纳-应用”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力； 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根的情况求参数的值（范围），能用根的判别式解决有关问题. 1.一元二次方程的一般形式是什么? 一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0(其中a≠0,a、b、c为常数)。 2.我们学过哪些解一元二次方程的方法? 一元二次方程常用的解法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，每种方法都有其适用的场景。 知识回顾 3.一元二次方程的求根公式是什么? 求根公式为：当b2-4ac≥0时,x = 。 公式法是解一元二次方程最通用的方法。 利用求根公式时为什么要强调 b2-4ac≥0这个条件呢？不加可以吗？ 知识回顾 今天我们研究代数式 b2-4ac值的符号是怎样决定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实数根的情况的？ 导入新课 下面的一元二次方程都有实数根吗? 4x2-12x-1=0; ① x2-2x+3=0; ② x2+4x+5=0。 ③ 怎样来判断这些方程有没有实数根？ 我们可以解一解每一个方程，根的情况就一目了然了。 ①4x2-12x-1=0; ② x2-2x+3=0; ③x2+4x+5=0 解：方程① a=4，b=-12，c=-1， 所以 b2－4ac=（-12）24×4×（-1） = 160 >0 x＝ = = 所以方程有两个不相等的实数根. x1 = ，x2 = . ①4x2-12x-1=0; ② x2-2x+3=0; ③x2+4x+5=0 解：方程②整理得x2-6x+9=0， x1 = x2 = 3. ( x - 3 )2 = 0 所以方程有两个相等的实数根。 此时a=1，b=-6，c=9， b2－4ac =（-6）24×1×9 =0 ①4x2-12x-1=0; ② x2-2x+3=0; ③x2+4x+5=0 解：方程③配方法得 x2+4x+22+5=0+22， ( x+2 )2 = -1 所以方程没有实数根。 此时a=1，b=4，c=5， b2－4ac =424×1×5 =-4＜0 根据平方根的意义可知， 不存在实数的平方等于负数。 通过解以上方程及实数根的情况你有什么发现？ 方程①有两个不相等的实数根. 方程① b2－4ac=（-12）24×4×（-1） = 160 >0 方程②有两个相等的实数根。 方程②b2－4ac=（-6）24×1×9=0 方程③没有实数根。 方程③b2－4ac=424×1×5=-4＜0 新的发现 方程及实数根的情况和代数式b2－4ac值的符号息息相关。 当 b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac＜0时，方程没有实数根。 以上结论对所有的一元 二次方程都适用吗？ (1)不解方程,怎样判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况? 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可配方为： (x+)2 = 。 所以方程根的情况就有 值的正负来决定。 而b2－4ac值的符号有三种情况： (x+)2 = 。① ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 因为a≠0 所以4a2＞0 所以式子 值的符号是由b2－4ac值的符号决定。 所以方程有两个不相等的实数根 (1) 当 b2－4ac＞0 时， ＞0，由①得 x+ =± (x+)2 = 。① ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) (2) 当 b2－4ac＝0 时， =0 ；由①可知， (x+)2 = 。① ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 所以方程有两个相等的实数根 x+ = ± (3) 当 b2－4ac＜0 时， ＜0，由①可知 (x+)2 = 。① ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) (x+)2 ＜0， 所以不存在 任何实数x使 (x+ )2 ＜0成立， 因此方程无实数根. 由此可见,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)是否有实数根,是由式子b2－4ac值的符号决定的。 我们把代数式b2－4ac叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的判别式, 通常用Δ表示, 即Δ=b2－4ac是根的判别式。 (2)上面结论的逆命题成立吗? (x+)2 = 。① ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 若方程有两个不相等的实数根， 则b2－4ac＞0 若方程有两个相等的实数根， 则b2－4ac=0 若方程无实数根， 则b2－4ac＜0 上面结论的逆命题成立 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0), 一元二次方程根的判别式： 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 反之,如果方程有两个不相 等的实数根,那么Δ>0。 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; 反之,如果方程有两个相等的 实数根,那么Δ=0。 当Δ<0时,方程没有实数根; 反之,如果方程没有实数根,那么Δ<0。 判别式的情况 根的情况 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)判别式Δ＝b2－4ac., Δ＞0 两个不相等实数根 Δ＝0 两个相等实数根 Δ＜0 没有实数根 Δ≥0 两个实数根 Δ＞0 两个不相等实数根 (1)使用根的判别式时，一定要先把一元二次方程化为一般形式，以便正确地找出a,b,c的值. (3)根的判别式b2－4ac是在一元二次方程中使用的，要注意隐含条件a≠0. (2)如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实根和有两个相等的实根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号。 注意： 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)判别式Δ＝b2－4ac. 例1、不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)4x2+3x-1=0; (2)2t2+3=2t。 分析： 解此类问题的关键是先计算出b2－4ac的值； 然后判断b2－4ac与0的大小关系； 从而判断原方程根的情况. 典例讲解 例1、不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)4x2+3x-1=0; (2)2t2+3=2t。 解:(1)a=4,b=3,c=-1, Δ=32-4×4×(-1)=25>0。 所以原方程有两个不相等的实数根。 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. 典例讲解 例1、不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)4x2+3x-1=0; (2)2t2+3=2t。 (2)原方程可化为 2t2-2t+3=0。 a=2,b=-2,c=+3, Δ=（-2）2-4×2×3=-12＜0。 所以原方程没有实数根。 不是一般式的 要化为一般式 典例讲解 1.不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)2x2-7x-1=0; (2)3x2+7x+4=0; (3)5y2=2y-3; (4)2t(t+3)=5t-3。 解:(1)a=2,b=-7,c=-1, Δ=（-7）2-4×2×(-1)=56>0。 所以原方程有两个不相等的实数根。 (2)a=3,b=7,c=4, Δ=72-4×3×4=1>0。 所以原方程有两个不相等的实数根。 跟踪练习 1.不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)2x2-7x-1=0; (2)3x2+7x+4=0; (3)5y2=2y-3; (4)2t(t+3)=5t-3。 a=5,b=-2,c=3, Δ=（-2）2-4×5×3=0。 所以原方程有两个相等的实数根。 (3)原方程可化为 5y2-2y+3=0。 跟踪练习 1.不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1)2x2-7x-1=0; (2)3x2+7x+4=0; (3)5y2=2y-3; (4)2t(t+3)=5t-3。 a=2,b=1,c=3, Δ=12-4×2×3=-23＜0。 所以原方程没有实数根。 (4)原方程可化为 2t2+t+3=0。 跟踪练习 例2、已知关于x 的一元二次方程kx2+3x+1=0有两个不 相等的实数根,求k的取值范围。 分析:本题是根据一元二次方程根的情况求字母系数的问题， 解此类问题的关键有两点： （1）因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0， （2）因为一元二次方程有两个不相等的实根，所以一元 二次方程根的判别Δ＝b2－4ac大于0 典例讲解 解:因为kx2+3x+1=0是关于x的一元二次方程, 所以 k≠0。 因为方程kx2+3x+1=0有两个不相等的实数根, 所以 Δ=32-4k>0, 即 9-4k>0。 解不等式,得 k<。 所以k的取值范围是k<且k≠0。 典例讲解 2.已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解:由题意，得 Δ=(2)2-4(1-2k)×(-1)≥0， 1-2k≠0， k+1≥0, 解得-1≤k<2,且k≠ 跟踪练习 例3、已知关于x的方程x2+3x-a+2=0有两个不相等的实数根,关于y的一元二次方程ay2+2(a+1)y+a-1=0是否也有两个不相等的实数根? 为什么? 分析:本题考查一元二次方程根的判别式。 本题需要先根据第一个方程有两个不相等的实数根，求出a的取值范围，再根据a的取值范围判断第二个方程的判别式是否大于0，从而确定第二个方程根的情况。 拓展延伸 解:因为方程x2+3x-a+2=0有两个不相等的实数根， 所以Δ1>0，即 32-4×1×(-a+2)>0 化简得:9+4a-8>0，即4a+1>0， 解得a>-. 一元二次方程ay2+2(a+1)y+a-1=0判别式 Δ2=4(a+1)2-4a（a-1）=12a+8 因为a>-.所以12a>-3。 所以Δ2=12a+8>-3+8=5＞0 所以一元二次方程ay2+2(a+1)y+a-1=0有两个不相等的实数根。 拓展延伸 3.已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根。 (1)求k的取值范围; (2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方 程(m-1)x2+x+m-3=0 与方程x2-3x+k=0有一个相同的根, 求此时m的值。 解:(1)根据题意，得b2-4ac=(-3)2-4k≥0，解得k≤。 跟踪练习 (2)由(1)知，k的最大整数为2。 方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2。 因为一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根， 所以当相同的根为x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m=; 当相同的根为x=2时，4(m-1)+2+m-3=0，解得m=1， 而m-1≠0，舍去。 所以m的值为. 跟踪练习 例4、已知a,b,c是△ABC三条边的长。求证:关于x的方 程cx2-(a+b)x+=0有两个不相等的实数根。 分析：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由判别式Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以在判断一元二次方程根的情况时，只要判断出b2－4ac的符号即可 探索创新 证明:Δ=[-(a+b)]2-4c• =(a+b)2-c2 =(a+ b+c)(a+b-c). ∵a,b,c是ABC的三条边的长， ∴a+b+c>0,a+b>c, ∴a+b-c>0,∴(a+b+c)(a+b-c)>0, ∴Δ>0, ∴关于x的方程cx2-(a+b)x+4=0有两个不相等的实根。 探索创新 4.已知a,b,c分别为△ABC的三条边的长，且关于x的方程 （x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实根， 试判断△ABC的形状. 解:整理方程，得3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0. Δ=[-2(a+b+c)]2-4×3(ab+bc+ac)。 =4(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc)-12(ab+bc+ac)。 =4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)。 跟踪练习 =2(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)。 =2[(a2-2ab+b2）+（c2-2bc+b2）+（c2-2ac+a2）] =2[(a-b)2+（c-b)2+（c-a)2] ∵方程有两个相等的实根， ∴Δ=0 即[(a-b)2+（c-b)2+（c-a)2]=0 ∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0, ∴a-b=0,b-c=0,a-c=0, 即a=b=c.故ABC为等边三角形。 跟踪练习 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)判别式Δ＝b2－4ac., 课堂小结 Δ＞0 两个不相等实数根 Δ＝0 两个相等实数根 Δ＜0 没有实数根 Δ≥0 两个实数根 当堂检测 1.一元二次方程2x2 -5x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析:在一元二次方程2x2-5x-2=0中， a=2,b=-5,c=-2, Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41>0, 方程有两个不相等的实数根. 答案:B B 2.若关于x的一元二次方程(k-1)x2-2k+k-3=0有实数根，则k的取值范围为( ) A.k≥ B.k≥且k≠1 C.k≥0 D.k≥0且k≠1 解析:因为关于x的一元二次方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有实数根， 所以Δ=(-2k)2-4×(k-1)×(k-3)=16k-12≥0，解得:k≥， 因为k-1≠0, 所以k的取值范围是k≥且k≠1。 故选:B. B 3.证明：关于x的一元二次方程x2一mx=3-m一定有两个不相等的实根. 分析:要证明一元二次方程一定有两个不相等的实根，关键是证明Δ>0. 证明：原方程化为一般形式为x2-mx+m-3=0. 这里a=1,b=-m,c=m-3. 因为Δ=(-m)2-4(m-3)=m2-4m+12=(m2-4m+4)+8=(m-2)2+8， 且(m-2)2≥0， 所以(m-2)2+8>0，即>0. 有两个不相等的实根. 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $