精品解析：江苏省徐州市睢宁县刘圩学校2022-2023学年下学期九年级开学数学试卷

2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县刘圩学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a＞0 B. a≥0 C. a=1 D. a≠0 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2−3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念认识，解题的关键是一定要对概念熟练． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等号两边同时除以同一个不为0的数,等式仍成立这一性质即可解题. 【详解】解：∵, 等号两边同时除以2y得：, 故选C. 【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟悉等式的性质是解题关键. 3. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：设这个扇形的半径是rcm． 根据扇形面积公式，得， 解，得cm（负值舍去）． 故选：C． 【点睛】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键． 4. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（3，－8）和（5，－8），拋物线的对称轴是（ ） A. x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性：如果二次函数图像上的两个点的纵坐标相同，那么这两个关于二次函数的对称轴对称，由此可求得对称轴． 【详解】解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（3，－8）和（5，－8）， ∴抛物线对称轴为直线， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是注意二次函数关于对称轴左右对称． 5. 一组数据：，，，，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，分别求出添加数据前后的平均数，中位数，众数和方差，进行判断即可． 【详解】解：未添加前的平均数为：，众数为3，中位数为：，方差为：； 添加数据后：平均数为：，众数为3，中位数为：，方差为：； 故发生变化的是方差； 故选：D． 6. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 7. 下列命题中，正确的个数是（ ） （1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：利用确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，错误； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误； （3）相等的圆心角所对的弧相等，错误； （4）正五边形是轴对称图形，正确． 故选A． 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质，难度不大． 8. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过D作DF//BC，利用角平分线和平行线可证AE=DE，DF=BF，可证△DEF∽△CAB，利用相似三角形的比例关系和勾股定理可得DE的长度． 【详解】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB=10， 过D作DF//BC， ∵DF//BC， ∴∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD， ∵BD为∠ABC的角平分线， ∴∠DBF=∠CBD， ∴∠FDB=∠DBF， ∴DF=BF， 同理可证AE=DE，∠CAB=∠DEF， ∴△DEF∽△CAB， ∴∠EDF=∠C=90°，，即， ∴设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理EF=5x， ∵AE+EF+BF=AB=10， ∴3x+4x+5x=10,解得3x=，即DE=． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径的与直线交于A，B两点，连接，以为邻边作平行四边形，若点C恰好在上，则b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接OC交AB于T．想办法求出点T的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交y轴于N． ∵直线AB的解析式为y=-x+b， ∴N（0，b），M（b，0）， ∴OM=ON， ∴∠OMN=45°， ∵四边形OACB是平行四边形，OA=OB， ∴四边形OACB是菱形， ∴OC⊥AB， ∴∠COM=45°， ∵OC=6， ∴C（，）， ∵OT=TC， ∴T（ ，）， 把T点坐标代入y=-x+b，可得b=， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，菱形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，，，．线段的两个端点都在上，且，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积的大小变化的情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，求出h，并运用相似三角形的性质求出AD，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】在中，，，， ， 设，则，边上的高为，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴时，随x的增大而增大，时，随x的增大而减小， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题． 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则，，据此即可求解． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根是， 则， ∴． 故答案为：． 12. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196 【解析】 【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量. 【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为： 50+50（1+x）+50（1+x）2=196． 【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和. 13. 如图，在中，分别是边上的点，，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方． 先证明和相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的面积， 四边形的面积． 故答案为：． 14. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 _______ . 【答案】 【解析】 【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P在A点时，M点在E点；点P在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图， ∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4， ∴AB=BC=4， ∴OC=AB=2，OP=AB=2， ∵M为PC的中点， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO=90°， ∴点M在以OC为直径的圆上， 点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2， ∴M点的路径为以EF为直径的半圆， ∴点M运动的路径长=•2π•=π． 故答案为π． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 15. 中华人民共和国国旗上的五角星的五个角的和是__________度． 【答案】180° 【解析】 【分析】根据每个内角的度数和内角的个数即可求出答案． 【详解】解：如图示， 连接，，，， 五边形为正五边形 所以每个内角为 ． 五个角的和为． 故答案是：180°． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，外角的性质，等腰三角形的性质，知道五角星的每一个角都相等是解题的关键． 16. 把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是_____． 【答案】10##十 【解析】 【分析】正多边形都是旋转对称图形，中心角即为最小的旋转角，（360°÷中心角度数）即为边数． 【详解】解：∵正多边形绕它的中心旋转36°后，能和原来的图形重合， ∴多边形的边数是：360°÷36°＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握旋转对称及旋转角的定义． 17. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题． 18. 已知二次函数 ，当-1<m<2时，该函数图像顶点纵坐标y的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，再利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题； 【详解】∵在二次函数中，， ∴，， ∴该抛物线顶点的纵坐标为：， ∴当时，，当时，， 当时，y最大=， ∴当时，y的取值范围为：. 故答案为. 【点睛】本题解题中当求出抛物线顶点的纵坐标为：时，需注意“y”是“m”的二次函数，当时，y最大=. 三、解答题（共7题，共78分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 先把方程化简成一元二次方程的标准形式，再使用因式分解法解方程． 【详解】解：， 化简得，， 因式分解得，， 则或， 解得，，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标______；若线段上点的坐标为，则对应的点的坐标为______； （3）的正切值为______ 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，位似比，勾股定理，求正切等知识点，解答本题的关键是会利用位似中心和位似比作图并利用点的坐标求出线段长． （1）根据以原点为位似中心的坐标变换规律，把点，，的横纵坐标都乘以即可得到点，，的坐标，然后描点即可得到； （2）根据以原点为位似中心的坐标变换规律，把点，的横纵坐标都乘以即可得到点，的坐标； （3）根据（1）中所得的点，，的坐标，即可根据勾股定理计算出各边的边长，可知为直角三角形，进而即可求得的正切值． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 根据位似比和以原点为位似中心的坐标变换规律可得点，的坐标分别为：，； 【小问3详解】 根据勾股定理可知， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 21. 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． （1）求口袋中黄球的个数； （2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 【答案】（1）1个 （2）概率为 【解析】 【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出x即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设口袋中黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴口袋中黄球的个数为1个； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果数，两次摸出都是红球的有2种结果数， ∴两次摸出都是红球的概率为：． 22. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE． （1）若，求证：△ACE∽△EBD； （2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明即可得到结论； （2）如图，连接 并延长交于 连接 利用相似三角形的性质证明 再证明 可得 而 可得 再利用等角的三角函数值相等建立方程求解即可. 【小问1详解】 证明： 四边形是的内接四边形， 【小问2详解】 解：如图，连接 并延长交于 连接 而 为的切线， 为的直径， 而 所以的半径为 【点睛】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键. 23. 某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140． （1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价为30（元/件）． ①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润； ②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值． 【答案】（1）； （2）①售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；② 【解析】 【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝50时，y＝200；x＝80时，y＝140，代入可得解析式． （2）①根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣2x+300）（x﹣30），化成顶点式W＝﹣2（x﹣90）2+7200，顶点的纵坐标是有最大值． ②根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），其对称轴x＝90+＞60，0＜x≤75时，函数单调递增，只有x＝75时周销售利润最大，即可得m＝5． 【小问1详解】 解：设y＝kx+b，由题意有：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+300； 【小问2详解】 解：①由（1）W＝（﹣2x+300）（x﹣30）＝﹣2x2+360x﹣9000＝﹣2（x﹣90）2+7200， 所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200； ②由题意W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75）， 其对称轴x＝90+＞90， ∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大， ∴只有x＝75时周销售利润最大， ∴6000＝﹣2（75﹣150）（75﹣30﹣a）， ∴a＝5． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式. 24. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D． （1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心； （2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：； （3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理得到∠DBC=∠BAD，利用三角形的外角性质推出∠BID=∠IAB+∠IBA，由作图知∠DBI=∠BID，即可证明∠ABI=∠CBI，从而证得结论； （2）证明△BED△AEC，利用对应边成比例结合DB=DI，即可证明结论； （3）当A在中点时，△ABC内切圆最大，利用垂径定理、等腰三角形的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】（1）连接BI， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， 由圆周角定理得：∠CAD=∠DBC， ∴∠DBC=∠BAD， 由作图知：DB=DI， ∴∠DBI=∠BID， ∠DBI=∠DBC+∠CBI， ∠BID=∠BAD+∠ABI， ∴∠ABI=∠CBI， ∴BI是∠ABC的角平分线， ∴点I是△ABC的内心； （2）∵∠DBC=∠CAD，∠BED=∠AEC， ∴△BED△AEC， ∴，即， 由（1）得：DB=DI， ∴； （2）由题意知，当A在中点时，△ABC内切圆最大， 如图，△ABC内切圆与AB切于点D，与BC切于点E，连接 ID， AO， ∵A在中点， ∴OA⊥BC，且△ABC是等腰三角形， ∴OA是∠BAC的平分线， ∴点A、I、E、O在同一直线上， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAI＝60°，∠ABC＝30°， 设△ABC内切圆的半径为，则ID= IE=， 在△AID中，， ∴AI=， 在△ABE中，，即AE=， ∵AE=AI+IE， ∴， 解得：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形内心的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点为抛物线对称轴上一点，连接、，若，求点的坐标； （3）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点为坐标系中的一点，，则的最小值为 ． 【答案】（1）； （2） （3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 当时， 可得：， 点的坐标是， 设， 当为平行四边形的对角线时，， ， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得：， ； 综上所述：点的坐标为或或； （4） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，根据解析式求出抛物线的对称轴； （2）根据等角对等边可知，求出点的坐标，设点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标； （3）设点的坐标是，根据以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线三种情况求解； （4）在轴上取点，连接、，可证，根据相似三角形的性质可知，根据三角形三边之间的关系可知，所以的最小值为． 【小问1详解】 解：将，代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， ，则， 令，则， ， 设， ∴，， ， 解得：， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：在轴上取点，连接、， ，，， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标是， ， 当、、三点共线时，的值最小， ， 的最小值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县刘圩学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a＞0 B. a≥0 C. a=1 D. a≠0 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（3，－8）和（5，－8），拋物线的对称轴是（ ） A. x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1 5. 一组数据：，，，，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列命题中，正确的个数是（ ） （1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径的与直线交于A，B两点，连接，以为邻边作平行四边形，若点C恰好在上，则b的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．线段的两个端点都在上，且，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积的大小变化的情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 12. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 13. 如图，在中，分别是边上的点，，，，则的值为_______． 14. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 _______ . 15. 中华人民共和国国旗上的五角星的五个角的和是__________度． 16. 把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是_____． 17. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 18. 已知二次函数 ，当-1<m<2时，该函数图像顶点纵坐标y的取值范围是______． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标______；若线段上点的坐标为，则对应的点的坐标为______； （3）的正切值为______ 21. 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． （1）求口袋中黄球的个数； （2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 22. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE． （1）若，求证：△ACE∽△EBD； （2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半径． 23. 某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140． （1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价为30（元/件）． ①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润； ②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值． 24. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D． （1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心； （2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：； （3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点为抛物线对称轴上一点，连接、，若，求点的坐标； （3）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点为坐标系中的一点，，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $