第6章 概率的进一步认识 章末检测 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 本卷为初中数学概率单元章末检测，通过生活化情境（如安全教育、新高考选科）与分层题型，全面考查概率计算、频率估计概率等核心知识，适配单元复习，培养数据意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|10|列表法与树状图法（第1题摸球）、频率估计概率（第6题黄球）|结合安全教育图标（第4题）、平行线性质（第5题），跨学科融合| |填空题|6|概率公式（第11题平局）、用频率估计数量（第15题白球）|联系“石头剪刀布”游戏（第11题），体现生活应用| |解答题|3|分组概率（第17题双打分组）、用频率估计鱼群数量（第19题）|注重实际问题解决，培养推理意识| |综合题|4|统计与概率结合（第21题麦种发芽）、多次摸球概率（第23题）|设计真实数据表格（第21题），强化模型观念|

第6章 概率的进一步认识 章末检测 一、单选题 1．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 2．连续抛掷两次骰子，它们的点都是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 3．如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（　　） A． B． C． D． 4．某市教委高度重视自然灾害中的安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动.某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线 ，直线c与直线a、b都相交，从 ， ， ， 这四个角中任意选取2个角，则所选取的2个角互为补角的概率是（　　） A． B． C． D． 6．在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同．班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（　　） A．21个 B．15个 C．12个 D．9个 7．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333 摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665 该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2 9．在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（　　） A． B． C． D．不确定 10．某小组做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 二、填空题 11．小明和小强玩“石头、剪刀、布”游戏，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同算平局”的规则，两人随机出手一次，平局的概率为　 　． 12．一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球是一白一红的概率是　 　． 13．小华为学校“赓续百年初心，庆祝建党百年”活动布置会场，在—个不透明的口袋里有4根除颜色以外完全相同的缎带，其中2根为红色，2根为黄色，从口袋中随机摸出根缎带，则恰好摸出1根红色缎带1根黄色缎带的概率是　 　． 14．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是　 　. 15．在一个暗箱里放有x个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入5个和白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，将球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回暗箱中，通过大量重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.2，推算x的值大约是　 　． 16．一池塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共20 000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是33%和42%，则这个池塘里大约有鲢鱼　 　尾. 三、解答题 17．将A、B、C、D四人随机分成甲乙两组参加乒乓球双打比赛，求A、B同时分在甲组的概率． 18．新高考“3+1+2”是指：3，语数外三科是必考科目；1，物理、历史两科中任选一科；2，化学、生物、地理、政治四科中任选两科．某同学确定选择“物理”，但他不确定其它两科选什么，于是他做了一个游戏：他拿来四张不透明的卡片，正面分别写着“化学、生物、地理、政治”，再将这四张卡片背面朝上并打乱顺序，然后从这四张卡片中随机抽取两张，请你用画树状图（或列表）的方法，求该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率． 19．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有多少条鱼．若第三次打捞上10条，它们的质量分别为1.8，2，2.2，1.9，2.1，2.3，1.7，2，2.6，1，4千克，请估计这塘鱼的产量． 四、综合题 20．落实“双减”政策，丰富课后服务，为了发展学生兴趣特长，梁鄂中学七年级准备开设A（窗花剪纸）、B（书法绘画）、C（中华武术）、D（校园舞蹈）四门选修课程（每位学生必须且只选其中一门），甲、乙两位同学分别随机选择其中一门选修课程参加学习.用列表法或画树状图法求： （1）甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率； （2）甲、乙选择同一门课程的概率. 21．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表. 实验种子数 （粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 （1）估计该麦种的发芽概率. （2）如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g.那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？ 22．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的， 当三辆汽车经过这个十字路口时： （1）求三辆车全部同向而行的概率； （2）求至少有两辆车向左转的概率； （3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整. 23．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据。 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率mn 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 　 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　 　；（保留小数点后两位） （2）估算袋中白球的个数； （3）在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，两次摸出的小球标号和为5的有2种情况， ∴两次摸出的小球标号和为5的概率是：． 故答案为：C． 【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 2．【答案】C 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表格信息可得：所有的等可能的结果数有36个，符合条件的结果数有 故答案为：C 【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 3．【答案】B 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个， ∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝， 故答案为：B． 【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 4．【答案】A 【知识点】轴对称图形；列表法与树状图法 【解析】【解答】解：由题意知，当心低温的图片为轴对称图形， 列表为： 当心水灾1 当心山体滑坡2 当心低温3 当心雷击4 当心水灾1 　 1，2 1，3 1，4 当心山体滑坡2 2，1 　 2，3 2，4 当心低温3 3，1 3，2 　 3，4 当心雷击4 4，1 4，2 4，3 　 共有12种等可能的情况，其中两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的有6种， ∴两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是=， 故答案为：A. 【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；此题是抽取不放回类型，根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况数，然后利用概率公式进行计算. 5．【答案】B 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：从 ， ， ， 这四个角中任意选取2个角，列表可得： 　 　 ， ， ， ， 　 ， ， ， ， 　 ， ， ， ， 　 共有12种结果，其中所选取的2个角互为补角有6种结果（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ） 所选取的2个角互为补角的概率为 故答案为：B 【分析】先列表，再求出共有12种结果，其中所选取的2个角互为补角有6种结果，最后求概率即可。 6．【答案】A 【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用 【解析】【解答】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3， 解得x＝21． 故答案为：A． 【分析】根据题意求出＝0.3，再解方程即可。 7．【答案】C 【知识点】利用频率估计概率；概率公式 【解析】【解答】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667， 估计摸出黑球的概率为0.667， 则摸出绿球的概率为， 袋子中球的总个数为， 由此估出黑球个数为， 故答案为：C． 【分析】利用频率估算概率求出绿球的概率，再求出袋子中球的总数，最后利用总数减去绿球的个数即可得到答案。 8．【答案】A 【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用 【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为x m2， 由已知得：长方形面积为 15m2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4， 综上有： ＝0.4， 解得x＝6． 故答案为：A． 【分析】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。 9．【答案】B 【知识点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现， ∴第100次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是： ． 故答案为：B． 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，即可得到答案。 10．【答案】C 【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：A、拋一枚硬币，出现正面朝上的频率是=0.5， 错误； B、 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上，概率为 ，错误； C、 从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是，正确； D、 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，错误； 故答案为：C. 【分析】观察统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其频率P=0.33≈，再分别计算每项事件的概率，根据 “用频率估计概率” 的方法即可作答. 11．【答案】 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：小明和小强玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （解答，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） ∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）． ∴小明和小强平局的概率为：， 故答案为：． 【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 12．【答案】 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：列表如下： 白 红 白 白，白 白，红 红 红，白 红，红 所有的等可能的结果数由4种，一红一白的结果数有2种， 所有两次摸到的球是一白一红的概率是 故答案为： 【分析】先列表求出所有的等可能的结果数由4种，一红一白的结果数有2种，再求概率即可。 13．【答案】 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【解答】解：根据题意画出树状图，得： 共有12种等可能的结果，其中摸出1根红色缎带1根黄色缎带的结果数为8， 所以摸出1根红色缎带1根黄色缎带的概率=． 【分析】先利用树状图求出所有的等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 14．【答案】 【知识点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：. 故答案为：. 【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，树状图列举出共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，然后利用概率公式计算即可. 15．【答案】20 【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用 【解析】【解答】解：由题意得 ， 解得x=20， 经检验x=20符合题意， 故答案为：20． 【分析】先求出，再解方程求解即可。 16．【答案】5000 【知识点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼20000×33%=6600尾， 鲫鱼20000×42%=8400尾， ∴鲢鱼20000-6600-8400=5000尾， 故答案为：5000. 【分析】利用池塘里鱼的总数量乘以各组的频率，分别求出鲤鱼、鲫鱼的数量，再利用鱼的总数量分别减去鲤鱼、鲫鱼的数量，即得鲢鱼的数量. 17．【答案】解：根据题意列表如下： 甲组 乙组 结果 AB CD （AB，CD） AC BD （AC，BD） AD BC （AD，BC） BC AD （BC，AD） BD A C （BD，AC） CD AB （CD，AB） 共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中满足A，B都在甲组的结果有1种， ∴A，B都在甲组的概率是． 【知识点】列表法与树状图法；概率公式 【解析】【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 18．【答案】解：用A、B、C、D分别表示化学、生物、地理、政治，画树状图如下， ， 由树状图可知，共有12种等可能发生的情况，其中符合条件的情况有2种，所以该同学抽出的两张卡片是“化学、政治”的概率=． 【知识点】列表法与树状图法 【解析】【分析】 由树状图列举出共有12种等可能发生的情况，其中符合条件的情况有2种，然后利用概率公式计算即可. 19．【答案】解：设鱼塘中的鱼共有x条， 则 = ， 解得：x=1200， 经检验x=1200是原分式方程的解， 则鱼塘中估计有1200条鱼； ∵ =2， ∴1200×2=2400， 答：估计这塘鱼的产量约为2400千克． 【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用 【解析】【分析】通过对30条鱼作上记号，有记号的鱼占鱼塘中鱼数量的比为一定值，它近似的可看成是200条鱼中5条有记号的鱼的比例，即可求出鱼的总条数；再通过随机打捞出10条鱼的平均质量可以估计出池塘中鱼的平均质量，求出池塘中鱼的总质量。 20．【答案】（1）解：由题意列表， 　 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由图表可知共有16种等可能的情况数，其中甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的情况数为1种， 所以甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率为 . （2）解：由（1）图表可知共有16种等可能的情况数，其中甲、乙选择同一门课程的情况数为4种， 所以甲、乙选择同一门课程的概率为 . 【知识点】列表法与树状图法 【解析】【分析】（1）列出表格，找出总情况数以及甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的情况数，然后利用概率公式进行计算； （2）找出甲、乙选择同一门课程的情况数，然后利用概率公式进行计算. 21．【答案】（1）解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%， 故该麦种的发芽概率约为95%； （2）解：设约需麦种x千克， x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3， 化简得15200x=12000000， 解得x=789， 答：约需麦种790千克 【知识点】利用频率估计概率 【解析】【分析】（1）在大量的实验的前提下，用发芽频数除以实验种子数即可； （2） 设约需麦种x千克， 根据麦种的粒数× 发芽概率 × 成秧率 =4000000×3，列出方程解之即可. 22．【答案】（1）解：分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转； 根据题意，画出树形图： ∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴P(三车全部同向而行)= ； （2）解：∵至少有两辆车向左转的有7种情况， ∴P(至少两辆车向左转)= ； （3）解：∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为 , , ， ∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮时间为90× =27(秒),直行绿灯亮时间为90× =27(秒),右转绿灯亮的时间为90× =36(秒). 【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用 【解析】【分析】（1）首先画出树状图，列出所有可能出现的结果，再找出三辆车全部同向而行的几种情况，最后求概率即可； （2）已知所有可能出现的结果，再找出至少有两辆车向左转的几种情况， 最后代入概率公式求概率即可； （3） 由于在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，绿灯亮总时间为90秒，然后根据汽车三个方向的概率分别求出三个方向绿灯亮的时间即可. 23．【答案】（1）0.25 （2）解：设袋中白球为x个， =0.25 解得：x=3 答：估计袋中有3个白球． （3）解：用B代表一个黑球，W1、W2、W3 代表白球，将摸球情况列表如下： 总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，所以摸到两个球都是白球的概率为 【知识点】列表法与树状图法；利用频率估计概率 【解析】【解答】解：（1）251÷1000=0.251 ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近 ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 故答案为：0.25 【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）列用概率公式列出方程求解即可； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $