专题07 圆的性质与圆的几何综合（含压轴）（7大考点）（四川专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 圆的性质与圆的几何综合（含压轴） 7大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点05求圆中三角函数的值 考点02求与圆有关的线段长 考点06圆中最值问题（压轴） 考点03求圆中的阴影部分的面积 考点07圆的几何综合（压轴） 考点04圆的基本性质辨析及应用 圆中的角度问题 考点01 1．（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·一模）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广元·一模）如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川内江·一模）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川宜宾·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·一模）如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为______ 求与圆有关的线段长 考点02 1．（2026·四川泸州·一模）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·四川泸州·一模）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·一模）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·一模）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 5．（2026·四川泸州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·一模）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 7．（2026·四川泸州·一模）如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是（    ） A． B． C．12 D．13 8．（2026·四川绵阳·一模）O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·四川成都·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为______． 求圆中的阴影部分的面积 考点03 1．（2026·四川内江·一模）如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 4．（2026·四川德阳·一模）如图，扇形的半径为2，沿折叠，圆心O落在上的C点．则阴影面积等于________． 5．（2026·四川绵阳·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为__________. 6．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 7．（2026·四川成都·一模）如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 31．（2026·四川成都·一模）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为__________．（结果保留） 圆的基本性质辨析及应用 考点04 1．（2026·四川泸州·一模）下列说法中，正确的是（   ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 2．（2026·四川巴中·一模）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，以边为直径作交于点，为的切线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 5．（2026·四川巴中·一模）如图，是的直径，点C在上，平分，交于点D，过点D的直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于M，N两点，交于点G，若的半径为2，，求的值． 6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心长为半径的圆与相切于点D，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长． 7．（2026·四川广元·一模）如图，为的直径，C、D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于点F． (1)求证：为的切线； (2)求证：． 8．（2026·四川·一模）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． (1)求证：平分； (2)若，，求半径的长． 9．（2026·四川宜宾·一模）如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． (1)证明：为圆O的切线； (2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 10．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 11．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，以为直径作交、于点D、E，且D是的中点，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 12．（2026·四川成都·一模）如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 13．（2026·四川绵阳·一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图①                            图② (1)如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； (2)如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 14．（2026·四川南充·一模）已知：如图，是的直径，点C在上，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 15．（2026·四川泸州·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长． 16．（2026·四川成都·一模）如图，已知是的直径，点F和点G在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，连接，，，且有． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 17．（2026·四川成都·一模）如图， 为的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切线 与的平分线交于点 F，交于点 G ，交于点 H，交 于点 M，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，，求 的长． 求圆中三角函数的值 考点05 1．（2026·四川德阳·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（  ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·一模）如图，圆A经过平面直角坐标系的原点O，交轴于点 ，交轴于点，点D是第一象限内圆上的一点，则的正弦值是(      )　    A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点，，在上，是的一条弦，则（   ） A． B． C． D． 圆中最值问题（压轴） 考点06 1．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026·四川德阳·一模）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．（2026·四川泸州·一模）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 圆的几何综合（压轴） 考点07 1．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 2．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 3．（2026·四川内江·一模）如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 4．（2026·四川内江·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点 (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系，并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积. 5．（2026·四川绵阳·一模）四边形是的内接四边形，是对角线，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 6．（2026·四川内江·一模）如图，是的直径，点是圆上的一点，直线交延长线于点，过点作于点，交于点，连接，若平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)过点作于点，交于点，在（2）的条件下，求的值． 7．（2026·四川南充·一模）如图，点P是外一点，交于点． (1)请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线． (2)求证：是的切线； (3)在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离． 8．（2026·四川绵阳·一模）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 9．（2026·四川德阳·一模）如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的半径． 10．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 11．（2026·四川德阳·一模）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 12．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，连接，，过点A作交于点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，当点O，点C，点P三点共线时，若，，求的长； (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的性质与圆的几何综合（含压轴） 7大考点概览 考点01圆中的角度问题 考点05求圆中三角函数的值 考点02求与圆有关的线段长 考点06圆中最值问题（压轴） 考点03求圆中的阴影部分的面积 考点07圆的几何综合（压轴） 考点04圆的基本性质辨析及应用 圆中的角度问题 考点01 1．（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弧弦关系得,由等腰三角形性质得，由直径性质得，由直角三角形性质得，即得答案． 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵， ∴, ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·四川南充·一模）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 4．（2026·四川广元·一模）如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求得，再利用圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又四边形内接于， ∴， ∴． 5．（2026·四川内江·一模）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 6．（2026·四川宜宾·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得 ，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·四川成都·一模）如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为______ 【答案】120 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质．直接根据等边三角形的性质、圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵A、D、E、F均在上， ∴， 故答案为：． 求与圆有关的线段长 考点02 1．（2026·四川泸州·一模）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 2．（2026·四川泸州·一模）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 3．（2026·四川宜宾·一模）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，连接，，，由圆内接四边形的性质可得到，，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：连接，，， 正方形内接于， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 4．（2026·四川绵阳·一模）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 5．（2026·四川泸州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出，连接并延长交于点，连接，构造直径所对的圆周角为直角，再利用同弧所对圆周角相等求出，最后在Rt中求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长交于点，连接，如图， ∴为的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 又∵， ∴在中，． 6．（2026·四川泸州·一模）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 7．（2026·四川泸州·一模）如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是（    ） A． B． C．12 D．13 【答案】B 【分析】将延长至，使,作于,根据相关线段等量关系判断出为等腰三角形，从而算出的长度，再根据三角函数算． 【详解】   如图：将延长至，使,作于 ∵四边形内接于 ∴ ∵弦平分 ∴ ， 又∵ ∴ ∴ ， ∴ 是等腰三角形 又∵ ∴ ∴ ∴ 8．（2026·四川绵阳·一模）O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作于，根据等腰三角形的性质、折叠的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，，则，，在中，由勾股定理可解得，即，则，然后计算的值． 【详解】解：连接，作于，如下图， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点D的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， 则，， 在中，可得， ∴，解得， ∴，则， ∴． 故选：C． 9．（2026·四川成都·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理和勾股定理求出边的长度是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，可求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 求圆中的阴影部分的面积 考点03 1．（2026·四川内江·一模）如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，延长，交于E，根据菱形的性质得出是等边三角形，进而通过三角形全等证得，从而求得，利用即可求得． 【详解】解：连接，延长，交于E， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，求得是解题的关键． 3．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【答案】/ 【分析】设与相交于点E，设的半径为r，先求出圆的面积，再运用等边三角形的判定和性质与勾股定理求出筝形的面积，进而求解即可． 【详解】解：设与相交于点E，如图， 设的半径为r， ∴， ∴圆的面积为： ∵筝形内接于，且， ∴，，对角线平分， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴点取在阴影部分的概率为． 4．（2026·四川德阳·一模）如图，扇形的半径为2，沿折叠，圆心O落在上的C点．则阴影面积等于________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质、垂径定理、勾股定理以及锐角三角函数求出得出的度数，再根据进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点，由折叠可知，，且， ∴四边形是菱形， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 5．（2026·四川绵阳·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为__________. 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ． 故答案为：． 6．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2026·四川成都·一模）如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【答案】 【详解】解：， ∴图2中的阴影部分的面积为． 31．（2026·四川成都·一模）如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，求扇形的面积，根据圆周角定理，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵、是的两条弦，， ∴， ∵的半径为2， ∴扇形的面积为； 故答案为：． 圆的基本性质辨析及应用 考点04 1．（2026·四川泸州·一模）下列说法中，正确的是（   ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】B 【分析】A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆； B、利用等圆的条件进行分析解答； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件； D、根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．对这几个基本概念作出正确的理解，然后进行判断． 2．（2026·四川巴中·一模）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 【答案】D 【分析】题目主要考查正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， A、∵弦是的内接正六边形的一边， ， ∵， ， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，即的直径为2，选项正确，不符合题意； B、∵是的内接正方形的一边， ∴，即，选项正确，不符合题意； C、∵，， ，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、如图，作的角平分线交于点E，连接， ， ， ， ∴，故选项错误，符合题意； 故选：D 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，以边为直径作交于点，为的切线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，，可证明，根据两直线平行线同旁内角互补，即可证得结论； （2）连接、，由直径所对的圆周角是直角可得，，根据等腰三角形“三线合一”得，利用勾股定理可求出，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接、，如图， ∵的半径为，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据直径得出直角，证明，利用圆周角定理得出，最后利用三角形的外角定理即可得出结论； （2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，，然后利用勾股定理以及锐角三角函数求出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，过点D作于点H， ，， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ，． 5．（2026·四川巴中·一模）如图，是的直径，点C在上，平分，交于点D，过点D的直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于M，N两点，交于点G，若的半径为2，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据等边对等角和角平分线定义得，即可得，再根据，可得，则此题可证； （2）连接，先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据直角三角形的性质求出，接下来说明，即可得，再说明，可得，最后说明，并结合可得答案． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 根据勾股定理，得， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心长为半径的圆与相切于点D，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由圆的切线可知，由圆周角定理得出，进而推出，即可得到结论； （2）由特殊角的三角函数值得到，进而得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 与相切于点D， ， ， ，， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：， ， 在中，， ， ， 即的半径长为3． 7．（2026·四川广元·一模）如图，为的直径，C、D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于点F． (1)求证：为的切线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ，即， ； 8．（2026·四川·一模）如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． (1)求证：平分； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关性质结合相似三角形的判定与性质解决问题． （1）连接，利用切线的性质得，结合证，得，再由得，从而证； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合和平分证，利用相似三角形的对应边成比例求出的长，进而求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即平分． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 9．（2026·四川宜宾·一模）如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． (1)证明：为圆O的切线； (2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论； （2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为弦的中点， ∴， ∵垂直平分，点P在的延长线上， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线． （2）解：∵E为弦的中点， ∴于点E， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得：． ∴⊙O的半径长为． 10．（2026·四川泸州·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 11．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，以为直径作交、于点D、E，且D是的中点，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由直径所对的圆周角是直角可得，由是的中点可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，再结合，利用可证得，于是可得，再结合，可知是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，则，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）连接，由（1）得，于是可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由此可证得，于是可得，进而可得，在中，由可得，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 是直径， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图，连接， 由（1）得：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 12．（2026·四川成都·一模）如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：， ， 又，， ，， ， ， 是的直径，是上的一点， ， 又， ． ∴ ∴在中，． 13．（2026·四川绵阳·一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图①                            图② (1)如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； (2)如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直径，得到，等边对等角，得到，利用，求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而求出的度数； （2）连接，与相交于点，等边对等角，推出，得到，切线，得到，推出四边形为矩形，得到，即可． 【详解】（1） 为的直径， ． ． ， ． ． 四边形是圆内接四边形， ． ． （2）如图，连接，与相交于点． ， ． ， ． ． ． 与相切于点， ，即． ． ， ． ，． 为的直径， ． 四边形为矩形． ． 14．（2026·四川南充·一模）已知：如图，是的直径，点C在上，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，则，再由弧与角的关系得出，进而可求出，再结合已知条件进一步即可得出答案． （2）过点O作于E，连接，由圆周角定理得出， 通过解直角三角形求出，由三线合一得出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ． ， ． ，即， ． ， ， ． 是半径， 是的切线． （2）解：过点O作于E，连接， ， ， ． ∵在中，， ． ， ， ． ． 15．（2026·四川泸州·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）OF＝1.8 【分析】（1）由题意连接CD、OD，求得即可证明DE是⊙O的切线； （2）根据题意运用切线的性质、角平分线性质和勾股定理以及三角形的面积公式进行综合分析求解. 【详解】解：（1）证明：连接CD，OD ∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径， ∴∠BDC=∠ADC＝90°， ∵E为AC中点， ∴EC＝ED=AE， ∴∠ECD＝∠EDC； 又∵∠OCD＝∠CDO， ∴∠EDC+∠CDO＝∠ECD+ ∠OCD= ∠ACB＝90°， ∴DE是⊙O的切线. （2）解：连接CD，OE， ∵∠ACB＝90°， ∴AC为⊙O的切线， ∵DE是⊙O的切线， ∴EO平分∠CED， ∴OE⊥CD，F为CD的中点， ∵点E、O分别为AC、BC的中点， ∴OE＝AB＝＝5， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8， ∵在Rt△ADC中，E为AC的中点， ∴DE＝AC＝＝4， 在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5， 由三角形的面积公式得：S△EDO＝， 即4×3＝5×DF， 解得：DF＝2.4， 在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8． 16．（2026·四川成都·一模）如图，已知是的直径，点F和点G在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，连接，，，且有． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，结合，从而证明是的切线； （2）由是的直径，，可得是等腰直角三角形，使用勾股定理可以计算出的值．根据题意容易证得，则，代入数值计算出，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，． 17．（2026·四川成都·一模）如图， 为的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切线 与的平分线交于点 F，交于点 G ，交于点 H，交 于点 M，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明， ，可得，可得，结合平分可得结论； （2）求解，结合，可得，证明，可得 ， ，证明，结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明： ∵ 为的直径，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． （2）解：∵，由（1）得， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ， ∴， 又∵是的切线， ∴即， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 求圆中三角函数的值 考点05 1．（2026·四川德阳·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理得到∠AED=∠ABD，再由勾股定理求出BC的长，即可求出cos∠AED的值． 【详解】解：由题意可得，∠AED=∠ABD 在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得： BC= 所以cos∠AED=cos∠ABD= 故选：B． 2．（2026·四川内江·一模）如图，圆A经过平面直角坐标系的原点O，交轴于点 ，交轴于点，点D是第一象限内圆上的一点，则的正弦值是(      )　    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据正弦的定义得到 ，再根据圆周角定理得到，从而得到的值． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴=． 故选：D． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，点，，在上，是的一条弦，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；连接，由圆周角定理可得出，根据点，，得，由勾股定理得出，再在直角三角形中利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 圆中最值问题（压轴） 考点06 1．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 2．（2026·四川德阳·一模）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 3．（2026·四川泸州·一模）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理，垂线段最短，先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小时，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，则， ∵的半径不变， ∴长随着的变化而变化， 即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， ∵，， 这时，，且点是的中点， 则， ∴， ∴的周长最小为， 故答案为：． 圆的几何综合（压轴） 考点07 1．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：∵点是弧的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）证明：连接交于点．如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 2．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：∵点是弧的中点， ∴ ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）证明：连接交于点． ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴半径， ∴半径， ∴是的切线． （3）解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 3．（2026·四川内江·一模）如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明：连接，由垂径定理得，推出．由，证得，即可得到是的切线； （2）证明，得到，求出，根据勾股定理求出； （3）求出，得为等边三角形，推出．由，得四边形是梯形，根据图中阴影部分的面积求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直径， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是梯形， ∴图中阴影部分的面积 ．    4．（2026·四川内江·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点 (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系，并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，通过切线的性质结合题意可得，再利用等腰三角形的性质即可求解； （2）利用角的直角三角形的性质证得是等边三角形，推得，即可求解； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 平分． （2）解：，理由如下： 直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得， ， 又， ， ， ． （3）解：由（2）得，， 半径为， ， ， 图中阴影部分面积． 5．（2026·四川绵阳·一模）四边形是的内接四边形，是对角线，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由圆的基本性质得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质得可设，，可得，由圆的内接四边形的性质，即可得证； （3）连接，延长使，连接，由正方形的判定方法得矩形是正方形，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． （3）解：； 证明：连接，延长使，连接，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∵， ∴ ∴， ∴． 6．（2026·四川内江·一模）如图，是的直径，点是圆上的一点，直线交延长线于点，过点作于点，交于点，连接，若平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)过点作于点，交于点，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，等边对等角和角平分线的定义，推出，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，进而得到，求解即可； （3）证明，得到，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；    （2）∵，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·四川南充·一模）如图，点P是外一点，交于点． (1)请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线． (2)求证：是的切线； (3)在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，分别在上方和下方交于两点，过这两点作直线，交于点A即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，在上方与交于点，连接即可；③由射线的定义作图即可； （2）连接，易证，得到，根据三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （3）过点作于点，易证，由，求出，即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示：的垂直平分线，点为所求： ②如图所示：点，为所求： ③如图所示：射线为所求： （2）证明：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离为． 8．（2026·四川绵阳·一模）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·四川德阳·一模）如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)，理由见解析； (2)见解析； (3)的半径长为． 【分析】（）利用圆周角定理，垂直定义即可求解； （）由是的切线，则，得，又，所以，然后通过角度和差，等腰三角形的判定方法即可求证； （）连接，通过圆周角定理可得，所以，由角平分线性质可得，因为，，，所以，通过勾股定理得，设的半径为，则，，，由即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵是的切线， ∴， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径长为． 10．（2026·四川内江·一模）如图，在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的切线性质及判断，相似三角形的性质和判定，扇形面积等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． （1）连接，由，证明即可； （2）连接，由，可得 ，即，再证明即可； （3）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线是的切线； （2）连接，如图： ∵为直径， ， ， ， 而， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴． 11．（2026·四川德阳·一模）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【详解】（1）解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 12．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，连接，，过点A作交于点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，当点O，点C，点P三点共线时，若，，求的长； (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出相等的角，证明，得出，，利用三角形的内角和定理以及角的和差进行证明即可； （2）连接，利用相似三角形性质和勾股定理进行求解； （3）连接并延长，交于点，交于点，连接，得出垂直平分线段，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明和，得出相等的线段，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 假设， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴令， ∵为的直径， ∴， ∴由勾股定理得， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接并延长，交于点，交于点，连接， ∵， ∴垂直平分线段， ∴，，， 由勾股定理得， ∴， ∴由勾股定理得， ， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $