21.2 一元二次方程的解法（第4课时 一元二次方程根的判别式）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过复习公式法中b²-4ac的计算步骤，结合配方法推导求根公式的过程引出判别式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解Δ与根的三种关系。 其亮点在于以推导过程培养推理意识，分层次练习提升应用能力，归纳四步判断法强化抽象能力。如例1判断根的情况，例2求参数范围，随堂练习证明系数异号规律，小结简洁明了。助力学生逻辑思维和应用能力提升，为教师提供清晰教学流程和丰富资源。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 第4课时 一元二次方程根的判别式 章节导读 21.1认识一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 公式法 因式分解法 一元二次方程在利润等问题中应用 一元二次方程的认识 配方法 21.3实践与探索 直接开平方法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程在几何等问题中的应用 2 学 习 目 标 1 2 3 了解一元二次方程根的判别式； 能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况； 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 复习回顾 公式法解一元二次方程的步骤： (1) 把方程化为一般形式，确定 的值； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 新知探究 根的判别式 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 探索 如果会怎样？ . 当 时，直接开平方，得 . 在实数范围内，负数没有平方根，所以无意义 新知探究 根的判别式 也就是说，只有当一元二次方程 的系数 满足条件时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 观察与思考 与的关系，有几种情况呢？ 情况1 情况2 情况3 新知探究 根的判别式 观察方程： .对应也有三种情况： 情况1 当时， 情况2 情况3 当时， 当时， 上式的右边是一个正数，它 有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： ＝ ， ＝. 上式的右边是0，因此方程有两个相等的实数根： x1 = x2 =－ . 上式的右边是一个负数，而对于任何实数 ，方程左边，因此方程没有实数根（也叫做无解）. 根的判别式：式子叫做一元二次方程 根的判别式. 通常用符号“”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况： 归纳总结 根的判别式 归纳总结 的大小 方程 的根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 反之，同样成立哦！ 典例分析 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： ；； 解：（1）原方程可变形为 . 因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. 利用根的判别式判断方程根的情况 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. 典例分析 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： ；； (2)因为， 所以该方程有两个相等的实数根； 利用根的判别式判断方程根的情况 你能总结利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤。 (3)原方程可变形为， 因为， 所以方程没有实数根. 利用根的判别式判断方程根的情况的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三算：将的值代入计算的值； (4) 四判：根据Δ的值与0的大小，判断一元二次方程根的情况. 利用根的判别式判断方程根的情况 新知探究 已知关于的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 取何值时，方程没有实数根？ 确定方程中未知字母的值或取值范围 试一试 解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 当 16k + 9 > 0，即 k > － 时，方程有两个不相等的实数根. 当 16k + 9 = 0，即 k = － 时，方程有两个相等的实数根. 当 16k + 9 < 0，即 k < － 时，方程没有实数根. 由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1)首先要判断是否一定是一元二次方程（如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0 ）； (2)确定判别式； (3)根据条件列不等式； (4)解不等式. 确定方程中未知字母的值或取值范围 典例分析 例2 若关于 的一元二次方程 有实数根． 求 的取值范围. 确定方程中未知字母的值或取值范围 解：化为一般式，得 ，且 . 解得且 注意： 有实数根分为两种情况：有两个不相等实数根和有两个相等实数根，计算根的判别式时注意区分哦。 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) 解：(1)先化为一般形式: 3x2＋5x－ 4 =0， 这里a＝3， b＝5， c＝－4 ∴Δ＝52－4×3×(－4) ＝25＋48 ＝ 73>0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (2)先化为一般形式: x2－2x＋2 =0， 这里a＝1， b＝－2， c＝2 ∴Δ＝(－2) 2－4×1×2 ＝4－8 ＝ －4＜0； ∴这个方程没有实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (3)先化为一般形式: 4y2－4y＋1 =0， 这里a＝4， b＝－4， c＝1 ∴Δ＝(－4) 2－4×1×1 ＝16－16 ＝ 0； ∴这个方程有两个相等的实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (4)先化为一般形式: 2x2－x＋2 =0， 这里a＝2， b＝－1， c＝2 ∴Δ＝(－1) 2－4×2×2 ＝1－16 ＝ －15 ＜0 ； ∴这个方程没有实数根. 随堂练习 2.小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根:若一元二次方程的系数异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他的说法是否正确?为什么? 基础过关(P33) 解：正确。 证明：对于一元二次方程，判别式为： ∵异号，即, ∵ 是一个数的平方， ∴ 0. ∴ Δ＝ ∴方程一定有两个不相等的实数根，小明的说法是正确的。 ∴ 随堂练习 3.若关于的一元二次方程的根的判别式的值为4,则的值为 . 能力提升 解：由, 解得 随堂练习 能力提升 4．已知关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，求的取值范围。 又因为方程有两个不相等的实数根， 解：因为方程为一元二次方程 综上所述： 课堂小结 ＞0 一元二次方程根的判别式 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 =0 ＜0 方程没有实数根 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $