精品解析：　第五章 　一次函数——一次函数与特殊三角形期末复习　 2022—2023学年浙教版数学八年级上册

一次函数与特殊三角形 考点一：一次函数中特殊三角形的存在性 1. 分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使为等腰三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 【答案】，，， 【解析】 【分析】首先根据题意，求得A与B的坐标，然后利用勾股定理求得的长，再分别从，，去分析求解，即可求得答案． 【详解】解：当时，；时，， ∴，， ∴， ， ①当时，， ∴． ②当时，，． ③当时，即C在线段的垂直平分线上，设 则 在中， ∴ ∴ ∴， ∴综上可得：点C的坐标为，，，． 2. 分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C，使为直角三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 【答案】，， 【解析】 【分析】分类讨论：当时，当时，当时，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当时， ， 解得， ； 当时，， ； ， 当时， 在坐标轴上，， 此时与重合， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得； ； 综上，所有符合条件的点C的坐标为，，． 3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是坐标轴上一动点，若使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的定义分别作以为圆心，长为半径画圆交坐标轴的点，作以为圆心，长为半径画圆交坐标轴的点，作的垂直平分线交坐标轴的点，即可求解． 【详解】解：如图， 以为圆心，长为半径画圆交坐标轴的点为、、， 以为圆心，长为半径画圆交坐标轴的点为、、， 作的垂直平分线交坐标轴的点为、， 故符合条件的点P共有个． 4. 已知的图象经过点，它与坐标轴围成的图形是等腰三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知点求出的值，再求出一次函数与轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成直角三角形，根据等腰三角形两腰相等的性质，得到直线与两坐标轴交点到原点的距离相等，据此计算的值． 【详解】解：的图象经过点， 将代入解析式得， ，函数解析式为， 令，解得， 即函数与x轴交点为，与y轴交点为， 函数图象与坐标轴围成的三角形是直角三角形，直角顶点在原点，等腰三角形两直角边长度相等， ，即， 解得． 考点二：一次函数中勾股定理的运用 5. 如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． （1）求点A、C的坐标； （2）如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：令，得，解得，即； 令，得，即； 【小问2详解】 解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 考点二：一次函数与特殊三角形综合练习 6. 如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． （1）求的面积； （2）在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，、、或 【解析】 【分析】（1）先求出、，根据勾股定理得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的面积； （2）设，根据等腰三角形的定义分三种情况结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：令，得，即； 令，得，即． 在中，由勾股定理得：． 如图，作交于点D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：设， 当时：， 解得或， 即或； 当时：， 解得（舍去）或， 即； 当时：， 解得， 即； 综上，点的坐标为：、、或． 7. 如图，在直角坐标系中，的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）已知于C，求C点坐标； （2）在坐标轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点为、或． 【解析】 【分析】（1）先求出、，根据勾股定理得到，取中点D，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，可证是等边三角形，根据三线合一得到，则，，作交于点E，根据等面积法得到，则，可知C点坐标； （2）分三种情况根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：令，解得， ∴，即， 令，得， ∴，， ∴， 如图，取中点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， 作交于点E， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴C点坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，根据题干图可知此时点为； ②当时，若在轴，则、都在轴，无法构成，故在轴， 如图，此时， 设， ∵，，， ∴，解得； ∴此时点为； ③当时，若在轴，则、都在轴，无法构成，故在轴， 如图，此时， 设， ∵，，， ∴，解得； ∴此时点为； 综上，所有满足条件的点为、或． 8. 已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C，D的坐标分别为点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，点P的运动时间为t秒 （1）当时，求直线的函数解析式； （2）点P在上，当有最小值吗？若有，求出此最小值，若没有，请说明理由； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）有最小值，最小值为 （3）t的值为7或6或12或14或 【解析】 【分析】（1）根据，确定点，利用待定系数法求解； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，确定对称点的坐标，利用勾股定理求解； （3）根据点的坐标求出相关线段的长度，分五种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质以及勾股定理进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，点与点重合， 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：有最小值，最小值为， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时，，值最小，最小值为线段的长度， ∵，四边形是长方形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：①如图所示，当时，是等腰三角形， 此时，， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，当，且点在线段上，靠近点时，是等腰三角形， 过点作于点， 此时，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴； ③如图所示，当，且点在线段上，靠近点时，是等腰三角形， 过点作于点， 此时，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 此时，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ⑤如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 综上，t的值为7或6或12或14或． 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，C，过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B，点D为的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿边的方向运动，运动时间为t（秒） （1）求点B的坐标； （2）设的面积为S，求S关于t的函数解析式； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，t的值为3或21或或或 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式求出点的坐标，根据垂直即可求出点坐标； （2）根据点的坐标求出相关线段的长度，然后分段表示函数； （3）根据点的坐标求出相关线段的长，分五种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质以及一次函数的性质等进行求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∵过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B， ∴； 【小问2详解】 解：由和得，， 当时，； 当时，； ∴； 【小问3详解】 解：存在，t的值为3或21或或或， ∵，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ①当，且点在线段上时，是等腰三角形， ∴； ②如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ③如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ④如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 过点作于点， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴点的横坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ⑤如图所示，当，且点在线段上时，是等腰三角形， 假设， ∵， ∴由勾股定理得， 解得或（舍去）， 当时，， 即， 由勾股定理得， ∴； 综上，t的值为3或21或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与特殊三角形 考点一：一次函数中特殊三角形的存在性 1. 分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使为等腰三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 2. 分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C，使为直角三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是坐标轴上一动点，若使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 4. 已知的图象经过点，它与坐标轴围成的图形是等腰三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 考点二：一次函数中勾股定理的运用 5. 如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． （1）求点A、C的坐标； （2）如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 考点二：一次函数与特殊三角形综合练习 6. 如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． （1）求的面积； （2）在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7. 如图，在直角坐标系中，的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）已知于C，求C点坐标； （2）在坐标轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8. 已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C，D的坐标分别为点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，点P的运动时间为t秒 （1）当时，求直线的函数解析式； （2）点P在上，当有最小值吗？若有，求出此最小值，若没有，请说明理由； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，C，过点A，C分别作x，y轴的垂线，交于点B，点D为的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿边的方向运动，运动时间为t（秒） （1）求点B的坐标； （2）设的面积为S，求S关于t的函数解析式； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请求出运动时间t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $