第07讲 带电粒子在电场中的运动（暑假预习举一反三讲义）新高二物理人教版必修第三册

第07讲 带电粒子在电场中的运动 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+7个题型）+暑假作业】 【情景引入】 生活中电视机显像管、示波器、粒子加速器，都有一个共同的原理：利用电场控制带电粒子的运动。 我们知道，电场对放入其中的电荷会产生电场力。那么当带电粒子进入电场后，在电场力的作用下，它的速度、轨迹会发生怎样的改变？如果粒子初速度与电场方向一致，会做加速运动；如果相互垂直，又会发生偏转。 今天我们就来探究带电粒子在电场中的加速与偏转规律，揭开各类电学仪器的工作核心原理。 【知识点1】带电粒子的加速 1．基本粒子的受力特点：对于质量很小的基本粒子，如电子、质子等，虽然它们也会受到万有引力(重力)的作用，但万有引力(重力)一般远远小于静电力，可以忽略不计． 2．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用动能定理分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v，下列说法正确的是（　　） A．M板带负电、N板带正电 B．若增大U，粒子在两板间的运动时间减少 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 【变式1-1】（2026·江苏苏州·三模）如图所示，相互平行的水平金属板、、分别与两个相同的电源相连，、两板上开的小孔在同一竖直线上。一电子从靠近板的位置由静止开始运动，恰好能到达板，不计电子重力。将板上移至水平虚线处，由处静止释放的电子（　　） A．到达板时速度减小 B．能穿过板上的小孔 C．到达板的时间不变 D．到达板的时间增大 【变式2-1】（2026·安徽亳州·模拟预测）中国聚变工程BEST装置（“人造太阳”）预计在2027年建成，在“人造太阳”（托卡马克装置）前端直线加速系统实验中，采用平行极板加速器形成匀强电场来加速带电粒子。其基本原理如图所示，真空中两块平行极板正对放置，极板的正中央各有一小孔，某次带正电粒子p从左侧正极板小孔由静止出发，直线加速后从右侧极板小孔离开，不计粒子所受重力，若保持两板间电压恒定，将两板间距离增大到原来的2倍，相同粒子p仍从左侧正极板小孔由静止出发，则（　　） A．板间电场强度变为原来2倍 B．粒子p在电场中的加速时间变为原来2倍 C．粒子p在电场中的加速度变为原来2倍 D．粒子p出右侧极板时速度变为原来2倍 【知识点2】 带电粒子在匀强电场中的偏转 质量为m、带电量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，板间距离为d，板间电压为U. 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为v0的匀速直线运动． (2)垂直v0的方向上：初速度为零，加速度为a＝的匀加速直线运动． 2．运动规律 (1)偏移距离：因为t＝，a＝，所以偏移距离y＝at2＝. (2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tan θ＝＝. 【例2】（25-26高一下·辽宁抚顺·期末）某种负离子空气净化原理如图所示，由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不计空气阻力，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。其中，质量为m、电荷量为的颗粒从上极板左边缘进入，刚好可以被收集器收集到。 (1)求两金属板间的电压； (2)求这个颗粒的速度偏向角 （可用表示）； 【变式2-1】（25-26高一下·贵州·期末）XCT扫描是临床医学重要的检测手段，可精准探测人体病灶位置与形态。如图为XCT机产生X射线的核心装置简化示意图：M、N极板间为加速电场，右侧虚线框区域S为竖直方向上的匀强偏转电场。工作时，电子由静止开始在加速电场中加速，沿水平方向进入偏转电场，出偏转电场后沿直线运动打在右侧圆形靶台的中心P点，高速电子轰击靶台即可产生X射线。已知电子的质量为m、电荷量为e，MN两端的电压的绝对值为，偏转电场区域水平宽度为，偏转电场强度，P点距离偏转电场右边界的水平距离为L，全程真空环境，忽略电子重力及电子间的相互作用。求： (1)电子刚进入偏转电场时速度的大小； (2)打在P点的电子束偏离原水平方向的竖直高度H。 【变式2-2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图所示，一个电荷量大小为、质量为的电子由静止释放，经电压为的电场加速后，垂直进入A、B两极板间的匀强电场，并能从右侧射出电场。A、B两极板的间距为，板长为，极板间的电压为。电子重力及电场边界效应不计，求： (1)电子射出加速电场时的速度v0； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移量y。 【知识点3】 示波器 1．构造 示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和荧光屏组成． 甲　示波管的结构　　　乙　荧光屏 2．原理 (1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压． (2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转极板上加一个信号电压，在X偏转极板上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图象． 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示，如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（  ） A．极板X应带负电 B．极板X′应带正电 C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电 【变式3-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）如图所示为由加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图。忽略电子重力，下列说法正确的是（　　） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向 B．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场也可使电子的速度增大 C．水平偏转板间的电场可以让电子上下偏转 D．荧光屏上不能产生倾斜亮线 【变式3-2】（2025·河南南阳·模拟预测）加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图如图所示。忽略电子重力，下列说法错误的是（    ） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向但不改变速度的大小 B．荧光屏上可以产生倾斜亮线 C．若、的电势均低于Y、X的电势，则电子打在XOY区域 D．水平偏转电场可使电子做匀变速曲线运动 【例4】（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图所示，一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子在方向水平向右的匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°，运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°，大小也为v0，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（     ） A．粒子受到的重力可忽略不计 B．粒子运动的加速度为g C．从A点到B点，粒子的速度先减小后增大 D．该匀强电场的电场强度大小为 【变式4-1】（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为 一个电荷量为q（q>0）、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（     ） A．小球到达圆周上N点时动能最小 B．小球在M点的电势能最小、机械能最大 C．小球在K点的电势能与动能之和最小 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【变式4-2】（2026·四川绵阳·三模）竖直放置的带电平行金属板之间的电场可以看成是匀强电场，现有一带电小球从两带电平行金属板中的点竖直向上抛出，其运动轨迹如图所示，其中、两点在同一水平线上，点为轨迹的最高点，不计空气阻力，则（    ） A．小球从到的时间小于到的时间 B．小球从到的动量变化量等于到的动量变化量 C．小球从到的电势能变化量只有到的电势能变化量的一半 D．小球从到的过程中，经点时为速度最小值 【例5】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，水平面存在水平向左的匀强电场。一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直至细线与场强方向平行，然后无初速度静止释放。已知小球摆到最低点的另一侧，细线与竖直方向的最大夹角为30°，重力加速度为g，则小球经过最低点时细线对小球的拉力为（     ） A．（）mg B．（）mg C．（）mg D．（）mg 【变式5-1】（2026·河南开封·模拟预测）如图所示，在竖直平面内，倾角为的倾斜直轨道与光滑的圆弧轨道BCDE相切于B点，O为圆弧的圆心，半径，E、O、C在同一水平线上，整个绝缘轨道处在平行于倾斜轨道向下的匀强电场中。现有一质量的带正电小球（可视为质点）从直轨道上的A点由静止释放，已知A、B间距离为，小球受到的电场力大小为4N，小球与倾斜直轨道间的动摩擦因数为，取。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点的速度大小为 B．小球到达圆弧轨道上点时对轨道的压力大小为 C．若小球能从点离开圆弧轨道，则小球在圆弧轨道上运动过程中的最小速度为 D．若小球能从点离开圆弧轨道，则小球在斜面上的释放点距点至少为 【变式5-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图甲所示，绝缘水平面与竖直面内光滑绝缘圆弧轨道相切于P点。M为圆弧轨道最高点，且空间存在竖直向上的匀强电场。在水平地面上并排放置、B两个物块，两物块质量均为1kg，A与地面间动摩擦因数，B与地面间无摩擦。A不带电，B带正电，且静电力与B的重力大小相等。两物块在水平外力F作用下向右运动，F随位移x的变化图像如图乙所示，两物块可看成质点，初始时水平地面上A、B与P点间的距离等于4m，重力加速度。则（　　） A．时，A与B间弹力为1N B．B运动到P点的速度为4m/s C．B在圆弧轨道运动时，对轨道的压力与半径成反比 D．只有当时，B才能到达M点 【例6】（2026·陕西榆林·模拟预测）电场强度大小为的匀强电场的方向斜向右下方且与水平方向成的角，用轻质绝缘细线将质量为的带电小球（视为质点）悬挂在天花板上，带电小球处于静止状态时，细线与天花板间成角。已知重力加速度为，，，则下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．小球所受的电场力大小为 C．轻质细线的拉力大小为 D．小球带电量的绝对值为 【变式6-1】（23-24高一下·河北石家庄·期末）如图所示，匀强电场水平向左，绝缘细线长为，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度 B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大又减小 【变式6-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，在匀强电场中，把一个质量为m、电荷量为的小球放在倾角为的光滑斜面上，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．为使小球静止在斜面上，电场强度的方向只能竖直向上 B．为使小球静止在斜面上，电场强度的最小值为 C．若电场方向水平向右，则带电小球的加速度方向可能沿斜面向上 D．若电场方向水平向左且大小为，则带电小球的加速度大小为 【例7】（25-26高一下·湖南长沙·期末）离子阱是目前实现通用量子计算最成熟的技术路线之一，通过电场精准操控带电离子的运动状态，实现量子比特的初始化、操控与读取。某线性离子阱的离子输运系统原理如图所示，钙离子（质量为m、电荷量为q，）从离子阱囚禁区a点由静止释放，经势垒电压为U的加速电场输运后，由通道口b点垂直进入水平偏转电场。偏转电场由平行极板MN、PQ产生，两极板间距为d，电场方向水平向右。离子最终从量子比特加载区所在平面MN上的囚禁点c（图中未画出）离开偏转电场，此时其速度方向与电场方向成45°角，这是保证离子精准囚禁的设计要求。不计离子重力及相对论效应，求： (1)钙离子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)钙离子在水平匀强电场中的加速度大小a； (3)通道口b与囚禁点c之间的电势差。 【变式7-1】（25-26高一下·陕西·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴正方向的匀强电场，第二象限内、两个平行金属板之间的电压为，一质量为、电荷量带负电的粒子（不计粒子重力）从靠近板的点由静止开始做加速运动，从轴正半轴的点进入电场，此时速度与轴负方向的夹角，经电场偏转后从点垂直轴进入第四象限。求： (1)粒子运动到点时的速度大小； (2)第一象限内电场强度的大小； (3)粒子运动到点时的速度大小和粒子从点运动到点的时间。 【变式7-2】（25-26高一下·河北邯郸·期末）一比荷为的带正电粒子从点由静止释放，经电压为的电场加速后垂直进入如图所示的有界匀强偏转电场中，最终从偏转电场边界上的点（图中未画出）射出。粒子离开偏转电场时速度方向与射入偏转电场时速度方向的夹角为。已知偏转电场的电场强度大小为，不计粒子重力及空气阻力。求： (1)带电粒子离开有界偏转电场时的速度大小； (2)点与点间的电势差； (3)有界匀强偏转电场的宽度。 一、单选题 1．（25-26高二下·四川·期末）如图为密立根油滴实验示意图，两块水平放置的平行金属板分别与电源的正、负极相接。用一个喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，绝大多数油滴从喷口出来时由于摩擦而带负电。油滴进入电场时的初速度、油滴间的相互作用及空气对油滴的浮力均忽略不计。下列说法正确的是（     ） A．油滴所受电场力方向一定竖直向下 B．若某油滴向下加速运动，则该油滴电势能一定减小 C．若某油滴悬浮不动，仅增加板间距离，则该油滴向下运动 D．若某油滴悬浮不动，断开电源与金属板的连接，仅减小板间距离，则该油滴向上运动 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 3．（25-26高二下·浙江舟山·期末）示波管的内部结构如图甲所示，如果在偏转电极、都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心。如果在偏转电极之间和之间加上图（1）、（2）、（3）、（4）所示的几种电压，荧光屏上可能会出现如图乙所示的（a）、（b）两种波形，则下列说法正确的是（　　） A．若和分别加电压（3）和（2），荧光屏上将出现图乙中（b）所示波形 B．若和分别加电压（2）和（1），荧光屏上将出现图乙中（a）所示波形 C．若和分别加电压（1）和（3），荧光屏上将出现图乙中（a）所示波形 D．若和分别加电压（2）和（4），荧光屏上将出现图乙中（b）所示波形 4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）我国科学家侯建国院士团队成功研制出高分辨透射电子显微镜，其核心部件电子偏转系统工作原理简化为如图所示：电荷量为q、质量为m的电子束以初速度水平射入平行板电容器。极板间电压为U，板长为L，间距为d，忽略重力和电子间相互作用。已知电子离开偏转系统时动能增量为，偏转距离为y，对于可以飞出电场的电子，下列选项正确的是（     ） A．若仅将初速度v0减小为原来的一半，则y变为原来的4倍，变为原来的4倍 B．若仅将电压U增大为原来的2倍，则y变为原来的2倍，变为原来的2倍 C．若仅将板长L增大为原来的2倍，则y变为原来的2倍，变为原来的4倍 D．若仅将板间距d减小为原来的一半，则y变为原来的2倍，变为原来的2倍 5．（2026·河南平顶山·三模）如图所示，两组平行板电容器垂直放置于同一竖直平面内，其中A、B间存在电势差为的加速电场，C、D间存在电势差为的偏转电场。现将氕（）、氘（）、氚（）、氦（）四个粒子从O点由静止释放，经A、B间电场加速后沿中线进入偏转电场，离开偏转电场时均未碰到极板。若忽略粒子间相互作用及粒子重力，则离开电场时速度相同的粒子是（     ） A．、 B．、 C．、 D．、 6．（2026·云南·高考真题）如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示的电路中，保持A、B两极板水平，闭合开关S，一带电小球恰好在两极板间静止，现仅将两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带正电 B．小球仍静止 C．小球向上做加速运动 D．小球的加速度大小为 8．（2026·北京昌平·二模）如图所示，两块平行金属薄板A、B与恒压电源连接，两板中央各有一小孔，小孔分别位于M、N点，有一带电粒子在A板上方的O点由静止释放，粒子到达N点时速度恰好为零。M、N、O在同一竖直线上。不计空气阻力和电场的边缘效应。现将B板向下平移至N′点，在O点由静止释放的该粒子（　　） A．运动到N点返回 B．运动到N和N′点之间返回 C．运动到N′点返回 D．穿过N′点 9．（2026·北京丰台·二模）一质量为m、电荷量为q的试探电荷在某匀强电场中运动，仅在静电力的作用下由a运动到b（运动轨迹在竖直面内），所用时间为t，其在a点和b点的速度大小均为2v，速度方向如图中箭头所示。虚线代表水平方向。则（　　） A．小球从a运动到b的过程中，电势能先减小再增大 B．电场强度方向与a、b连线平行 C．a、b之间的距离为vt D．电场强度的大小为 10．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，竖直面内有一圆形区域，半径为。、分别是圆的水平方向和竖直方向直径。空间存在平行于圆形区域的匀强电场。的中点是圆周上电势最低的点。质量为，电荷量为（）的小球从点以相同的速率向竖直面内各个方向发射，重力加速度为，下列说法中正确的是（     ） A．电场沿方向 B．电势差 C．小球加速度大小可能为 D．小球到达点的动能为 二、多选题 11．（25-26高一下·辽宁抚顺·期末）如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为。重力加速度大小为g，，，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能增加 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 12．（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图所示，竖直平面内长为L、不可伸长的轻质绝缘细线一端固定于O点，另一端连接一带电小球。小球带电荷量为+q，质量为m，空间存在平行于竖直平面的匀强电场（图中未画出），小球可在竖直平面内做圆周运动，A与O点等高。现将小球从最低点由静止释放，其运动至A点时细线突然断裂，此后小球以方向水平向左、大小为g的加速度做类平抛运动。重力加速度为g。则下列说法正确的是（     ） A．电场方向水平向左 B．电场强度大小为 C．细线断裂前瞬间小球的速度大小为 D．若细线未断，小球不能运动到最高点 13．（25-26高一下·山东青岛·期末）如图所示，为直角三角形，边长为，边长为，为边的中点，所在的竖直平面内存在匀强电场。一质量为电荷量绝对值为的带电小球以的初动能从点沿不同方向抛出，第一次抛出经过点时的动能为，第二次抛出经过点的动能为，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．到的过程，电场力做功为 B．到过程和到过程电场力做功相等 C．电场方向与垂直 D．电场强度大小为 14．（25-26高二下·贵州黔南·期末）高层建筑屋顶通常安装有避雷针，如图1，某时刻避雷针周围的等势面如图2所示，若一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹为图中虚线所示，则（　　） A．粒子带负电 B．带电粒子在A点的动能大于在B点的动能 C．C点的电场强度比D点的电场强度小 D．比较C、D两点，C点更接近避雷针尖端 15．（25-26高一下·广东佛山·期末）如图所示，一平行板电容器由两块水平放置的金属板M、N构成，板间距为d，通过开关与可调电压源相连。闭合开关，当板间电压调到U时，板间的带电油滴恰能处于静止状态。已知油滴的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．油滴的电荷量为 B．当板间电压调小时，该电容器的电容变小 C．断开开关后，若将N板向右移动一小段距离，则油滴将向上运动 D．断开开关后，若将N板向上移动一小段距离，则油滴将向上运动 三、解答题 16．（25-26高二下·江西宜春·期末）如图所示，粒子源产生质量为m、电荷量为q的正粒子漂入（初速度很小，可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿正对放置的平行金属板的中心线射入偏转电场，板长为L，相距为两板间电压为板带正电，B板带负电，不计粒子重力及相互作用，以S为坐标原点、的中心线为x轴建立如图所示的直角坐标系。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)写出粒子在偏转电场中的运动轨迹方程； (3)若粒子从B板右边缘点射出偏转电场，求应满足的条件。 17．（25-26高一下·广西桂林·期末）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，如图。来自质子源的质子（初速度为零）经加速电场加速后，沿图中四分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P点竖直向上进入存在水平向右匀强电场的圆形区域，最终轰击位于圆上Q点的肿瘤细胞。已知加速电场的加速电压为U，四分之一圆弧虚线处的场强方向沿半径指向圆心O，圆心与OP相切于P点，OP=R0，圆形区域的半径为R，Q点位于OP上方处，质子质量为m、电量为e。不计质子重力和质子间相互作用，求： (1)质子离开加速电场时的速度大小v； (2)四分之一圆弧虚线处辐向电场的场强大小E0； (3)圆形区域中匀强电场的场强大小E。 18．（25-26高一下·江西上饶·期末）能量分析器广泛应用于核聚变等前沿物理研究当中。其中普罗卡-格林平行板能量分析器，简化原理如图所示。正离子源（图中未画出）发出的离子，初速度可视为零，经电压为U0的加速电场加速后，在距离下极板y处从入射板狭缝入射，入射角θ为离子运动方向与下极板夹角，θ＝45°。离子沿虚线路径前进，穿过下极板左侧狭缝进入平行板间电场，并从下极板右侧狭缝射出平行板，最后在距离下极板y处被能量分析器接收板接收。其中正离子电荷量为q，质量为m。平行板间电压为U，极板间距为d。能量分析器中仅在两平行板间存在匀强电场，其他区域为无场区域，不计离子重力及离子间作用力。求： (1)离子进入狭缝的速度v0； (2)离子入射点与接收点水平距离x。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 带电粒子在电场中的运动 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+7个题型）+暑假作业】 【情景引入】 生活中电视机显像管、示波器、粒子加速器，都有一个共同的原理：利用电场控制带电粒子的运动。 我们知道，电场对放入其中的电荷会产生电场力。那么当带电粒子进入电场后，在电场力的作用下，它的速度、轨迹会发生怎样的改变？如果粒子初速度与电场方向一致，会做加速运动；如果相互垂直，又会发生偏转。 今天我们就来探究带电粒子在电场中的加速与偏转规律，揭开各类电学仪器的工作核心原理。 【知识点1】带电粒子的加速 1．基本粒子的受力特点：对于质量很小的基本粒子，如电子、质子等，虽然它们也会受到万有引力(重力)的作用，但万有引力(重力)一般远远小于静电力，可以忽略不计． 2．带电粒子加速问题的处理方法： ①利用动能定理分析．：初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝. ②在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析． 【例1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v，下列说法正确的是（　　） A．M板带负电、N板带正电 B．若增大U，粒子在两板间的运动时间减少 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 【答案】B 【详解】A．带正电的粒子从M板向N板加速，则M板带正电、N板带负电，A错误； BCD．根据，可知 则若增大U，粒子到达N板的速度v变大，整个过程的平均速度增加，则在两板间的运动时间减少，B正确，CD错误。 故选B。 【变式1-1】（2026·江苏苏州·三模）如图所示，相互平行的水平金属板、、分别与两个相同的电源相连，、两板上开的小孔在同一竖直线上。一电子从靠近板的位置由静止开始运动，恰好能到达板，不计电子重力。将板上移至水平虚线处，由处静止释放的电子（　　） A．到达板时速度减小 B．能穿过板上的小孔 C．到达板的时间不变 D．到达板的时间增大 【答案】C 【详解】A．电子从O到B板，根据动能定理 AB间电压始终为，因此到达B板的速度，A错误； B．对电子从O到C板全过程，动能定理 总功始终为0，因此电子到达C板时速度仍为0，恰好到达C板，不能穿过小孔，B错误； CD．AB段匀加速：加速度 位移 解得​​，即​与​成正比。 BC段匀减速：加速度大小 同理可得减速到0的时间，即与​成正比。 总时间，不变，因此总时间不变，C正确，D错误。 故选 C。 【变式2-1】（2026·安徽亳州·模拟预测）中国聚变工程BEST装置（“人造太阳”）预计在2027年建成，在“人造太阳”（托卡马克装置）前端直线加速系统实验中，采用平行极板加速器形成匀强电场来加速带电粒子。其基本原理如图所示，真空中两块平行极板正对放置，极板的正中央各有一小孔，某次带正电粒子p从左侧正极板小孔由静止出发，直线加速后从右侧极板小孔离开，不计粒子所受重力，若保持两板间电压恒定，将两板间距离增大到原来的2倍，相同粒子p仍从左侧正极板小孔由静止出发，则（　　） A．板间电场强度变为原来2倍 B．粒子p在电场中的加速时间变为原来2倍 C．粒子p在电场中的加速度变为原来2倍 D．粒子p出右侧极板时速度变为原来2倍 【答案】B 【详解】A．板间电场强度为可知，将两板间距离增大到原来的2倍，板间电场强度变为原来倍，故A错误； C．根据牛顿第二定律可得由A分析可知，板间电场强度变为原来倍，所以粒子p在电场中的加速度变为原来倍，故C错误； B．根据，整理可得 即粒子p在电场中的加速时间与两板间距离成正比，也变为原来2倍，故B正确； D．根据动能定理，解得 则粒子p出右侧极板时速度与两板间距离无关，即粒子p出右侧极板时速度不变，故D错误。 故选B。 【知识点2】 带电粒子在匀强电场中的偏转 质量为m、带电量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，板间距离为d，板间电压为U. 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为v0的匀速直线运动． (2)垂直v0的方向上：初速度为零，加速度为a＝的匀加速直线运动． 2．运动规律 (1)偏移距离：因为t＝，a＝，所以偏移距离y＝at2＝. (2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tan θ＝＝. 【例2】（25-26高一下·辽宁抚顺·期末）某种负离子空气净化原理如图所示，由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不计空气阻力，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。其中，质量为m、电荷量为的颗粒从上极板左边缘进入，刚好可以被收集器收集到。 (1)求两金属板间的电压； (2)求这个颗粒的速度偏向角 （可用表示）； 【答案】(1) (2)，斜向右下方 【详解】（1）水平方向有，竖直方向，根据牛顿第二定律 又，解得 （2） 设末速度与水平方向夹角为，则，解得，斜向右下方 【变式2-1】（25-26高一下·贵州·期末）XCT扫描是临床医学重要的检测手段，可精准探测人体病灶位置与形态。如图为XCT机产生X射线的核心装置简化示意图：M、N极板间为加速电场，右侧虚线框区域S为竖直方向上的匀强偏转电场。工作时，电子由静止开始在加速电场中加速，沿水平方向进入偏转电场，出偏转电场后沿直线运动打在右侧圆形靶台的中心P点，高速电子轰击靶台即可产生X射线。已知电子的质量为m、电荷量为e，MN两端的电压的绝对值为，偏转电场区域水平宽度为，偏转电场强度，P点距离偏转电场右边界的水平距离为L，全程真空环境，忽略电子重力及电子间的相互作用。求： (1)电子刚进入偏转电场时速度的大小； (2)打在P点的电子束偏离原水平方向的竖直高度H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）加速电场中，由动能定理可得，解得 （2）在偏转电场中水平方向，电子做匀速直线运动则有L0=v0t，竖直方向，根据牛顿第二定律可得 电子在竖直方向的速度vy=at 电子射出偏转电场时速度方向与水平方向夹角 电子在电场中偏转的位移 电子出偏转电场后的竖直方向位移，H=y+y2 解得 【变式2-2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图所示，一个电荷量大小为、质量为的电子由静止释放，经电压为的电场加速后，垂直进入A、B两极板间的匀强电场，并能从右侧射出电场。A、B两极板的间距为，板长为，极板间的电压为。电子重力及电场边界效应不计，求： (1)电子射出加速电场时的速度v0； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移量y。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，设电子在偏转电场中运动的时间为，加速度为，水平方向和竖直方向分别有，，根据牛顿第二定律有，联立解得 【知识点3】 示波器 1．构造 示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和荧光屏组成． 甲　示波管的结构　　　乙　荧光屏 2．原理 (1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压． (2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转极板上加一个信号电压，在X偏转极板上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图象． 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示，如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（  ） A．极板X应带负电 B．极板X′应带正电 C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电 【答案】C 【详解】如果在荧光屏上P点出现亮斑，可知电子分别向极板X和极板Y偏转，由于电子带负电，所以极板X应带正电，极板Y应带正电，则极板X′带负电，极板Y′带负电。 故选C。 【变式3-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）如图所示为由加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图。忽略电子重力，下列说法正确的是（　　） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向 B．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场也可使电子的速度增大 C．水平偏转板间的电场可以让电子上下偏转 D．荧光屏上不能产生倾斜亮线 【答案】B 【详解】 AB．加速电场对电子做正功，电子速度增大，偏转电场对电子的作用力与电子的初速度方向垂直，电子做类平抛运动，电子的速度也增大，故A错误，B正确； C．水平偏转板间的电场方向是水平的，对电子施加水平方向的电场力，能使电子在水平方向上发生偏转，不能使电子上下偏转，故C错误； D．如果在水平偏转板和竖直偏转板上同时施加合适的扫描电压，可以使电子束在荧光屏上沿任意倾斜方向移动，从而形成倾斜的亮线，故D错误。 故选B。 【变式3-2】（2025·河南南阳·模拟预测）加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图如图所示。忽略电子重力，下列说法错误的是（    ） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向但不改变速度的大小 B．荧光屏上可以产生倾斜亮线 C．若、的电势均低于Y、X的电势，则电子打在XOY区域 D．水平偏转电场可使电子做匀变速曲线运动 【答案】A 【详解】A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场不但改变速度的方向且能改变速度的大小，故A错误，符合题意； B．当电子枪源源不断的发出电子，在两偏转极板上加上合适的周期性电压，荧光屏上就可产生倾斜亮线，故B项正确，不符合题意； C．若、的电势均低于Y、X的电势，则偏向低电势极板，电子会打在XOY区域，故C正确，不符合题意； D．水平偏转电场提供的加速度不变，可使电子做类平抛运动即匀变速曲线运动，故D项正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选A。 【例4】（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图所示，一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子在方向水平向右的匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°，运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°，大小也为v0，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（     ） A．粒子受到的重力可忽略不计 B．粒子运动的加速度为g C．从A点到B点，粒子的速度先减小后增大 D．该匀强电场的电场强度大小为 【答案】C 【详解】A．若重力可忽略不计，粒子在竖直方向不受力，竖直分速度应保持不变，即，显然不成立，故重力不可忽略，A错误； B．将粒子在A、B两点的速度分解，在A点有， 在B点有，，竖直方向只受重力，做匀减速运动，有 解得，水平方向受电场力，做匀加速运动，有 解得 由此可得水平加速度 合加速度，故B错误； C．粒子所受电场力水平向右，大小为 重力竖直向下，大小为，合力方向与水平方向成45°角斜向右下方。A点速度方向与水平方向成60°角斜向右上方，合力与速度夹角为105°，大于90°，粒子做减速运动；B点速度方向与水平方向成30°角斜向右上方，合力与速度夹角为75°，小于90°，粒子做加速运动，故从A点到B点，粒子的速度先减小后增大，C正确； D．由 可得该匀强电场的电场强度大小为，故D错误。 故选C。 【变式4-1】（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为 一个电荷量为q（q>0）、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（     ） A．小球到达圆周上N点时动能最小 B．小球在M点的电势能最小、机械能最大 C．小球在K点的电势能与动能之和最小 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【答案】B 【详解】A．对小球受力分析：重力竖直向下，电场力 方向斜向右上。将电场力分解，水平分量 水平向右；竖直分量 竖直向上，与竖直向下的重力抵消。因此总合力为水平向右的恒力 加速度 水平向右。根据动能定理，初动能相同，合外力水平向右，点是圆周最右端，从到合外力做正功最多，动能最大，故A错误； B．正电荷电势能，沿电场线方向电势降低，电场方向斜向右上，点沿电场方向最远，电势最低，因此正电荷在点电势能最小；机械能变化等于电场力做功，电场力对运动到点的小球做功最多，因此小球在点机械能最大，故B正确； C．小球在运动过程中，只有重力和电场力做功，所以小球的动能、重力势能和电势能之和不变，小球在点时，重力势能最小，所以小球在点的电势能和动能之和最大，故C错误； D．小球在水平方向受恒力，做匀加速直线运动 对于圆周上关于水平直径PN对称的两个点，其竖直坐标y互为相反数，水平坐标x相同。若小球以关于水平方向对称的角度发射（即互为相反数，相同），则到达这两个对称点的时间t相同，故D错误。 故选B。 【变式4-2】（2026·四川绵阳·三模）竖直放置的带电平行金属板之间的电场可以看成是匀强电场，现有一带电小球从两带电平行金属板中的点竖直向上抛出，其运动轨迹如图所示，其中、两点在同一水平线上，点为轨迹的最高点，不计空气阻力，则（    ） A．小球从到的时间小于到的时间 B．小球从到的动量变化量等于到的动量变化量 C．小球从到的电势能变化量只有到的电势能变化量的一半 D．小球从到的过程中，经点时为速度最小值 【答案】B 【详解】AB．小球在竖直方向上先做竖直上抛运动，上至最高点以后做自由落体运动，因为在同一水平线上，所以小球上升和下降的过程用时相等，合外力冲量相等，动量变化量相等，故A错误，B正确； C．小球在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，因为和的运动时间相等，根据初速度为0的匀加速直线运动推论可知，从到的水平位移与从到的水平位移之比为 则从到电场力做功与从到电场力做功之比为 小球从到的电势能变化量与从到的电势能变化量之比为，故C错误； D．如图所示：由受力分析可知，开始时合力与初速度成钝角，速度减小，当二者垂直时，取得速度最小值，即轨迹切线与合力方向垂直时，该点在左侧，故D错误。 故选B。 【例5】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，水平面存在水平向左的匀强电场。一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直至细线与场强方向平行，然后无初速度静止释放。已知小球摆到最低点的另一侧，细线与竖直方向的最大夹角为30°，重力加速度为g，则小球经过最低点时细线对小球的拉力为（     ） A．（）mg B．（）mg C．（）mg D．（）mg 【答案】B 【详解】设细线长为，由动能定理可知 解得电场力大小为，方向水平向右。 设小球摆到最低点时速度大小为由动能定理 在最低点 拉力大小 故选B。 【变式5-1】（2026·河南开封·模拟预测）如图所示，在竖直平面内，倾角为的倾斜直轨道与光滑的圆弧轨道BCDE相切于B点，O为圆弧的圆心，半径，E、O、C在同一水平线上，整个绝缘轨道处在平行于倾斜轨道向下的匀强电场中。现有一质量的带正电小球（可视为质点）从直轨道上的A点由静止释放，已知A、B间距离为，小球受到的电场力大小为4N，小球与倾斜直轨道间的动摩擦因数为，取。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点的速度大小为 B．小球到达圆弧轨道上点时对轨道的压力大小为 C．若小球能从点离开圆弧轨道，则小球在圆弧轨道上运动过程中的最小速度为 D．若小球能从点离开圆弧轨道，则小球在斜面上的释放点距点至少为 【答案】D 【详解】A．小球在从A运动到B点的过程应用动能定理，有 代入数据可解得，故A错误； B．在B点处，小球的向心力为 解得轨道对小球的弹力为 所以小球对轨道的压力大小也为，故B错误； C．小球受到的电场力与重力大小相等，夹角为60°，可求得二者的合力方向与竖直方向成30°，大小为 运动中速度最小的点位于轨道左上方与OD方向成30°的位置，此时有 解得最小速度为，故C错误； D．同样应用动能定理，有 解得 即至少应从离B点8m远处释放小球，小球才能从E点离开圆轨道，故D正确。 故选D。 【变式5-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图甲所示，绝缘水平面与竖直面内光滑绝缘圆弧轨道相切于P点。M为圆弧轨道最高点，且空间存在竖直向上的匀强电场。在水平地面上并排放置、B两个物块，两物块质量均为1kg，A与地面间动摩擦因数，B与地面间无摩擦。A不带电，B带正电，且静电力与B的重力大小相等。两物块在水平外力F作用下向右运动，F随位移x的变化图像如图乙所示，两物块可看成质点，初始时水平地面上A、B与P点间的距离等于4m，重力加速度。则（　　） A．时，A与B间弹力为1N B．B运动到P点的速度为4m/s C．B在圆弧轨道运动时，对轨道的压力与半径成反比 D．只有当时，B才能到达M点 【答案】C 【详解】A．由图可得，可知时，水平外力，对、B整体，由牛顿第二定律得 解得 对B，有 即A与B间弹力为零，故A错误； B．由A选项可知位移时，B的加速度为零，二者已分离，对整体由动能定理得 其中，解得 分离后B做匀速直线运动，到达P点速度的大小，故B错误； C．B在圆弧轨道运动时，B的静电力与B的重力大小相等，竖直方向合力为零，B做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得轨道对B的弹力 由牛顿第三定律知B对轨道的压力大小 可知对轨道的压力与半径成反比，故C正确； D．B在轨道内运动时等效重力为零，只要B有初速度就能通过最高M点，与半径无关，故D错误。 故选C。 【例6】（2026·陕西榆林·模拟预测）电场强度大小为的匀强电场的方向斜向右下方且与水平方向成的角，用轻质绝缘细线将质量为的带电小球（视为质点）悬挂在天花板上，带电小球处于静止状态时，细线与天花板间成角。已知重力加速度为，，，则下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．小球所受的电场力大小为 C．轻质细线的拉力大小为 D．小球带电量的绝对值为 【答案】B 【详解】A．对小球进行分析，为了使小球处于静止状态，小球所受合力为0，则小球所受电场力方向一定与电场方向相反，斜向左上方，可知，小球带负电，故A错误； BCD．对小球进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有， 解得，，，故B正确，CD错误。 故选B。 【变式6-1】（23-24高一下·河北石家庄·期末）如图所示，匀强电场水平向左，绝缘细线长为，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度 B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大又减小 【答案】D 【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球进行受力分析，如图所示 由平衡关系可得 解得，故A错误； B．小球静止时细线与竖直方向成角，则点为小球绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等效最高点，如图所示 点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可得 最小动能为，故B错误； C．由功能关系可知，小球机械能的变化量等于除重力之外的电场力做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C错误； D．小球从初始位置开始，在竖直平面内沿逆时针方向运动一周的过程中，电场力先做正功，再做负功，再做正功，所以电势能先减小，再增大，再减小，故D正确。 故选D。 【变式6-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，在匀强电场中，把一个质量为m、电荷量为的小球放在倾角为的光滑斜面上，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．为使小球静止在斜面上，电场强度的方向只能竖直向上 B．为使小球静止在斜面上，电场强度的最小值为 C．若电场方向水平向右，则带电小球的加速度方向可能沿斜面向上 D．若电场方向水平向左且大小为，则带电小球的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．小球静止在斜面上时，受向下的重力、斜面的支持力和电场力，由三力平衡可知，电场力的方向应该在重力和支持力的夹角的对角的范围内即可，即电场强度的方向不一定是竖直向上，A错误； B．当电场力方向沿斜面向上时电场力最小，场强最小，则为使小球静止在斜面上，则 解得电场强度的最小值为，B错误； C．若电场方向水平向右，则电场力水平向右，带电小球受合力沿斜面向下，则加速度方向沿斜面向下，C错误； D．若电场方向水平向左且大小为，则带电小球受电场力水平向左，根据牛顿第二定律可知，加速度大小为，D正确。 故选D。 【例7】（25-26高一下·湖南长沙·期末）离子阱是目前实现通用量子计算最成熟的技术路线之一，通过电场精准操控带电离子的运动状态，实现量子比特的初始化、操控与读取。某线性离子阱的离子输运系统原理如图所示，钙离子（质量为m、电荷量为q，）从离子阱囚禁区a点由静止释放，经势垒电压为U的加速电场输运后，由通道口b点垂直进入水平偏转电场。偏转电场由平行极板MN、PQ产生，两极板间距为d，电场方向水平向右。离子最终从量子比特加载区所在平面MN上的囚禁点c（图中未画出）离开偏转电场，此时其速度方向与电场方向成45°角，这是保证离子精准囚禁的设计要求。不计离子重力及相对论效应，求： (1)钙离子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)钙离子在水平匀强电场中的加速度大小a； (3)通道口b与囚禁点c之间的电势差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）钙离子在加速电场中由静止加速，根据动能定理有 解得 （2）设水平匀强电场的电场强度大小为，根据牛顿第二定律有 钙离子进入偏转电场后做类平抛运动，沿竖直方向做匀速直线运动，沿水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，设在偏转电场中的运动时间为，离开偏转电场时的水平速度大小为，根据题意竖直方向位移为，分别有， 由题意可知离开电场时速度方向与电场方向成角，有 联立解得 （3）钙离子从通道口运动到囚禁点的过程中，只有电场力做功，根据动能定理有 设钙离子在点的速度大小为，根据速度的合成有 由第二问的分析可知，联立解得 【变式7-1】（25-26高一下·陕西·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴正方向的匀强电场，第二象限内、两个平行金属板之间的电压为，一质量为、电荷量带负电的粒子（不计粒子重力）从靠近板的点由静止开始做加速运动，从轴正半轴的点进入电场，此时速度与轴负方向的夹角，经电场偏转后从点垂直轴进入第四象限。求： (1)粒子运动到点时的速度大小； (2)第一象限内电场强度的大小； (3)粒子运动到点时的速度大小和粒子从点运动到点的时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第二象限的加速电场中，由动能定理 解得 （2）粒子从 点进入第一象限，速度与 轴负方向夹角为 ，故在 点，即 粒子带负电，电场沿 轴正方向，故粒子所受电场力沿 轴负方向， 方向做匀减速运动， 方向做匀速运动。 到 点时，粒子垂直 轴进入第四象限，即 点速度沿 轴负方向， 方向速度为零。 在 方向，由运动学公式 得 代入 ， 得，即 （3）由（2）分析知， 点速度 从 到 的时间 【变式7-2】（25-26高一下·河北邯郸·期末）一比荷为的带正电粒子从点由静止释放，经电压为的电场加速后垂直进入如图所示的有界匀强偏转电场中，最终从偏转电场边界上的点（图中未画出）射出。粒子离开偏转电场时速度方向与射入偏转电场时速度方向的夹角为。已知偏转电场的电场强度大小为，不计粒子重力及空气阻力。求： (1)带电粒子离开有界偏转电场时的速度大小； (2)点与点间的电势差； (3)有界匀强偏转电场的宽度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在加速电场中运动过程，由动能定理得     进入偏转电场后做类平抛运动，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做匀加速直线运动，且离开电场时出射速度方向与入射速度方向的夹角为，有     已知，解得 （2）从点开始加速到点离开偏转电场，由动能定理得     解得 则点与点间的电势差 （3）带电粒子在偏转电场中运动时，沿电场方向做初速度为0的匀加速直线运动，有     竖直方向的速度为     根据牛顿第二定律有 垂直于电场方向做匀速直线运动，有     解得 一、单选题 1．（25-26高二下·四川·期末）如图为密立根油滴实验示意图，两块水平放置的平行金属板分别与电源的正、负极相接。用一个喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，绝大多数油滴从喷口出来时由于摩擦而带负电。油滴进入电场时的初速度、油滴间的相互作用及空气对油滴的浮力均忽略不计。下列说法正确的是（     ） A．油滴所受电场力方向一定竖直向下 B．若某油滴向下加速运动，则该油滴电势能一定减小 C．若某油滴悬浮不动，仅增加板间距离，则该油滴向下运动 D．若某油滴悬浮不动，断开电源与金属板的连接，仅减小板间距离，则该油滴向上运动 【答案】C 【详解】A．油滴带负电，电场方向竖直向下，则油滴所受电场力方向竖直向上，故A错误； B．油滴向下运动时，电场力向上，电场力做负功，电势能增加，故B错误； C．油滴悬浮时受力平衡，即 金属板始终接电源，板间电压不变，由可知，增加板间距后场强减小，油滴所受电场力小于重力，则该油滴向下运动，故C正确； D．断开电源后，极板所带电荷量不变，由，， 可得 所以，电场强度与板间距无关，减小后不变，仍满足 则油滴保持静止，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 【答案】D 【详解】A．由电路连接可知，间和间的电压相等，都等于电源电动势，电场方向相反。粒子从由静止释放，根据动能定理，得，故A错误； B．A板左移时，间电压仍为，总功为，粒子刚好到达板（速度为），故B错误； C．粒子在AB间做匀加速直线运动，由动能定理得 因此不管AB间距如何变化，粒子到达B板的速度恒定；AB段平均速度为 设AB间距为，得运动时间 BC段粒子做匀减速直线运动，到C板时末速度为0，平均速度为 设BC间距为得运动时间 总时间，B板右移时，增大、减小，总间距（A到C的距离）不变，因此总时间不变，故C错误； D．C板右移时，不变，增大，总间距增大，不变，因此总时间变长，故D正确。 故选D。 3．（25-26高二下·浙江舟山·期末）示波管的内部结构如图甲所示，如果在偏转电极、都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心。如果在偏转电极之间和之间加上图（1）、（2）、（3）、（4）所示的几种电压，荧光屏上可能会出现如图乙所示的（a）、（b）两种波形，则下列说法正确的是（　　） A．若和分别加电压（3）和（2），荧光屏上将出现图乙中（b）所示波形 B．若和分别加电压（2）和（1），荧光屏上将出现图乙中（a）所示波形 C．若和分别加电压（1）和（3），荧光屏上将出现图乙中（a）所示波形 D．若和分别加电压（2）和（4），荧光屏上将出现图乙中（b）所示波形 【答案】A 【详解】根据示波管原理，荧光屏上显示的是垂直偏转电压随水平偏转电压变化的曲线。 要得到图乙（a）所示的正弦波形，需在加锯齿波扫描电压（3），使其在轴左右移动；在加正弦信号（1），使其在轴正弦变化，合波形即为图乙（a）。 要得到图乙（b）所示的方波波形，需在加锯齿波扫描电压（3），使其在轴左右移动；在加方波信号（2），使其在轴呈固定值，合波形即为图乙（b）。 故选A。 4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）我国科学家侯建国院士团队成功研制出高分辨透射电子显微镜，其核心部件电子偏转系统工作原理简化为如图所示：电荷量为q、质量为m的电子束以初速度水平射入平行板电容器。极板间电压为U，板长为L，间距为d，忽略重力和电子间相互作用。已知电子离开偏转系统时动能增量为，偏转距离为y，对于可以飞出电场的电子，下列选项正确的是（     ） A．若仅将初速度v0减小为原来的一半，则y变为原来的4倍，变为原来的4倍 B．若仅将电压U增大为原来的2倍，则y变为原来的2倍，变为原来的2倍 C．若仅将板长L增大为原来的2倍，则y变为原来的2倍，变为原来的4倍 D．若仅将板间距d减小为原来的一半，则y变为原来的2倍，变为原来的2倍 【答案】A 【详解】电子在电场中做类平抛运动，平行于极板方向,有 垂直于极板方向,有 根据牛顿第二定律，有 联立解得 由动能定理可得 A．若仅将初速度v0减小为原来的一半，则y变为原来的4倍，变为原来的4倍，故A正确； B．若仅将电压U增大为原来的2倍，则y变为原来的2倍，变为原来的4倍，故B错误； C．若仅将板长L增大为原来的2倍，则y变为原来的4倍，变为原来的4倍，故C错误； D．若仅将板间距d减小为原来的一半，则y变为原来的2倍，变为原来的4倍，故D错误。 故选A。 5．（2026·河南平顶山·三模）如图所示，两组平行板电容器垂直放置于同一竖直平面内，其中A、B间存在电势差为的加速电场，C、D间存在电势差为的偏转电场。现将氕（）、氘（）、氚（）、氦（）四个粒子从O点由静止释放，经A、B间电场加速后沿中线进入偏转电场，离开偏转电场时均未碰到极板。若忽略粒子间相互作用及粒子重力，则离开电场时速度相同的粒子是（     ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【详解】粒子在加速度电场中做匀加速直线运动，进入CD电场中的初动能为 粒子出偏转电场时的动能为 在偏转电场中沿电场运动的距离为y，则（其中d为偏转电场两极板的距离） （其中l为偏转电场的长度） 联立解得 由此可得所有的粒子在偏转电场中偏转的距离y相同，故相同，，即比荷相同的粒子速度相同。 故选C。 6．（2026·云南·高考真题）如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 【答案】C 【详解】根据题意0 ~ 1s水平位移为0，可得v0x＋0.5ax = 0 竖直位移为3m，可得vy0＋0.5ay = 3 0 ~ 2s水平位移为3m，可得2v0x＋2ax = 3 竖直位移为0，可得2vy0＋2ay = 0 解得ax = 3m/s2，ay = －6m/s2 对小球受力分析有 代入数据得Ex = 3.0×105V/m，Ey = 4.0×105V/m 故电场强度大小 电场方向斜向上偏N侧，Ex > 0表明沿x轴正方向电势降低，故φO > φN。 故选C。 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示的电路中，保持A、B两极板水平，闭合开关S，一带电小球恰好在两极板间静止，现仅将两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带正电 B．小球仍静止 C．小球向上做加速运动 D．小球的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．由题图可知，A极板带正电，A、B两极板间的场强方向竖直向下。对小球进行受力分析可知，要想小球恰好在两极板间静止，其受到的电场力必须与重力等大反向，所以小球所受的电场力方向竖直向上。由于小球所受的电场力方向与A、B两极板间的场强方向相反，所以小球带负电，故A错误； BCD．设A、B两极板间的电势差为，两极板间的距离为，则当小球恰好在两极板间静止时，有 当两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角时，A、B两极板间的距离为 此时两极板间的场强大小为 其方向垂直于极板，与竖直方向的夹角为。对小球进行受力分析可知，此时小球所受电场力的方向垂直两极板斜向右上方，小球的受力分析如图所示： 将电场力沿着水平方向和竖直方向进行正交分解，则在竖直方向有 即小球在竖直方向上合外力仍然为0，在水平方向上有 解得小球在水平方向的加速度为 综上所述，当两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角时，小球将不再静止，将以的加速度水平向右加速运动，故BC错误，D正确。 故选D。 8．（2026·北京昌平·二模）如图所示，两块平行金属薄板A、B与恒压电源连接，两板中央各有一小孔，小孔分别位于M、N点，有一带电粒子在A板上方的O点由静止释放，粒子到达N点时速度恰好为零。M、N、O在同一竖直线上。不计空气阻力和电场的边缘效应。现将B板向下平移至N′点，在O点由静止释放的该粒子（　　） A．运动到N点返回 B．运动到N和N′点之间返回 C．运动到N′点返回 D．穿过N′点 【答案】D 【详解】根据动能定理可得 即 根据可知，B板向下平移至N′点时，AB板间电场强度减小，粒子运动到N点时，重力做功大于电场力做的功，所以粒子的动能不为零，粒子运动到N′点时，重力做功仍大于电场力做的功，所以粒子的动能不为零，粒子将穿过N′点。 故选D。 9．（2026·北京丰台·二模）一质量为m、电荷量为q的试探电荷在某匀强电场中运动，仅在静电力的作用下由a运动到b（运动轨迹在竖直面内），所用时间为t，其在a点和b点的速度大小均为2v，速度方向如图中箭头所示。虚线代表水平方向。则（　　） A．小球从a运动到b的过程中，电势能先减小再增大 B．电场强度方向与a、b连线平行 C．a、b之间的距离为vt D．电场强度的大小为 【答案】C 【详解】B．因小球在ab两点的速度大小相同，可知小球在ab两点的电势能相同，ab两点的电势相同，即ab为等势面，则电场强度方向与a、b连线垂直，方向斜向左下方，B错误； A．小球从a运动到b的过程中，电场力先做负功后做正功，则电势能先增大再减小，A错误； C．由对称性可知，ab连线与水平线的夹角为30°，小球沿ab方向做匀速运动，则a、b之间的距离为，C正确； D．沿场强方向由 解得，D错误。 故选C。 10．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，竖直面内有一圆形区域，半径为。、分别是圆的水平方向和竖直方向直径。空间存在平行于圆形区域的匀强电场。的中点是圆周上电势最低的点。质量为，电荷量为（）的小球从点以相同的速率向竖直面内各个方向发射，重力加速度为，下列说法中正确的是（     ） A．电场沿方向 B．电势差 C．小球加速度大小可能为 D．小球到达点的动能为 【答案】D 【详解】A．匀强电场中圆周上电势最低点M与最高点关于圆心O对称，电场线由高电势指向低电势，因此电场方向沿半径OM方向，而AM为弦，其方向与OM不同，A错误； B．设场强为，沿电场方向的距离满足。点和点相对于点，沿电场方向的投影大小相等、方向相反，即，B错误； C．小球受恒力作用，设水平加速度，竖直加速度 合加速度 由数学知识可知，a的最小值为，故加速度不可能为0.5g，C错误。 D．因AD两点电势相等，则从A到D电场力不做功，由动能定理，小球到达点的动能为，D正确； 故选D。 二、多选题 11．（25-26高一下·辽宁抚顺·期末）如图所示，长为l的绝缘细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A点，此时细线与竖直方向的夹角为。重力加速度大小为g，，，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．现用外力缓慢把小球拉到最低点，电势能增加 D．在最低点由静止释放小球，小球到达A点时细线的拉力大小为 【答案】AC 【详解】A．小球静止时细线向左偏，电场水平向右，故小球受到向左的电场力，它带负电，故A正确； B．对小球，由平衡条件有 解得，故B错误； C．拉到最低点的过程中，电场力做的功 该过程电场力做负功，电势能增加，故C正确； D．小球从最低点到A点，由动能定理有 代入数据得 在A点，对小球有 解得，故D错误。 故选AC。 12．（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图所示，竖直平面内长为L、不可伸长的轻质绝缘细线一端固定于O点，另一端连接一带电小球。小球带电荷量为+q，质量为m，空间存在平行于竖直平面的匀强电场（图中未画出），小球可在竖直平面内做圆周运动，A与O点等高。现将小球从最低点由静止释放，其运动至A点时细线突然断裂，此后小球以方向水平向左、大小为g的加速度做类平抛运动。重力加速度为g。则下列说法正确的是（     ） A．电场方向水平向左 B．电场强度大小为 C．细线断裂前瞬间小球的速度大小为 D．若细线未断，小球不能运动到最高点 【答案】BC 【详解】AB．断开细线后小球加速度水平向左，大小为；竖直方向加速度为0。 竖直方向合力为0，（竖直向上） 水平方向，（水平向左） 合电场强度： 电场方向：左上方与水平方向夹角，A错误，B正确； C．设最低点为初始位置，到A点竖直上升，水平向左位移，沿电场力方向上的位移。 电场力做功 重力做功 由动能定理 求得，C正确； D．若细线未断，假设小球能运动到圆周几何最高点（O正上方）。根据动能定理有 求得小球到达几何最高点时速度，小球恰好可以运动到几何最高点，D错误。 故选BC。 13．（25-26高一下·山东青岛·期末）如图所示，为直角三角形，边长为，边长为，为边的中点，所在的竖直平面内存在匀强电场。一质量为电荷量绝对值为的带电小球以的初动能从点沿不同方向抛出，第一次抛出经过点时的动能为，第二次抛出经过点的动能为，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．到的过程，电场力做功为 B．到过程和到过程电场力做功相等 C．电场方向与垂直 D．电场强度大小为 【答案】BD 【详解】A．到的过程，根据动能定理可得 解得电场力做功为，故A错误； B．到的过程，根据动能定理可得 解得电场力做功为 由于为边的中点，所以，根据可知，到过程电场力做功为 可知到过程和到过程电场力做功相等，故B正确； C．到过程和到过程电场力做功相等，则有 可知、两点电势相等，则连线为等势线，电场方向与垂直，故C错误； D．根据 解得 根据匀强电场电势差与场强关系，结合图中几何关系可得 解得电场强度大小为，故D正确。 故选BD。 14．（25-26高二下·贵州黔南·期末）高层建筑屋顶通常安装有避雷针，如图1，某时刻避雷针周围的等势面如图2所示，若一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹为图中虚线所示，则（　　） A．粒子带负电 B．带电粒子在A点的动能大于在B点的动能 C．C点的电场强度比D点的电场强度小 D．比较C、D两点，C点更接近避雷针尖端 【答案】AD 【详解】A．等势面电势由右向左降低，电场线垂直等势面并指向电势降低的方向，所以图中粒子所在区域电场方向大致向左；曲线运动的合力指向轨迹弯曲的内侧，由虚线轨迹可知电场力方向大致向右，与电场方向相反，因此粒子带负电，故A正确； B．从图中可知点比点靠近高电势区域，，粒子带负电，电势升高时电势能减小、动能增大，因此粒子在点的动能大于在点的动能，故B错误； C．等势面越密，电场强度越大，点附近等势面比点附近密集，所以点的电场强度大于点的电场强度，故C错误； D．避雷针尖端附近等势面更密集，由图可知点处在更内侧且等势面更密集的区域，点在外侧低电势等势面上，所以点更接近避雷针尖端，故D正确。 故选AD。 15．（25-26高一下·广东佛山·期末）如图所示，一平行板电容器由两块水平放置的金属板M、N构成，板间距为d，通过开关与可调电压源相连。闭合开关，当板间电压调到U时，板间的带电油滴恰能处于静止状态。已知油滴的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．油滴的电荷量为 B．当板间电压调小时，该电容器的电容变小 C．断开开关后，若将N板向右移动一小段距离，则油滴将向上运动 D．断开开关后，若将N板向上移动一小段距离，则油滴将向上运动 【答案】AC 【详解】A．油滴静止时，重力与电场力平衡： 整理得电荷量，故A正确； B．电容是电容器本身的固有属性，由决定式 可知，电容与板间电压无关，电压调小时电容不变，故B错误； C．断开开关后，电容器带电量保持不变。N板右移，正对面积减小，推导场强： 不变、减小，故增大，电场力 油滴向上运动，故C正确； D．断开开关后不变，N板上移，板间距减小，由上述 可知，与无关，保持不变，电场力仍等于重力，油滴保持静止，故D错误。 故选AC。 三、解答题 16．（25-26高二下·江西宜春·期末）如图所示，粒子源产生质量为m、电荷量为q的正粒子漂入（初速度很小，可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿正对放置的平行金属板的中心线射入偏转电场，板长为L，相距为两板间电压为板带正电，B板带负电，不计粒子重力及相互作用，以S为坐标原点、的中心线为x轴建立如图所示的直角坐标系。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)写出粒子在偏转电场中的运动轨迹方程； (3)若粒子从B板右边缘点射出偏转电场，求应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中由动能定理 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动：， 消去t得： （3）当粒子从B板右边缘射出时，代入轨迹方程得 解得 17．（25-26高一下·广西桂林·期末）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，如图。来自质子源的质子（初速度为零）经加速电场加速后，沿图中四分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P点竖直向上进入存在水平向右匀强电场的圆形区域，最终轰击位于圆上Q点的肿瘤细胞。已知加速电场的加速电压为U，四分之一圆弧虚线处的场强方向沿半径指向圆心O，圆心与OP相切于P点，OP=R0，圆形区域的半径为R，Q点位于OP上方处，质子质量为m、电量为e。不计质子重力和质子间相互作用，求： (1)质子离开加速电场时的速度大小v； (2)四分之一圆弧虚线处辐向电场的场强大小E0； (3)圆形区域中匀强电场的场强大小E。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中 解得 （2）质子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，有 可得 （3）质子在匀强电场中做类平抛运动，设OP方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，由几何关系有 而由类平抛运动有 其中 又 而由类平抛运动有y=vt     联立解得 18．（25-26高一下·江西上饶·期末）能量分析器广泛应用于核聚变等前沿物理研究当中。其中普罗卡-格林平行板能量分析器，简化原理如图所示。正离子源（图中未画出）发出的离子，初速度可视为零，经电压为U0的加速电场加速后，在距离下极板y处从入射板狭缝入射，入射角θ为离子运动方向与下极板夹角，θ＝45°。离子沿虚线路径前进，穿过下极板左侧狭缝进入平行板间电场，并从下极板右侧狭缝射出平行板，最后在距离下极板y处被能量分析器接收板接收。其中正离子电荷量为q，质量为m。平行板间电压为U，极板间距为d。能量分析器中仅在两平行板间存在匀强电场，其他区域为无场区域，不计离子重力及离子间作用力。求： (1)离子进入狭缝的速度v0； (2)离子入射点与接收点水平距离x。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）离子在加速电场中，由动能定理得 解得离子进入狭缝的速度为 （2）离子的运动过程可分为三段在下方无场区倾斜向上做匀速直线运动、在平行板间做类斜抛运动、在下方无场区倾斜向下做匀速直线运动，设离子在下方无场区向上的水平位移为，向下的水平位移为，由于入射角，且穿出时根据对称性方向也与极板夹角为，根据几何关系有 设离子在平行板间运动的时间为，加速度大小为，在平行板间，离子受到的电场力向下，大小为 根据牛顿第二定律得加速度为 离子进入电场时，在垂直极板方向的分速度为 离子在该方向先做匀减速到零再反向匀加速，由对称性可知，在电场中运动的总时间为 设离子在平行板间的水平位移为，由于离子在平行于极板的水平方向不受力，做匀速直线运动，则 因此，离子入射点与接收点水平距离为 解得 （3）从初始位置到最低点，动能定理 解得 小球在最低点 解得轻杆对小球的拉力 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $