专题07圆（1年汇编）（四川专用）2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 四川2026中考圆专题真题模拟汇编，覆盖垂径定理、切线判定等4大考点，精选宜宾、泸州等地市中考真题，梯度设计兼顾基础与综合能力 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约40%|垂径定理结合圆柱形水管计算、正五边形内接圆角度换算|基础送分题，情境真实（如锥形帽、剪纸）| |解答题|60%|切线证明与相似综合、圆与矩形折叠动点最值|全省地市全覆盖，固定两至三问，区分中档与高分学生|

专题07圆 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质 2026年宜宾、南充、泸州、内江、广安、甘孜中考真题 选择填空为基础送分题型，常结合等边、正五边形内接圆构图；依托圆柱形水管实景考查垂径定理弦长计算，解答题搭配切线综合设问；核心考查同弧圆周角相等、直径所对直角、圆内接四边形对角互补，角度换算为核心考法。 考点02点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质 2026年泸州、宜宾、攀枝花、乐山、巴中、广安、凉山、广元、甘孜、南充、达州、眉山、遂宁中考真题 本专题核心中档解答大题，全省地市全覆盖；固定两至三小问，第一问求证切线，第二、三问结合相似、勾股计算线段；融合直角三角形内切圆、三角形内心、图形折叠背景，切线垂直半径是证明核心依据。 考点03弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积 2026年遂宁、凉山、内江、达州、自贡中考真题 以选择、填空为主，结合手工锥形帽、自贡剪纸、正六边形几何情境；分为圆锥展开图计算、多边形内多扇形拼接、不规则图形割补求阴影三类题型，公式直接运用为主，割补转化是解题关键，计算难度偏低。 考点04圆与三角形、四边形、相似简单综合计算 2026年广元、眉山、自贡、广安、成都中考真题 多为填空压轴与综合探究大题，融合矩形、正方形折叠、动点最值、图形旋转；串联内心、相似三角形、最短路径、分类讨论等腰三角形，综合性强，需联动圆基础定理与勾股、相似，是区分中档与高分学生的题型。 考点01 垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 6．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 考点02 点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质 1．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若，的半径为，求的长． 5．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 6．（2026·四川广安·中考真题）如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点，若，，求的长． 7．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点F，且，过点C作的垂线交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，，，分别与相切于，，三点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 10．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，为直径，为切线，点D在上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． (1)求的度数； (2)求证：与的外接圆相切； (3)为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 12．（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 13．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 考点03 弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积 1．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 4．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 5．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中， ，以边 为直径作 ，交于点 ，交的延长线于点 ，连接交 于点 ． (1)如图1，过点 作于点 ． ①求证： 是 的切线； ②若，，求阴影部分的面积； (2)如图2，连接，若，，求的值． 考点04 圆与三角形、四边形、相似简单综合计算 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____． 4．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 6．（2026·四川成都·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 7．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 8．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，． ①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由： ②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值． 9．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 1．（2026·四川德阳·二模）把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2026·四川成都·二模）如图，已知的半径为2，在上顺次取四点，连接，，，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径是（）． A． B． C． D． 6．（2026·四川雅安·二模）如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川广元·三模）如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 10．（2026·四川遂宁·二模）半径为，则圆心角为的扇形周长是_____． 11．（2026·四川成都·二模）如图，四边形内接于，是的中点，是的直径，若，，则的长为________． 12．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 13．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，、，的半径为，连接交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 14．（2026·四川泸州·二模）定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 15．（2026·四川广元·二模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积_______． 16．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求阴影部分图形的面积． 17．（2026·四川遂宁·二模）已知：如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，连接，是的切线，与的延长线相交于点D． (1)求证：； (2)求证：． 18．（2026·四川雅安·二模）如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的值． 19．（2026·四川绵阳·二模）如图，线段是圆的直径，弦于点，点是弧上任意一点，． (1)求圆的半径的长度； (2)求； (3)如图，直线交直线于点，连接交于点，求的值． 20．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07圆 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质 2026年宜宾、南充、泸州、内江、广安、甘孜中考真题 选择填空为基础送分题型，常结合等边、正五边形内接圆构图；依托圆柱形水管实景考查垂径定理弦长计算，解答题搭配切线综合设问；核心考查同弧圆周角相等、直径所对直角、圆内接四边形对角互补，角度换算为核心考法。 考点02点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质 2026年泸州、宜宾、攀枝花、乐山、巴中、广安、凉山、广元、甘孜、南充、达州、眉山、遂宁中考真题 本专题核心中档解答大题，全省地市全覆盖；固定两至三小问，第一问求证切线，第二、三问结合相似、勾股计算线段；融合直角三角形内切圆、三角形内心、图形折叠背景，切线垂直半径是证明核心依据。 考点03弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积 2026年遂宁、凉山、内江、达州、自贡中考真题 以选择、填空为主，结合手工锥形帽、自贡剪纸、正六边形几何情境；分为圆锥展开图计算、多边形内多扇形拼接、不规则图形割补求阴影三类题型，公式直接运用为主，割补转化是解题关键，计算难度偏低。 考点04圆与三角形、四边形、相似简单综合计算 2026年广元、眉山、自贡、广安、成都中考真题 多为填空压轴与综合探究大题，融合矩形、正方形折叠、动点最值、图形旋转；串联内心、相似三角形、最短路径、分类讨论等腰三角形，综合性强，需联动圆基础定理与勾股、相似，是区分中档与高分学生的题型。 考点01 垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 6．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，则， ∴， ∵过点作的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，即：， ∴； (2) 【分析】（1）连接，切线的性质得到，圆周角定理得到，根据等边对等角，以及等角的余角相等，即可得出结论； （2）设的半径为，在中，根据，求出的值，进而求出的长，延长交于点，根据平行线的性质，垂径定理，推出，，证明，求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再证明，推出，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 考点02 点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质 1．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ， ， ， ． 为的直径， ， ． ，即， 又是的半径， 为的切线； (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，则可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可证明，即，据此可证明为的切线； （2）解直角三角形得到，由勾股定理可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，的半径为， ，即， ∴， , ． 5．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． (2)证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·四川广安·中考真题）如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ，， ∵， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ∴． 7．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点F，且，过点C作的垂线交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴平分． (2)证明：连接， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）由四边形内接于，可得，再由与圆周角的性质可得，则平分． （2）先证明，由，可得，即可证明是的切线； （3）过点作于点，可求得，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于点， 由（1）可知， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的直径， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5，即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为半圆的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，交于点K，过点G作于点H，根据切线长定理可得，从而得到垂直平分， 进而得到，设，则，再证明为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点K，过点G作于点H， ∵，为半圆O的直径， ∴为半圆O的切线，，， ∵为半圆的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分，即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，，，分别与相切于，，三点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)解：，理由如下： 如图所示，连接， ， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， 即． (2)的半径为 【分析】（1）利用圆的切点的性质证得和，得出，，再根据这四个角相加为求解； （2）由（1）可得，利用求出的长度，再根据勾股定理求出的长度；再根据已知条件证明，利用相似求解． 【详解】（1）解：，理由见答案 （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，； ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴的半径为． 10．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，为直径，为切线，点D在上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 与分别是弧所对的圆心角和圆周角， ， 又， ， 在四边形中，， ， 为的切线，为直径， ，即， ，即， 又为的半径， 是的切线． (2)10 【分析】（1）连接，由同弧所对圆心角是圆周角的倍，得，结合已知，推出，再利用四边形的内角和为，得到，而为切线，，于是，从而为切线． （2）连接、，交于点，作于点，利用余弦的定义求，进而求出和，利用面积法求出，再证明，可得等于直径． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，交于点， 由（1）知、是的两条切线， ， 是的垂直平分线， ，即，且， 作于点， 在中，，，， ∴， ， ， ， 在中，， ， 又， ， ， 为的直径， ， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ． 11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． (1)求的度数； (2)求证：与的外接圆相切； (3)为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知， ∴是的外接圆的直径，设圆心为点，连接， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵为半径， ∴与的外接圆相切； (3)解：，理由如下： 连接，设， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵，点是中点， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可； （2）可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明； （3）连接，设，导角证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，，点是中点， ∴ ∵平分 ∴ ∴ （2）略 （3）略 12．（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 【答案】(1)与相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明，然后根据“边角边”证明，可得，进而得出答案； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后说明，可得，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点O作于点D， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 13．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ 又∵点C在上 ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由，得到，然后由圆周角定理得到，再结合已知条件进行等量代换证明即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据圆周角定理得到，再由求出，即可求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的半径为． 14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 考点03 弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积 1．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 4．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 5．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中， ，以边 为直径作 ，交于点 ，交的延长线于点 ，连接交 于点 ． (1)如图1，过点 作于点 ． ①求证： 是 的切线； ②若，，求阴影部分的面积； (2)如图2，连接，若，，求的值． 【答案】(1)①证明：如图1所示，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，即点D为的中点， 又∵点O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴ 是 的切线； ② (2) 【分析】（1）①连接，可证明，得到点D为的中点，则是的中位线，进而可证明，进一步可证明，则可证明 是 的切线；②由圆周角定理可得，则可证明是等边三角形，得到，，解直角三角形得到，可求出，根据列式求解即可； （2）取的中点T，连接，可证明为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理得到；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②解：如图1所示，连接， ∵为的直径， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2所示，取的中点T，连接， 由（1）可得点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∵是的直径， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 考点04 圆与三角形、四边形、相似简单综合计算 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可知，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在 上取点 使得，构造，从而确定点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，连接 ，当 三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求出 的长即可求解． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， 点在 边上，， ， 由翻折的性质可知，， 在上取一点 ，使得，连接， ， 在 和中， ，， ， ， ， 点 是定点，长为定值， 点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动， 连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为， 在 中，， ， 根据勾股定理得： ， 的最小值为． 3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意，四边形是正方形，设边长为，如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，则，有勾股定理列式求解得到，再证明，结合角度的计算得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，得到，如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，设边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上， ∴， ∴，则，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为， ∵圆心角，， ∴ 是等腰直角三角形 ， ∴， 如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∴， ∵在直线上，且在正方形内部（）， ∴ 圆心在的上方，且到的距离为， ∵ 的中点坐标为 ， ∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ， ∴ ． 4．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】①②分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），根据矩形性质和折叠的性质即可推出结论；③先判断在的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质结合勾股定理求出的长，④分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），分别作过点作交于点，过点作交于点，运用矩形的性质证明，得出的长，再结合①的结论算出的长，根据等面积法求出、，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断在以为圆心，半径为的圆上运动，即可求解． 【详解】解：关于①，如图，当在的左侧、， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， 与当在的左侧同理， 综上，， ∴①符合题意； 关于②，如图，当在的左侧， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， ∵， ∴，即， ∴②不符合题意； 关于③，∵点恰好落在对角线上， ∴如图，在的左侧， ∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵关于折叠为， ∴，，， ∴，， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即， 解得: ， ∴③符合题意； 关于④，如图，当在的左侧，过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 如图，当在的右侧（含点），过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 综上，或； ∴故④不符合题意； 关于⑤， ∵关于折叠为， ∴， ∴如图，在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点是射线（不与点重合）上的一个动点， ∴，即， ∴在上运动， 当在点时，有最小值，最小值为， 当接近时停止，趋近于， ∴的取值范围为， 故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤． 6．（2026·四川成都·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴； (2)的半径为， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而根据同角的余角相等得出，结合已知得出，进而可得； （2）设的半径为，由（1）可得，根据正弦的定义，可得，求得，，勾股定理求得，进而求得，证明，过点作于点，则，进而解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 由（1）可得 ∴ ∴ 解得：， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 7．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先证明，再证明，则，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）连接，证明，则可得，然后对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由（1）知，记直线与交于点，证明，则，，，四点共圆，可得，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，记，交于点， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：连接， 由（1）知，记直线与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， 当时，同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上：若，，三点构成以为腰的等腰三角形，的长为或． 8．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，． ①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由： ②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵为中点，在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； (2)或，理由如下： 当点在上时，如图，在上取点使得， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；即， 当点在上时，如图所示，在的延长线上取， 同理可得， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据得出，即可得证； （2）分情况讨论，当点在上时，在上取点使得，，证明，得出，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点在上时，如图所示，在的延长线上取，证明，进而根据线段的和差关系，即可得出结论； ②根据题意得出当点到的距离最大时，，设的交点为，连接，，解直角三角形，分别求得，，的长，再求比值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵点在优弧上， ∴当点到的距离最大时，，如图所示，设的交点为，连接，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 由（1）可得在上，， ∴， 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 【答案】(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) 点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． 证明：连接， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线 ∴． 又∵是直径 ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上． 又∵点、不重合，故点D不与点重合， ∴点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． (3)8 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论； （2）根据三角形中位线性质可得，由此得出，根据角所对弦是直径，可得点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）； （3）过点作，交于，交于，利用（1）可得，根据求得，再由四边形是平行四边形，可得，由可得是直角三角形，取中点，则，根据点到圆上一点的距离最值即可得，即当点在延长上时，最大，最大值为． 【详解】（1）解：​、​、​面积相等． 理由：它们共底边，且由于，顶点到直线​的距离（即高）相等，故面积相等． （2）略 （3）解：过点作，交于，交于， 由（1）可得：， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，即， ∴， ∴点在以为直径的半圆弧（上方，不含、两点）上运动， 取中点，则，连接、， ∴， 当点在延长上时，最大，最大值为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 即最大值为8． 【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用“圆外一点到圆上点的最大距离”模型，巧解线段最值． 1．（2026·四川德阳·二模）把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用正多边形的内角公式，求出，根据圆内接多边形的性质，可知平分，最后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，得， 由圆内接多边形的性质，得， ∴． 3．（2026·四川成都·二模）如图，已知的半径为2，在上顺次取四点，连接，，，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质可得，可得，代入弧长公式计算即可． 【详解】连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由题意可得，，由等腰对等角并结合三角形内角和定理得出，由切线的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：连接、， 由题意可得，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 5．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径是（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连，则，，，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径． 【详解】解：如图，设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连， 直径是 在中， ． 6．（2026·四川雅安·二模）如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而求解 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 与所对的弧都是弧， 7．（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弧弦关系得,由等腰三角形性质得，由直径性质得，由直角三角形性质得，即得答案． 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵， ∴, ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·四川广元·三模）如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，得到，再根据直径所对圆周角是得到，利用三角函数求解即可； 【详解】连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 9．（2026·四川南充·一模）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 10．（2026·四川遂宁·二模）半径为，则圆心角为的扇形周长是_____． 【答案】 【详解】解：扇形周长弧长 11．（2026·四川成都·二模）如图，四边形内接于，是的中点，是的直径，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，连接并延长，交于点，由题意可得，，则，，，由勾股定理可得，从而得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点， 是的中点， ，， ，，． ，， ， 在中，， 由勾股定理，得， ． 在中，， 由勾股定理，得． 是的直径， ， 由勾股定理，得． 12．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 13．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，、，的半径为，连接交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】由圆内接四边形对角互补结合 求出 ，再由圆周角定理得 ，结合 解得 ，阴影部分面积用扇形面积减去面积即可． 【详解】解：∵ 四边形 内接于圆， ∴ ，且 ， ∴ ，解得 ， ∵ ， ∴ ，， ∴， ， ， ， 扇形 面积为， 的面积为， 阴影部分的面积为． 14．（2026·四川泸州·二模）定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 【答案】/ 【分析】分别过点作，连接，易证，即三点共线，勾股定理求出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，由切线长定理求出，得到，再根据是的切线，得到，解直角三角形求出，再求出，再根据，求出，即可求解． 【详解】解：分别过点作，连接， ∵、、分别与切于、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形是矩形， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 15．（2026·四川广元·二模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积_______． 【答案】 【分析】由，推出、、、四点共圆，设圆心为，连接，根据勾股定理求出，过点作于点，连接，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推论证得，推出、、共线，通过勾股定理求得、、，最后根据求得结果． 【详解】解：在四边形中，， 、、、四点共圆， 设圆心为，则点是的中点 如图，连接，则为的直径， 在中，，， ， 过点作于点， ， ， 连接，则， 、、共线， ， ， ， ， ， ． 16．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，易证是的中位线，然后根据中位线的性质和平行线的性质可推出，即可证得结论； （2）先根据直径所对的圆周角为直角和线段垂直平分线的性质可知，从而，然后根据30度直角三角形的性质和勾股定理求得、，再计算和，进而可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ． 17．（2026·四川遂宁·二模）已知：如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，连接，是的切线，与的延长线相交于点D． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由切线的性质得到，即，然后由得到，推出，等量代换证明即可； （2）连接，由垂径定理得到，，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 18．（2026·四川雅安·二模）如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的值． 【答案】(1)证明：点是的中点， ∴， ； 是的直径， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． (2)； 【分析】（1）由点是的中点，得到，从而，由是的直径，得到，又由，得到，从而，进而得证是的切线； （2）设，，由勾股定理得到，从而求出x，证明，得出，进而求出，的长，连接，证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， 设，，则， ∵在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ，，， ，， ， ，即， ， ∵在中，， ， ， ， 连接， ，， ， ， ∵在中，， ， ． 19．（2026·四川绵阳·二模）如图，线段是圆的直径，弦于点，点是弧上任意一点，． (1)求圆的半径的长度； (2)求； (3)如图，直线交直线于点，连接交于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接半径，利用垂径定理和勾股定理，结合已知的，列方程求解出圆的半径； （）先根据垂径定理得到弧的关系，再结合圆周角定理推出，最后在中计算出的值； （）先利用直径所对圆周角为直角和已知线段长度算出；再通过同角的余角相等、同弧所对圆周角相等推导角相等，结合直角证明；最后用相似三角形的比例关系，得到． 【详解】（1）解：连接， ∵于，是圆直径，， 在中，， 由勾股定理，得， 解得． （2）解：连接，则， ∵弦与直径垂直， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：连接，则， 由题意得，， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵同弧所对圆周角， ∴， 连接，则， ∵， ∴A、N、F、H四点共圆， ∴， ∵， ∴，得：， 即． 20．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 【答案】(1)证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)①7；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连接，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连接，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连接，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①在中，，，，如图2， 连接， 由勾股定理得：， ∵为的直径 ∴， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ∵， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆 1年真题1年模拟：答案版 一年真题分类园 考点01垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质 1.B 2.B 3.B 4.A 5.56 6.0.2或0.8/或0.8或0.2 7.(1)证明：连接0C,则OC=0B, B D .LOCB=∠OBC, ,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D, .OC⊥CD .∠BCD+∠OCB=90°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°」 .∠CAD+∠ABC=90° :∠OCB=∠OBC,即：∠OCB=∠ABC, .∠CAD=∠BCD: 1/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8V30 (2)7 考点02点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质 1.A 21-8t 2.21-7 3.42 (2)证明：连接OE, HI o B G ,点G在EF的垂直平分线上， ..GE=GF, .∠GEF=∠GFE, ,∠GFE=∠AFH, .∠GEF=∠AFH, ,CD⊥AB, .∠AHF=90°， ∴.∠A+∠AFH=90°， .OA=OE. .∠A=∠OEA」 ∴.∠OEA+∠GEF=90°， ∴.∠0EG=90°， 2/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OE⊥EG. :OE是⊙0半径 .EG是OO的切线。 4.(1)证明：如图所示，连接OC, D OB=OC, .∠B=∠BCO, ∠ACD=∠B, ∴.∠ACD=∠BCO AB为⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠ACO+∠BC0=90° .∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°， 又0C是⊙0的半径， CD为⊙O的切线： (2)2 5.(1)证明：连接OC,如图所示： H ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠CAB+∠ABC=90°， ∠BCH=∠CAB, .∠BCH+∠ABC=90°， .OC=OB」 :.∠OCB=LOBC, .∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90°， 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC⊥CH, .OC是⊙0的半径， .CH为⊙O的切线. AC (②)证明：，D是4的中点， :0- .∠ABD=∠DAC, :DE⊥AB,AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠AED=90°， .∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°， .∠ADE=∠ABD=∠DAC, .AF=DF 6)D=v10 6.(1)证明：连接DC, D E:∠ECA=∠B+∠BAC ∠E.AB=∠CAE+∠BAC :∠ECA=∠EAB. .∠B+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∠B=LCAE, :AD是⊙O的直径， .∠ACD=90°， ∴.∠D+∠DAC=90° ∠B=∠D, ∠CAE=LD, .∠CAE+∠DAC=90°. .DA⊥AE, 4/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE是⊙O的切线， g35 7.(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， .∠ADC+∠ABC=180°， :∠ADC+∠EDC=180°， .∠EDC=∠ABC, .AC=BC, .∠BAC=∠ABC, ∠BDC=∠BAC, .∠BDC=∠EDC, .DC平分∠BDE. (2)证明：连接0C, ..OC =OD. .∠ODC=LOCD, 由(1)可知，∠ODC=∠EDC, .∠OCD=∠EDC, .OC DE .CE⊥DE, .OC⊥CE, OC是⊙0的半径， .CE是OO的切线. 8r9 8.(1)证明：如图，连接OC,OF, 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△BOC和△FOC中， ..OC=OC,OB=OF,BC=FC △BOC≌△FOC(SSS) ∴.∠OFC=∠OBC, .∠ABC=90° .∠0FC=90°. OF为半径， .CF为半圆O的切线； 10W2 (2)3 9.(1)解：OB⊥OC,理由如下： 如图所示，连接OE,OF,OG :AB,BC,CD分别与OO相切于E,F,G三点， ∴.∠OEB=∠OFC=∠OGC=90° OE=OF 在Rt△OBE和Rt△OBF中， OB=OB, RtaOBE≌RtAOBF(HL) 6/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EOB=∠FOB. 同理可证RtAOFC≌Rt△OGC, .∠FOC=∠GOC, :∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=2∠FOB+2∠FOC=2∠BOC=180°， .∠B0C=90°， 即OB⊥OC. 2 2)o0的半径为5 10.(1)证明：连接OD, 与 分别是弧 所对的圆心角和圆周角， D C·∠AOD ∠B AD .∠AOD=2∠B 又：∠C+2∠B=180°， ∴.∠AOD+∠C=180°， 在四边形OACD中，∠OAC+∠C+∠ODC+∠AOD=360°， .∠0AC+∠ODC=360°-180°=180°. :AC为OO的切线，AB为直径， ∴.OA⊥AC,即∠OAC=90° ∴.∠ODC=180°-∠OAC=90°，即OD⊥CD, 又OD为⊙0的半径， CD是⊙O的切线. (2)10 11.(1)90° (2)证明：由(1)知∠BCE=90°， .EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O,连接OC, 7/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC=BC,∠ACB=120°， ∠B=∠CAB=180-∠ACB =30° .OC=OB. .∴∠OCB=∠B=30° .∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°， :OC为半径， .AC与△BCE的外接圆相切： (3)解：PA=2PD,理由如下： 连接OP,设OP=OE=OC=R, ∠CAB=30°，∠AC0=90° .A0=2C0=2R, ..CE=CE ∴.∠COE=2∠B=60° CA=CB,点D是AB中点， .CD⊥AB .∠DC0=90°-∠C0E=30°， 00-0c=, 2 :.ODxO4-Rx2R-R-OP: 2 ODOP ..OPOA 8/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'∠DOP=∠POA ∴.△DOP∽△POA PD OP R 1 PAOA2R2 .PA=2PD 12.1)PB与⊙0相切，理由如下： 连接AO :PA与⊙0相切， .∠PA0=90°， .AC∥OP, .∠AOP=∠OAC,∠ACO=∠POB ..OA=OB=OC, ∴.LOAC=∠AC0 .∠AOP=∠POB .OP=OP, △PAO≌△PBO ∴.∠PB0=∠PAO=90°， .PB⊥BO, .PB与⊙O相切： A C B ev 13.1)证明：连接OC, 9/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OA=OC ∴.∠OAC=∠OCA .∠BCF=∠BAC ∴.∠BCF=∠OCA ,AB是⊙O的直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠OCB=90° ∴.∠BCF+∠OCB=∠OCF=90° 又：点C在⊙0上 ∴CF是⊙O的切线： 10 2)3 14.(1)证明：连接OD G EB 是 的直径，弦 于点E, D AB⊙O CD⊥AB .BC=BD ∠BOD+∠ODE=90° .∠BOD=2∠A, .2∠A+∠ODE=90°， ∠CDG=2LA, .∠CDG+∠ODE=90°， ∠0DG=90°， .DG是⊙O的切线： @4 考点03弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积 10118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.D 2.C 3.13 4.6W38 3 5.(4红-8)，(-8+4r) 6.()①证明：如图1所示，连接4D,OD, D B 图1 ,AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, AC=AB .CD=BD,即点D为BC的中点， 又，点O为AB的中点， .OD是△ABC的中位线， ..ODII AC. :DM⊥AC, .DM⊥OD .OD是⊙0的半径， .DM是⊙O的切线： 9W3 4 (2)2 考点04圆与三角形、四边形、相似简单综合计算 11/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.B 2.40-2 3.45-2V2 4.①③⑤ 6.(1)证明：：AB为的⊙0直径， .∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90° 又CD⊥AB .∠BCD=90°-∠ABC=∠CAB ..CE=CB .∠CBE=∠CAB .∠ACD+∠CBE=90°： ,18BE=10V1I 2o0的半径为18， 7.(1)30° g吟 64W5-2526+2 或 8.(I)证明：，D为BC中点，E在OD的延长线上， ∴OE⊥BC, ·EMI‖BC、 .OE⊥EM, .EM是⊙O的切线； (2)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在B上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA 12/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D MF E ,△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, :C=4c .∠APC=∠ABC=60° .△APT是等边三角形， AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又AP=P :.∠ABP=∠ACT, :△ABP2ACT(AAS) .PB=TC. .PC=PT+TC=PA+PB:PC=PA+PB 当点P在C上时，蜘图所示，在CP的延长线上取PS=P1, 1o D M 13118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理可得∠APB=∠ACB=60°， :四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APS=60°， ∴.△APS是等边三角形， .∠S=∠APB, 又：AB=AC,∠ABP=∠ACP, :△SMC≌aPAB(AAS) ∴.PB=SC=PC+PS=PC+PA,即PC=PB-PA: 9.(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 证明：连接OD ,O是AB中点，D是AC的中点， :.OD是△ABC的中位线 ...OD II BC 又，AB是直径 .∠ACB=90°， .∠ADO=∠ACB=90° ∴.点D在以OA为直径的圆上。 又：点A、C不重合，故点D不与点A重合， .点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 14118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)8 V一年模孤练测园 1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.A 9C 10.24+3π 11.25 12.200m 9π35 13.42 14.25-2,2+25 15.11 16.(1)证明：如图，连接OD, D 是 的直径， 0 ·AB⊙O ..OA=OB, DC=AD. ,OD是△ABC的中位线， .OD∥BC. 15118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥BC, ∴.DE⊥OD, 又：OD是⊙0的半径， DE是⊙O的切线： 4机-5 ②) 17.(I)证明：：BD是⊙0的切线， .AB⊥BD, :.∠ABC+∠DBC=90°， OF⊥BC, .∠D+∠DBC=90°. .∠D=∠ABC, 又，∠ABC=∠AEC, .ZD=ZAEC: (2)证明：如图，连接AC, E ·OF⊥BC BE-CE .∠ECB=∠EAC, 又，∠CEH=∠AEC, .△CEH∽aAEC, CE HE ·AECE CE-=EH.EA 18.Q)证明：“点D是B的中点， 16118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD-BD ∠BCE=∠ACE: :AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90° .∠BEC+∠BCE=90°， ..FC=FE, .∠FCE=∠FEC, .∠FCE+∠ACE=90° .∠OCF=90° C0是⊙0的半径， ∴.CF是⊙O的切线 (②)1E=10DE=2V5 19.(1)10 4 ②3 3)64 20.①)证明：以AB为直径的⊙O交AC于点D,M是BC的中点，如图1，连接OD、BD、OM, D (图1) ,∠ADB=∠CDB=90° .BM=DM=CM, .∠MDB=∠MBD, .OB=OD, ∴.∠ODB=∠OBD :∠MBD+∠OBD=∠ABC=90°， .∠ODM=∠MDB+∠ODB=90°， 17/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OD是⊙0的半径， .MD是OO的切线； 207:②D0=102 18/18