精品解析：甘肃省临夏州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷

临夏州2024—2025学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，然后利用诱导公式及二倍角公式求解． 【详解】角的终边过点，则，所以， 从而． 故选：A． 5. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 6. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解． 【详解】设圆锥底面半径为， 由题意可得：圆锥底面圆周长等于侧面展开图的圆弧长，即，解得， 如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上下底面圆的圆心， 其中，则， 由，可得， 则所得圆台的体积为． 故选：A． 7. 在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 故选：D. 8. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出的范围，借助于的图象，即可建立关于的不等式，求解即得. 【详解】由 ， 设，由，可得，即， 作出函数的图象. 函数在区间上恰有4个零点， 由图，则，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（ ） A. 事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B. 事件与事件互斥 C. D. 事件与事件相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，根据互斥事件的定义判断即可；对于C，直接用古典概型概率的公式计算即可；对于D，直接使用独立事件的定义验证即可. 【详解】对于A，事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到的不是男生”，即“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确； 对于B，由于存在既是男生又是团员的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误； 对于C，总人数为50，男生30人，团员15人，则，故C正确； 对于D，总人数为50，既是男生又是团员的人数为10，则， 结合选项C可知，故事件与事件不相互独立，故D错误， 故选：AC． 10. 对于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. ，则与可能垂直 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用等价于判断；对于B，利用向量数量积的定义判断；对于C，利用向量垂直的坐标计算，结合三角函数的性质判断；对于D，由向量数量积的运算律计算即可判断. 【详解】对于A，因等价于，由显然得不到，故A错误； 对于B，由可得与的夹角为钝角或平角，故B错误； 对于C，由可得，当时成立，此时与垂直，故C正确； 对于D，由，可得，即得，故D正确. 故选：CD. 11. 正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面平行结合面面平行判定定理判断A，再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B，运用二面角定义得到即二面角的平面角，再结合余弦定理求解判断C，根据线线平行得出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可判断D. 【详解】对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确； 对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径， 因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确； 对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则， 由余弦定理，可得，故C正确； 对于D，因，故为异面直线与所成的角， 又因， 由余弦定理，， 则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出复数，代入模的计算公式得. 【详解】由， 所以. 【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题. 13. 甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得800元奖金．已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将800元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得__________元． 【答案】700 【解析】 【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数. 【详解】由题意，如果比赛继续，乙需要连赢三局才能获胜，因甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局获胜的概率为，甲获胜的概率为， 所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的，即甲应该分得元. 故答案为：. 14. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求底面三角形的外接圆半径，再根据外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半径，进而根据公式求球的表面积和体积. 【详解】如图： 因为，，所以. 设底面外接圆半径为，则. 设底面的外接圆圆心为，过作平面的垂线，在三棱柱的同侧取点，使得，则为三棱柱外接球的球心. 设三棱柱外接球的半径为，则. 所以球的表面积为：； 体积为：. 故答案为：； 【点睛】. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 16. 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得； （2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得； （3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【小问1详解】 因， 由，可得， 即函数的图象的对称轴方程为； 【小问2详解】 由，可得， 即函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 因，当时，取， 因函数在上单调递增， 故的值域为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. （2）证明：取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面.” （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面； （3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19. 已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， （1）现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； （2）现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； （3）在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 【答案】（1）； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概率公式计算即得. （2）求出事件、、的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. （3）将所求概率的事件分拆成互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，样本空间，共包含6个样本点， 记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”， 则，共包含4个样本点， 所以事件C的概率为. 【小问2详解】 依题意，事件，事件，， 由事件与事件独立，得，即，解得， 所以的值为6. 【小问3详解】 由（2）知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为，则， 记事件=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临夏州2024—2025学年度春季学期期末质量监测 高一 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我市某中学高一三班有50人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示． 项目 团员 非团员 合计 男生 10 20 30 女生 5 15 20 合计 15 35 50 记事件为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件为“在班级里随机选一人，选到团员”．下列说法正确的是（ ） A. 事件的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生” B. 事件与事件互斥 C. D. 事件与事件相互独立 10. 对于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. ，则与可能垂直 D. 若，则 11. 正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足，则_____． 13. 甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得800元奖金．已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将800元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得__________元． 14. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为__________，体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的值域． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19. 已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， （1）现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； （2）现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； （3）在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $