专题2 电场中的功能关系 讲义 -2026-2027学年高二暑期能力提升

该高中物理讲义通过知识框架系统梳理了电场中的功能关系，明确列出动能定理、重力与电势能变化等五种常见功能关系，强调动能定理与能量守恒的内在联系，突出电场力做功与电势能变化这一重难点，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于结合高考真题与模拟题设计例题和训练，如例1通过斜面滑块运动考查静电力与加速度关系，例2结合弹簧弹性势能分析电场力做功，培养科学推理和能量观念。分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

高二暑期能力提升 专题二 电场中的功能关系 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG=EpG1-EpG2=-ΔEp。 (3)静电力做功等于电势能的变化，即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。 说明：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。 (2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。 若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。 【例1】　(多选)(2024·山东卷·10)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l= B.OB的距离l= C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgs D.AC之间的电势差UAC=- 【例2】　(2025·河南省三模)如图所示，在光滑绝缘的水平面内，存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E=1×108 N/C。有两个质量为m1=m2=1 kg、可视为质点的带电小球A、B，A球带正电，B球带负电，电荷量均为q=2×10-8 C，两小球与一水平轻质弹簧的两端连接点处绝缘。初始时两球被锁定处于静止状态，弹簧被压缩。已知弹簧劲度系数k=400 N/m，弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2(x为弹簧形变量)。解除锁定前弹簧的弹性势能Ep0=0.72 J，忽略带电小球A、B之间的相互作用力，某一时刻解除锁定。求： (1)解除锁定瞬间A球的加速度大小； (2)A球在向左运动过程中，当弹簧的弹力大小为F=6.00 N时(此时弹簧处于压缩状态)A球的动能(结果保留两位有效数字)。 【针对性训练】 1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程(　　) A.动能增加mv2 B.机械能增加2mv2 C.重力势能增加mv2 D.电势能增加2mv2 2.(2025·重庆市三模)空间存在一沿x轴方向的电场，一电荷量为-q(q>0)的试探电荷只在静电力作用下从坐标原点沿x轴正方向运动，其受静电力随位置变化的图像如图。以x轴正方向为静电力正方向，无穷远处电势为零。下列说法正确的是(　　) A.0~x1区域的电场方向沿x轴负方向 B.从x1到x2，该试探电荷的电势能增大 C.从0到x2，该试探电荷动能先减小后增大 D.该试探电荷在x1处的加速度大于x2处 3.(2024·黑吉辽·6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) A.动能减小，电势能增大 B.动能增大，电势能增大 C.动能减小，电势能减小 D.动能增大，电势能减小 4.(2026八省联考·)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　) 5 .(多选)(2026·广西河池市检测)如图所示，在倾角为30°的斜面体底端B点固定一带正电的点电荷，将某一质量为m的带电小滑块(可视为质点)从C点由静止释放，沿着斜面运动到最低点A点时其速度恰好为零，D点为AC的中点，不计小滑块与斜面间的摩擦力，AC间距离为2d，重力加速度为g，小滑块在下滑过程中(　　) A.所受静电力先增大后减小 B.电势能先增大后减小 C.速度最大的位置在D点的下方 D.从D点到A点静电力做功为-mgd 6.(2026·江西省乐平中学检测)学校中某参赛选手设计了科技节运输轨道，如图甲所示，可简化为倾角为θ的足够长固定绝缘光滑斜面。以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为x轴的正方向，且沿x轴部分区域存在电场。在斜面底端由静止释放一质量为m、电荷量为+q的滑块，在滑块向上运动的一段过程中，机械能E随位置坐标x的变化如图乙所示，曲线A点处切线斜率最大。滑块可视为质点，不计空气阻力，不计滑块产生的电场，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　) A.在x1~x3过程中，滑块动能先减小后恒定 B.在x1处滑块的动能最大，Ekmax=-mgx1sin θ C.在0~x2的过程中重力势能与电势能之和先减小后增大 D.在0~x2过程中，滑块一直加速 7. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题)如图所示为两个固定的均匀带电的绝缘球面，半径分别为7R和R，所带电荷量分别为Q和Q（Q>0），两球面内切于E点，球心O和O1的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面球心O，与球面相交于B、C两点。现有一质量为m、带电量为q（q>0）的小球从A点沿细管由静止开始下落，运动通过D点。已知AB两点距离和CD两点距离均为R，静电力常量为k，重力加速度为g，设无穷远处为零势能面，点电荷Q产生电势为，则（　　） A. A点电势为 B. 小球通过D点时的速度为 C. 小球通过O点时的动能为 D. 小球从B运动到O的过程中加速度一直在增大 8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间回到A点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的C点，B的竖直方向投影为AC的中点。已知小球的两次运动轨迹均在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A. B. 电场强度的最小值为 C. 电场沿水平方向时，电势差 D. 电场强度为最小值时，小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了 9．（15分）（2026江西赣州大联考）如图所示，在竖直虚线右侧有水平向右的匀强电场，电场中有一个半径为R的光滑半圆形绝缘轨道，B、C连线与夹角为，在左侧有一足够长的粗糙绝缘轨道，与水平面的夹角为，轨道与轨道在与电场平行的同一个竖直平面内，并于B点相切，将一质量为m、电荷量为q的带正电物块在轨道上某处由静止释放，物块第一次在电场中运动速度为零时的位置刚好在上，已知物块与轨道间的动摩擦因数为0.25，重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小，不计物块的大小，（答案保留分式和根号）求： （1）物块在轨道上释放的位置与B点的距离； （2）物块在运动过程中的最大速度大小； （3）物块在轨道上运动的总路程(提示：物块与轨道相碰时沿切线方向的速度不变，垂直与轨道方向的速度变为0)。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑期能力提升 专题二 电场中的功能关系 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG=EpG1-EpG2=-ΔEp。 (3)静电力做功等于电势能的变化，即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。 说明：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。 (2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。 若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。 【例1】　(多选)(2024·山东卷·10)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l= B.OB的距离l= C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgs D.AC之间的电势差UAC=- 答案　AD 解析　由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则沿斜面方向根据受力分析有 mgsin 30°=cos 30° 解得l=，故A正确，B错误； 设小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，因为滑到C点时速度为零， 根据动能定理有W+mgssin 30°=0 解得W=-，故C错误； 根据电势差与静电力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-，故D正确。 【例2】　(2025·河南省三模)如图所示，在光滑绝缘的水平面内，存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E=1×108 N/C。有两个质量为m1=m2=1 kg、可视为质点的带电小球A、B，A球带正电，B球带负电，电荷量均为q=2×10-8 C，两小球与一水平轻质弹簧的两端连接点处绝缘。初始时两球被锁定处于静止状态，弹簧被压缩。已知弹簧劲度系数k=400 N/m，弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2(x为弹簧形变量)。解除锁定前弹簧的弹性势能Ep0=0.72 J，忽略带电小球A、B之间的相互作用力，某一时刻解除锁定。求： (1)解除锁定瞬间A球的加速度大小； (2)A球在向左运动过程中，当弹簧的弹力大小为F=6.00 N时(此时弹簧处于压缩状态)A球的动能(结果保留两位有效数字)。 答案　(1)22 m/s2　(2)0.29 J 解析　(1)由Ep0=k(Δx1)2得Δx1=6 cm 对A球有kΔx1-qE=m1a 解得a=22 m/s2 (2)解除锁定后，A球在向左运动过程中，设x1、x2分别为A、B两球移动的位移，有x1+x2=Δx1-Δx2， F=kΔx2 对A、B组成的系统，从解除锁定至弹簧的弹力大小为F=6.00 N的过程中，系统减少的弹性势能 ΔEp弹=Ep0-k(Δx2)2=0.675 J 系统在匀强电场中增加的电势能ΔEp1=qE(x1+x2)=0.09 J 由能量守恒定律得ΔEp弹=ΔEp1+ΔEkA+ΔEkB， 对A、B组成的系统，水平方向动量守恒且A、B质量相等，则速度大小vA=vB， 所以ΔEkA=ΔEkB 解得A球向左运动的动能EkA=ΔEkA≈0.29 J。 【针对性训练】 1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程(　　) A.动能增加mv2 B.机械能增加2mv2 C.重力势能增加mv2 D.电势能增加2mv2 答案　B 解析　小球动能的增加量为ΔEk=m(2v)2-mv2=mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h=，小球重力势能的增加量为ΔEp=mgh=mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp'=mv2+mv2=2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。 2.(2025·重庆市三模)空间存在一沿x轴方向的电场，一电荷量为-q(q>0)的试探电荷只在静电力作用下从坐标原点沿x轴正方向运动，其受静电力随位置变化的图像如图。以x轴正方向为静电力正方向，无穷远处电势为零。下列说法正确的是(　　) A.0~x1区域的电场方向沿x轴负方向 B.从x1到x2，该试探电荷的电势能增大 C.从0到x2，该试探电荷动能先减小后增大 D.该试探电荷在x1处的加速度大于x2处 答案　C 解析　由题图可知，0~x1区域，试探电荷受到的静电力沿x轴负方向，而试探电荷带负电，所受静电力的方向与电场方向相反，故0~x1区域的电场方向沿x轴正方向，A错误；从x1到x2，静电力沿x轴正方向，试探电荷受力方向与位移方向相同，静电力对试探电荷做正功，动能增大，电势能减小，B错误；由以上分析可知，从0到x2，静电力对试探电荷先做负功后做正功，故动能先减小后增大，C正确；由题图可知，试探电荷在x1处受到的静电力为零，在x2处受到的静电力沿x轴正方向最大，根据牛顿第二定律可知，该试探电荷在x1处的加速度小于在x2处的加速度，D错误。 3.(2024·黑吉辽·6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) A.动能减小，电势能增大 B.动能增大，电势能增大 C.动能减小，电势能减小 D.动能增大，电势能减小 答案　D 解析　根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虚线(如题图)，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的位移方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小，故选D。 4.(2026八省联考·)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　) 答案　D 解析　设两个带电小球间距为r，则F合=mgsin θ-k 在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球的间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，Ek-x图像的斜率表示合外力，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意； E-x图像的斜率绝对值表示库仑力的大小，即|k斜|=k，在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，则E-x图像的斜率的绝对值逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。 5 .(多选)(2026·广西河池市检测)如图所示，在倾角为30°的斜面体底端B点固定一带正电的点电荷，将某一质量为m的带电小滑块(可视为质点)从C点由静止释放，沿着斜面运动到最低点A点时其速度恰好为零，D点为AC的中点，不计小滑块与斜面间的摩擦力，AC间距离为2d，重力加速度为g，小滑块在下滑过程中(　　) A.所受静电力先增大后减小 B.电势能先增大后减小 C.速度最大的位置在D点的下方 D.从D点到A点静电力做功为-mgd 答案　AD 解析　设点电荷和小滑块的电荷量分别为Q、q，根据库仑定律有F=k，小滑块从C点到A点的过程中，与B点的距离先减小后增大，所以静电力先增大后减小，故A正确；小滑块从C点到A点，到最低点速度恰好为零，所以电势能先减小后增大，且小滑块带负电，故B错误；因为B点固定正点电荷，小滑块带负电，由C点到A点合力做功为零，即(-)q=mg·2dsin 30°，由此知在D点沿斜面方向cos 60°>mgsin 30°，所以D点加速度向上，而速度最大时加速度为零，所以速度最大的地方在D点上方，故C错误；从C点到A点，根据动能定理mg·2dsin 30°+W电=0-0，解得W电=-mgd，C点、D点电势相等，所以从D点到A点静电力做功和从C点到A点做功相同均为-mgd，故D正确。 6.(2026·江西省乐平中学检测)学校中某参赛选手设计了科技节运输轨道，如图甲所示，可简化为倾角为θ的足够长固定绝缘光滑斜面。以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为x轴的正方向，且沿x轴部分区域存在电场。在斜面底端由静止释放一质量为m、电荷量为+q的滑块，在滑块向上运动的一段过程中，机械能E随位置坐标x的变化如图乙所示，曲线A点处切线斜率最大。滑块可视为质点，不计空气阻力，不计滑块产生的电场，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　) A.在x1~x3过程中，滑块动能先减小后恒定 B.在x1处滑块的动能最大，Ekmax=-mgx1sin θ C.在0~x2的过程中重力势能与电势能之和先减小后增大 D.在0~x2过程中，滑块一直加速 答案　C 解析　滑块在x1~x2过程机械能增加，在x2~x3过程，高度增加，机械能不变，说明只有重力做功，重力势能增加，动能减小，故A错误；静电力做的功等于滑块机械能的变化，即qE·x=ΔE，E-x图像的斜率表示qE，根据题图乙可知0~x1过程静电力逐渐增大，x1~x2过程静电力逐渐减小，到x2处静电力为零，电场强度为零。由牛顿第二定律得qE-mgsin θ=ma，加速度先增大后减小，最后反向增大，直至静电力为零时a=gsin θ，则当电场强度减小到E=时滑块的动能最大，即在x1~x2的某处，故B错误；0~x2过程滑块先做加速度增大的加速运动，然后做加速度逐渐减小的加速运动，再做加速度逐渐增大的减速运动，x2后做匀减速直线运动，所以0~x2过程中滑块先加速后减速，重力势能与电势能之和先减小后增大，故C正确，D错误。 7. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题)如图所示为两个固定的均匀带电的绝缘球面，半径分别为7R和R，所带电荷量分别为Q和Q（Q>0），两球面内切于E点，球心O和O1的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面球心O，与球面相交于B、C两点。现有一质量为m、带电量为q（q>0）的小球从A点沿细管由静止开始下落，运动通过D点。已知AB两点距离和CD两点距离均为R，静电力常量为k，重力加速度为g，设无穷远处为零势能面，点电荷Q产生电势为，则（　　） A. A点电势为 B. 小球通过D点时的速度为 C. 小球通过O点时的动能为 D. 小球从B运动到O的过程中加速度一直在增大 【答案】C 【解析】．几何关系可知, 则A点电势为, A错误； 根据对称性和电势叠加原理易得，AD点电势相等，即AD电势差U为0，根据动能定理有 解得小球通过D点时的速度, B错误； 根据对称性和电势叠加原理易得O点电势 小球从A到O过程，根据动能定理有 联立解得小球通过O点时的动能为, C正确； 小球从B运动到O的过程中，大球对小球的库仑力为0（大球在其内部产生的场强为0），小球只受重力和小球的库仑力。小球受到带正电小球的库仑力，设其方向与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可知小球加速度 从从B运动到O的过程中，r在减小，在增大（减小），故无法判断加速度大小具体变化，故D错误。 8. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间回到A点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的C点，B的竖直方向投影为AC的中点。已知小球的两次运动轨迹均在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A. B. 电场强度的最小值为 C. 电场沿水平方向时，电势差 D. 电场强度为最小值时，小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了 【答案】CD 【解析】小球两次抛出的竖直加速度相同，在竖直方向上的分运动均为先向上减速后反向加速，由几何关系结合竖直上抛运动知识可得第一次抛出 第二次抛出 联立解得，故A错误； 经分析可知，当电场力方向与第一次抛出时的初速度方向垂直时场强最小，由牛顿第二定律得 解得电场强度的最小值为，故B错误； 电场沿水平方向时，小球水平方向做初速度为零的匀加速运动，B投影为AC中点，则 根据可知，电势差，故C正确； 电场强度为最小值时，竖直方向由牛顿第二定律得 由匀变速知识得 水平方向由牛顿第二定律得 由匀变速知识得 第二次抛出到回到水平线上的过程中电场力对小球做功 联立解得 小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了，故D正确； 9．（15分）（2026江西赣州大联考）如图所示，在竖直虚线右侧有水平向右的匀强电场，电场中有一个半径为R的光滑半圆形绝缘轨道，B、C连线与夹角为，在左侧有一足够长的粗糙绝缘轨道，与水平面的夹角为，轨道与轨道在与电场平行的同一个竖直平面内，并于B点相切，将一质量为m、电荷量为q的带正电物块在轨道上某处由静止释放，物块第一次在电场中运动速度为零时的位置刚好在上，已知物块与轨道间的动摩擦因数为0.25，重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小，不计物块的大小，（答案保留分式和根号）求： （1）物块在轨道上释放的位置与B点的距离； （2）物块在运动过程中的最大速度大小； （3）物块在轨道上运动的总路程(提示：物块与轨道相碰时沿切线方向的速度不变，垂直与轨道方向的速度变为0)。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）物块在电场中受到的合力为，方向与竖直方向夹角为45°指向右下方 由牛顿第二定律 解得 物块经过点后将以加速度大小为做匀减速直线运动直至到达点时速度减小到零，由几何关系得 设释放点与B点的距离为，由能量守恒定律得 解得。 （2）当运动到圆弧中中点时，合力做功最多，物块有最大速度，从释放点到运动到圆弧中点由能量守恒定律得 解得。 （3）小球第一次落回到点时，由动能定理得 物块在点沿半圆形轨道切线方向速度 联立可得物块在点与轨道相碰后的动能为 此后小球在圆弧BC、电场和轨道AB中反复运动直到小球回到B点时速度恰好为零，设其在轨道上运动的路程为，由能量守恒定律得 解得 所以物块在轨道上的总路程为 1 学科网（北京）股份有限公司 $