第六章 概率的进一步认识章末复习课时作业2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，覆盖概率计算、频率估计、游戏公平性等核心知识点，从单一概念到跨学科应用，构建完整知识巩固路径，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概率定义、频率估计概率|选择填空形式，聚焦单一知识点，如摸球试验频率计算，培养数据观念| |中档层|树状图/列表法、游戏公平性|解答题为主，综合2-3个知识点，如同步练习12的函数与概率结合，发展推理意识| |综合层|跨学科应用（如标记重捕法）|融合方程、函数解决实际问题，如同步练习20的鱼塘鱼数量估计，提升应用意识|

第六章概率的进一步认识章末复习 一、选择题 1.三名学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名学生没有坐回原座位的概率为(    ) A. B. C. D. 2.在相同条件下，移植10000棵幼苗，有8000棵幼苗成活，估计在相同条件下移植一棵这种幼苗成活的概率为(    ) A. B. C. D. 3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，这些球除颜色外其他完全相同.小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率稳定在和，则口袋中白球的个数很可能是(    ) A. 6 B. 16 C. 18 D. 24 4.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 5.含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再放回，洗匀牌后再抽出一张，不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为，那么其中扑克牌花色是红心的大约有          张. 6.如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是          . 7.在，0，，，这五个数中任取两个数，则这两个数中至少有一个是无理数的概率为          . 8.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘A转出红色，转盘B转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为          . 9.甲、乙两人玩抽扑克牌的游戏，游戏规则是从牌面数字分别为5、6、7的3张扑克牌中随机抽取1张，放回洗匀后，再随机抽取1张.若所抽的2张牌的牌面数字的积为奇数，则甲获胜;若所抽的2张牌的牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏          填“公平”或“不公平” 三、解答题 10.小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域. 小明购买门票在A区观赛的概率为          ; 求小明和小张在同一区域观看比赛的概率请用画树状图或列表的方法说明理由 11.甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中X品牌有两个种类的奶制品：纯牛奶，核桃奶；Y品牌有三个种类的奶制品：纯牛奶，酸奶，核桃奶． 甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是          ； 若甲喜爱X品牌的奶制品，乙喜爱Y品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，求两人选购到同一种类奶制品的概率． 12.在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为 计算由x，y确定的点在函数的图象上的概率. 小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足则小明胜；若x，y满足，则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由.若不公平，请写出公平的游戏规则. 13.从，，3这三个数中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标横坐标与纵坐标不相等 列举所有可能得到的点的坐标. 求点P在第三象限的概率. 过点P的正比例函数中，y随自变量x的增大而减小的概率是          . 14.一个不透明的布袋中装有1个黄球和2个红球，每个球除颜色外都相同. 任意摸出一个球，记下颜色后放回，摇均匀后再任意摸出一个球，求两次摸到球的颜色相同的概率; 现将n个蓝球放入布袋，搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该试验，经过大量试验后，发现摸到蓝球的频率稳定在附近，求n的值. 15.小明将四张正面分别标有数字，的卡片除数字外都相同置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率. 16.如图，这是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止． 请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率． 你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 17.小明和小亮用如图所示的两个转盘每个转盘被分成五个面积相等的扇形做游戏，转动两个转盘各一次． 若两次数字之和为6，7或8，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 18.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.      请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果. 若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜;若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜.此游戏公平吗?为什么? 19.数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半? 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半? 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①____，此时新正方形的面积是②____. 结论：③____填“存在”或“不存在”一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形不包括正方形的情况进行探究. 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半? 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④____. 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题.思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题. 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题. 结论:⑤          填“存在”或“不存在”一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半. 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半?若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由. 请你完成以下任务： 将①⑤分别补充完整;①             ②             ③             ④             ⑤           按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题; 完成对【阶段二】中活动二的研究. 20.综合与实践：池塘里有多少条鱼. 【学科融合】 在科学研究中，生物学家经常要估计某个种群的数量，如某条河流中某种鱼的数量、某个公园内某种鸟的数量等.生物学家确定生物种群数目的方法一般有以下几种：直接观察、间接观察、生物取样、标记与再捕获研究. 【实践目标】 估计池塘里有多少条鱼. 【选择方法】 小组合作，采用“标记与再捕获”的研究方法. 【设计方案】首先从池塘中打捞m条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归池塘，等鱼分布均匀后，再从池塘中打捞n条鱼，如果在这n条鱼中有标记的鱼有a条，就可据此估计池塘中鱼的数量为条，请你写出求解过程; 【类比操作】小明想知道自家鱼塘中鱼的数量，他先从鱼塘中捞出100条鱼并分别做上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带记号的鱼，放回混合后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带记号的鱼，请你帮他估计鱼塘中鱼的数量; 【拓展运用】在一个不透明的罐子里装有若干个白色棋子，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里这些棋子除颜色外其他完全相同将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出1个棋子，记下颜色后再放回罐中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋，估计这个罐子里白棋的个数. 答案和解析 1.【答案】D  2~3.【答案】D 、B  【解析】 略  略 4.【答案】D  5.【答案】9  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】不公平  10.【答案】【小题1】 【小题2】 画树状图如图. 由图，得共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， 小明和小张在同一区域观看比赛的概率为   11.【答案】【小题1】 【小题2】 依题意，画树状图如下． 由树状图可知，一共有6种等可能的结果．其中，两人选购到同一种类奶制品的结果有2种，选购到同一种类奶制品   12.【答案】【小题1】 解：画树状图如图. 由图，得共有12种等可能的结果，其中在函数的图象上的结果有4种， 即，，，， 点在函数的图象上的概率为 【小题2】 这个游戏不公平.理由如下： ，y满足的有，，，，，，共6种情况； x，y满足的有，，，，共4种情况. 小明胜，小红胜 ，这个游戏不公平. 公平的游戏规则为：若x，y满足，则小明胜；若x，y满足，则小红胜.   13.【答案】【小题1】 解：根据题意，得所有可能得到的点的坐标为，，，，， 【小题2】 由，得点P在第三象限的有，共两种， 点P在第三象限的概率为 【小题3】   14.【答案】【小题1】 解：画树状图如下： 由树状图，知共有9种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色相同的有5种结果，两次摸到球的颜色相同的概率为 【小题2】 根据题意，得，解得经检验，是原分式方程的解，且符合题意的值为   15.【答案】解：由，得，解得， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的结果有，，，，，，，，，，共10种等可能的结果，所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率为   16.【答案】【小题1】 解：画树状图如下： 可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种，小颖获胜的概率为 【小题2】 该游戏规则不公平．由可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，小亮获胜的概率为，显然，故该游戏规则不公平，  游戏规则可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；  当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜．  修改游戏规则的方式很多，只要修改后的游戏规则符合题目要求即可，例如游戏规则也可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜．   【解析】 略  略 17.【答案】【小题1】 解：游戏不公平．理由如下：列表如表： 共有25种等可能的结果，其中和为6，7，8的结果有13种，小明胜的概率是，  小亮胜的概率是，游戏不公平． 【小题2】 游戏不公平．理由如下：由中表格得，共有25种等可能的结果，其中和为偶数的结果有12种，和为奇数的结果有13种，小明胜的概率是，小亮胜的概率是，游戏不公平．   18.【答案】【小题1】 用列表法表示所有可能出现的结果如下：        转盘 摸球 2 4 6 1 3 5 由表，得共有9种等可能的结果，分别为，，，，，，，， 【小题2】 公平.理由如下：列出两次得数之和的所有可能的结果如下：        转盘 摸球 2 4 6 1 3 5 由表，得共有9种等可能的结果，其中“和为3的倍数”的结果有3种，“和为7的倍数”的结果有3种， 小杰胜，小玉胜 此游戏是公平的.   19.【答案】【小题1】 不存在 不存在 【小题2】 根据题意，得方程组 思路一：由，得， 代入，得， 整理，得， 配方，得， ， 方程无实数解. ，y不存在满足条件的情况; 思路二：，且， ，y不存在满足条件的情况. 不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半. 【小题3】 存在.满足的条件为设新矩形长和宽分别为x， 根据题意，得 由①，得，③ 将③代入②，得， 整理，得， 当时，方程有实数解， 当， 即时，方程有解，存在满足条件的新矩形.   20.【答案】【小题1】 解：打捞n条鱼，发现其中带标记的鱼有a条， 有标记的鱼占 共有m条鱼做上标记， 估计池塘中有鱼条 【小题2】 条鱼，带记号的鱼有条， 估计鱼塘中带记号的鱼的概率为 鱼塘中带记号的鱼有100条， 估计该鱼塘中鱼的数量为条 【小题3】 设罐子中白棋的个数为 根据题意，得， 解得 经检验，是分式方程的解，且符合题意. 答：估计罐子里白棋的个数为70个.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $