精品解析：江苏省常州市钟楼外国语学校2022-2023学年下学期开学考九年级数学试卷

初三数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差1，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 1 B. 1 C. s2＞ D. s2 2. 云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 4. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　） A. x1+x2=1 B. x1•x2=﹣1 C. |x1|＜|x2| D. x12+x1= 6. 已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（　　） A. cm B. （）cm C. （）cm D. （）cm 7. 如图，在中，点D在边AB上，，交AC于点E．若，则为（ ）． A. 15 B. 3 C. 16 D. 4 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大是随机事件．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 11. 将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线表达式为 _____． 12. 如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则该正六边形的边长是 _____． 13. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______． 14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____． 15. 如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°． 16. 如图，在中，，，点、分别在、上，点在内．若四边形是边长为1的正方形，则___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 18. 已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算、解方程： （1） （2） 20. 如图，在中，点D在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 2022年12月4日是第九个国家宪法日，也是第五个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛（满分100），成绩如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 95 a 96 c 乙班 95 97 b 11.2 甲班：96，92，94，97，96； 乙班：90，98，97，98，92． 通过数据分析，列表如下： （1）_________，_________，_________ （2）如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？ 22. 四张质地相同并标有数字0，1，2，3的卡片(如图所示)，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）若从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字恰好是3的概率是 ； （2）第一次任意抽取一张(不放回)，第二次再抽一张，用列表法或画树状图法求两次所抽卡片上的数字恰好是方程的两个根的概率． 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1． （1）抛物线的对称轴为 　 　，抛物线与y轴的交点坐标为 　 　． （2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点． 24. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 25. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） （1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 26. 某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： （1）设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； （2）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 27. 若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式； （3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．求m的最大值． 28. 综合与实践 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点． （1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，， 在中，___________________， 所以． 所以___________________． 因为， 所以，所以，即． （2）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法，并给出证明； （3）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点．使，写出作法，不用证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差1，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 1 B. 1 C. s2＞ D. s2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案． 【详解】解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋， ∴＜s2，和1的大小关系不明确， 故选C 【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键． 2. 云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意. 3. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵， ∴= 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质． 4. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：． 5. 已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　） A. x1+x2=1 B. x1•x2=﹣1 C. |x1|＜|x2| D. x12+x1= 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断． 【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，故A、B选项错误； ∵x1+x2＜0，x1x2＜0， ∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误； ∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根， ∴2x12+2x1﹣1=0， ∴x12+x1=，故D选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键. 6. 已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（　　） A. cm B. （）cm C. （）cm D. （）cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：B 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的是解题的关键． 7. 如图，在中，点D在边AB上，，交AC于点E．若，则为（ ）． A. 15 B. 3 C. 16 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】∵ ∴△ADE∽△ABC ∵ ∴ ∴ ∴=16 ∴=-5 故选A． 【点睛】此题主要考查相似三角形的相关证明与面积求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质． 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大是随机事件．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象和事件的分类即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， 即有两个不相同的根， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大， 所以当时，随的增大而增大是随机事件，故⑥正确， 故结论正确的是②④⑤⑥. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____． 【答案】21π． 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π． 故答案为21π． 【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线表达式为 _____． 【答案】y＝﹣2（x﹣3）2﹣4 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线表达式为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣4， 故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣4． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 12. 如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则该正六边形的边长是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OD，OC，易证△ODC是等边三角形，由等边三角形的性质可得⊙O的半径． 【详解】解：连接OD，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠DOC＝60°， ∵OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝BC＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 13. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可 【详解】解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查概率的计算，正方形的性质、熟练掌握概率公式是关键 14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____． 【答案】． 【解析】 【详解】解：如图，连接AC，由题意可得： AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5， ∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=， ∴∠ACB=90°， ∴sin∠ABC= 故答案为：． 15. 如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】连接并延长，交于点，连接，首先根据圆周角定理可得，再根据为的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接． 为的直径， ， ， 为的切线， ， ， ， ． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 16. 如图，在中，，，点、分别在、上，点在内．若四边形是边长为1的正方形，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，进而求出，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，. 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1， ∴A（，0），B（0，1）， ∴OA=，OB=1， ∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH， ∴△OAB∽△HAC， ∴ ∵OA=，OB=1，， ∴ ∴AH=，CH=2， ∴OH=1， ∵点C在第一象限， ∴C（1，2）， ∵点C在上， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标． 18. 已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】点的轨迹是圆心为、半径为的圆.设，可得，将问题转化为直线与圆有公共点时求的最大值.当直线与圆相切时取得最大值，利用一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】解：设，则， 将代入，得 ， 展开整理得 ， 当取最大值时，直线与圆相切， ∴， 整理得 解得 因此的最大值为. 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 或 ∴，. 20. 如图，在中，点D在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在和中 ，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 21. 2022年12月4日是第九个国家宪法日，也是第五个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛（满分100），成绩如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 95 a 96 c 乙班 95 97 b 11.2 甲班：96，92，94，97，96； 乙班：90，98，97，98，92． 通过数据分析，列表如下： （1）_________，_________，_________ （2）如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？ 【答案】（1）96；98； （2）乙班（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义进行求解即可得到答案； （2）根据（1）中的数据可知，平均数两者相同，结合高分人数即可得到答案. 【小问1详解】 解：甲班的成绩从小到大排列为：92、94、96、96、97， ∴它的中位数为96， ∴， ∵乙班中数据98出现的次数最多， ∴它的众数为98， ∴， ； 【小问2详解】 解：选择乙班， 理由：两个班的平均数相同，虽然甲班的方差较小，数据比较稳定，但最高分98分仅出现在乙班，且乙班得高分的人数更多， 所以侧重高分竞争力可选择乙班． 22. 四张质地相同并标有数字0，1，2，3的卡片(如图所示)，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）若从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字恰好是3的概率是 ； （2）第一次任意抽取一张(不放回)，第二次再抽一张，用列表法或画树状图法求两次所抽卡片上的数字恰好是方程的两个根的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）一共四张卡片，抽到3的概率是． （2）先用因式分解法计算出方程的两个根为2，3，再用画树状图法求出两次所抽卡片上数字恰好是2和3的概率即可． 【详解】（1）抽到3的概率是． （2）解方程， (x－2)(x－3)=0， 得：，， 画树状图如下： 由树状图可知在四张牌中随意作不放回的抽卡两张，共有12种等可能的结果，其中出现2与3的结果有2种， ∴两次所抽卡片上的数字恰好是方程的两根的概率为． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程以及列表法或画树状图法求概率，掌握一元二次方程的解法以及画树状图的方法是解题关键，此外还需要注意的是“放回”与“不放回”的区别． 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1． （1）抛物线的对称轴为 　 　，抛物线与y轴的交点坐标为 　 　． （2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点． 【答案】（1）直线x＝1；（0，﹣1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令x＝0，求得y的值即可求得抛物线与y轴的交点坐标； （2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明Δ＞0即可． 【小问1详解】 解：∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1， 令x＝0，则y＝﹣1． ∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）． 故答案为：直线x＝1；（0，﹣1）； 【小问2详解】 解：令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1， 整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0． ∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0， ∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】（1） 证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到； （2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 25. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） （1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】（1）渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． 【小问2详解】 解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 26. 某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： （1）设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； （2）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】（1） 函数关系式为，最大利润为元 （2） 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； 【小问2详解】 解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 27. 若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式； （3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．求m的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设直线交y轴于点M，连接，证明，则，求直线解析式即可； （3）证明，解得，设点，表示出，利用二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 将点，代入， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线交y轴于点M，连接， ∵, ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点D，， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， 由点B、C的坐标知，则三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵恰好平分， 故， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故点， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：过点P作轴交于点N， 则， 则， 而． 则， 解得：， 设点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则， 即， 故m的最大值为． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． 28. 综合与实践 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点． （1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，， 在中，___________________， 所以． 所以___________________． 因为， 所以，所以，即． （2）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法，并给出证明； （3）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点．使，写出作法，不用证明． 【答案】（1），， （2）作法：如图，取格点，作射线交于点，点即为所求． 证明：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）作法：如图，取格点，连接交于点，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）由图即可得结论； （2）取格点，作射线交于点，由垂径定理即可知点即为所求； （3）取格点，连接交于点，利用相似三角形即知点即为所求，作直径，连接、，在中，，在中，，则，由，可得，又有，则，可得，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $