精品解析：江苏省苏州市高新区第一初级中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试卷

2022－2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（ ） A. 2.29米 B. 2.30米 C. 2.31米 D. 2.33米 2. 抛物线向下平移个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（ ） A. 8米 B. 10米 C. 18米 D. 20米 5. 如图，已知是的直径，，平分，则的度数是（ ） A. 110° B. 100° C. 120° D. 130° 6. 关于x的方程的一个解是2，则k值为（　　） A. 2或4 B. 0或 C. 4或0 D. 或2 7. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（ ） A. B. 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C. 当与相似时，或 D. 当为等腰三角形时，或 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 10. 某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 11. 如果圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____． 12. 一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为，则小钢球停止在蓝色区域的概率为_____． 13. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 15. 如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为S．下面三个推断中，①当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是正比例函数关系；③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是_____（填所有正确答案的序号）． 16. 如图所示，正方形的对角线交于点是边上靠近点的三等分点，连接，分别交于，．连接，若正方形的边长为3，则的值是_____． 三、解答题（本题共82分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了__________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）求扇形统计图中圆心角度数； （3）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； 20. 春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景点中选择游玩． （1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是_____； （2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母表示）． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 23. 如图，是的直径，延长到，使，点在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 24. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，已知中，，，，是线段上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接； （1）当为何值时，？ （2）在（1）的条件下，若点是上的一点，且，求的最小值． 26. 平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． （1）求和的值； （2）A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 27. 如图，锐角中的平分线交于点E交的外接圆于点D，边的中点为M． （1）求证：垂直； （2）若，，，求的值： （3）作的平分线交于点P，若将线段绕点M旋转后，点P恰好与外接圆上的点重合，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（ ） A. 2.29米 B. 2.30米 C. 2.31米 D. 2.33米 【答案】C 【解析】 【详解】解：这组数据按照从小到大排列是：2.29米，2.30米，2.31米，2.34米和2.35米， ∴这组数据的中位数是2.31米． 2. 抛物线向下平移个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求顶点坐标即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得，， ∴根据顶点坐标公式得，，把代入得，， ∴顶点坐标为：． 故选：． 【点睛】本题主要考查函数的平移的性质，顶点坐标的计算方法，掌握平移的性质，顶点坐标的计算公式是解题的关键． 3. 已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据的面积，求出半径，即可求解． 【详解】解：设的半径为， 由的面积为可得，解得 ∵， ∴直线与相交， 故选：A 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离． 4. 如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（ ） A. 8米 B. 10米 C. 18米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E，由题意知，AE是旗杆在地上的影长，可知，有，由于1米长的直立的竹竿的影长为1.5米，可知，故有，计算求解，和的值即可． 【详解】解：如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E 由题意知，AE是旗杆在地上的影长 ∴ ∵1米长的直立的竹竿的影长为1.5米 ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了三角形相似的应用．解题的关键在于利用三角形相似求解． 5. 如图，已知是的直径，，平分，则的度数是（ ） A. 110° B. 100° C. 120° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据则，结合得到，结合平分，确定，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】如图，连接，因为， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角的定理是解题的关键． 6. 关于x的方程的一个解是2，则k值为（　　） A. 2或4 B. 0或 C. 4或0 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将 代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程的一个解是2， ∴ ， 整理得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，根据题意得到是原方程的解是解题的关键． 7. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 8. 如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（ ） A. B. 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C. 当与相似时，或 D. 当为等腰三角形时，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动，知，判定A正确；当在上，在上，，解方程可判断B正确；当在线段上时，，可得，当在线段上时，，解方程可判断C正确；当时，，当时，，解方程可判断D错误． 【详解】解：动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动， ，故A正确，不符合题意； 当在上，， 整理得，， 解得：， ，在范围内， ， 在上，， 解得：， ，在范围内， ； 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得或（不在线段上，舍去）， 经检验，是原分式方程的解； 当与相似时，或，故C正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得（舍去）； 当为等腰三角形时，或，故D错误，符合题意． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为_____分． 【答案】9 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， （分）， 答：他期末操行得分为9分． 11. 如果圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式可进行求解． 【详解】∵圆锥的高为3，母线长为5， ∴由勾股定理得，底面半径， ∴底面周长， ∴侧面展开图的面积． 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为，则小钢球停止在蓝色区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：小钢球停止在蓝色区域的概率为蓝色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：蓝色区域的面积为，总面积为， 则小钢球停止在蓝色区域的概率为． 13. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 【答案】15.1 【解析】 【分析】根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，尺， （尺）， 立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为15.1尺． 14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于米列不等式即可得到m的值． 【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为 ，将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳， 即跳绳高度要高于米， ∴， 当时， 整理得， 解得，， 即身高为米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上， ∵绳子甩到最高时要超过他的头顶， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标． 15. 如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为S．下面三个推断中，①当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是正比例函数关系；③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是_____（填所有正确答案的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】分别表示出与与与的关系式，进而判定出结论． 【详解】解：①， 是的反比例函数，故①正确； ②如图，过点O作 ， ， ， 为定值，即为定值， 是的正比例函数，故②正确， ③为定值，， 为定值， ， ， 为的二次函数，故③正确， 综上所述，其中正确的是①②③． 16. 如图所示，正方形的对角线交于点是边上靠近点的三等分点，连接，分别交于，．连接，若正方形的边长为3，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，，通过证明，可得，即可求，通过证明可求的长，即可求，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，且正方形的边长为3， ，，，， 是边上靠近点的三等分点， ， ， ，， ， ， ，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共82分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择适当的解法是解题的关键． 19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了__________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）求扇形统计图中圆心角度数； （3）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； 【答案】（1）①400； ②补全条形统计图如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A组、C组的人数，补全条形统计图即可； （2）由乘以C组所占的比例即可； （3）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可 【小问1详解】 ①此次调查一共随机抽取学生人数为：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， 【小问2详解】 【小问3详解】 （人） 20. 春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景点中选择游玩． （1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是_____； （2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，其中小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的有4种结果， 小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率为． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 【答案】（1）证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根的平方和为4，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 即， 解得：． ， ， ． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可得； （2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则， ，在中，利用锐角三角函数的定义求出求出，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G， 则，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， ， 点到的距离为． 23. 如图，是的直径，延长到，使，点在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接，． ， ． ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，．先利用圆周角定理求得，证明是等边三角形，则，，结合已知条件和等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质求得，进而证得，根据切线的判定定理可证得结论； （2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积为． 24. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当售价为元时，利润达到元 （2）售价定为元时，月销售利润最大为元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得， 整理得：， 解得：， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为元时，利润达到元． 【小问2详解】 设利润为W元，则 ∵，即：， 又∵， ∴当时，， 答：售价定为元时，月销售利润最大为元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键． 25. 如图，已知中，，，，是线段上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接； （1）当为何值时，？ （2）在（1）的条件下，若点是上的一点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线段的数量关系可得，可得结论： （2）由相似三角形的性质可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：沿折叠，点与重合， ， ，，， ， ， 若， 则须， ， ， 故当时，； 【小问2详解】 解：， ， ， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，如图，过点作于， 由（1）得：， ， ， ， 即， ， ， ， ， 的最小值． 26. 平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． （1）求和的值； （2）A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，过点作轴交直线于点，如图1，可得，运用二次函数性质即可求得答案； （3）根据轴对称性质可求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：抛物线解析式为， 当时，， ， 设，过点作轴交直线于点，如图1，则， ， ， 当时，取得最大值； 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为， 如图2，连接， 对于直线，令，则，解得， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 三点共线，， ， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去）或， 当时，， ． 27. 如图，锐角中的平分线交于点E交的外接圆于点D，边的中点为M． （1）求证：垂直； （2）若，，，求的值： （3）作的平分线交于点P，若将线段绕点M旋转后，点P恰好与外接圆上的点重合，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，先判断出，再证，即可得出结论； （2）先判断出，得出，同理，得出，即可得出答案； （3）连接、、，先判断出，进而判断出，再利用特殊角三角函数值即可． 【小问1详解】 证明：连接、， 平分， ． ． ． 边的中点为M， ． 在和中 ． ． ， ． ． 【小问2详解】 解：， ． 平分， ． ． ， ． ． ， ． ， ． 平分， ． ． ， ． ． 由（1）知，， ． ， ． ． 【小问3详解】 解：如图，连接、、， 是的中点，点P与点关于点M对称， 四边形是平行四边形． ． 点在圆上， ． 点P是两个内角与的角平分线交点， 平分． ． ． ． ． ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、垂径定理，角平分线，圆周角定理，三角形内心，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $