精品解析：吉林长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

汽开三中2025—2026学年度下学期期末考试高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等价于，解得，即. 所以. 2. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】对于正态分布，则正态曲线关于直线对称，然后利用对称性即可求解. 【详解】因为正态分布，所以正态曲线关于直线对称，即， 又因为，所以， 因为和关于对称，所以. 4. 若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用作差法并借助中间值比较大小. 【详解】，，， ， 故，故． 6. 某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（ ）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A. 72 B. 108 C. 156 D. 196 【答案】A 【解析】 【详解】同学，已是同桌，，已是同桌，故只需为剩下4位同学安排同桌， 从4个人中选2个人做同桌，剩下2个人也做同桌，然后安排组当中的前后顺序， 故排座位的方法数共有：种，故选A. 7. 已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 8. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得  即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用二次函数的值域即可判断C；由命题所含范围的包含关系即可推断D. 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，因为， 所以为真命题，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 10. 某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为4%，3%，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式、对立事件性质分别计算各选项对应概率，判断正误. 【详解】对于A：由乘法公式可得，A错误； 对于B：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率为，B正确； 对于C：由全概率公式可得，C正确； 对于D：由于仅两台车床加工零件，因此，可得，不满足大于关系，故D错误 11. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k的取值范围，并得到之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达定理即可找到关系；，满足等式，利用对数运算即可求解范围. 【详解】当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，， 若有四个不同的实数解，则，A正确； 因为，由，， 所以，B错误； ，根据韦达定理可知中，C正确； ，， 所以，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由残差公式求解即可． 【详解】将点代入回归直线方程为，得， 得，即， 则样本点的残差值为：． 13. 的展开式中，的系数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 14. 将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________. 【答案】24 【解析】 【分析】每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可. 【详解】每行，每列的和为3的倍数有两种可能： ①每行或每列的数字相同，有种方法， ②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法. 所以每行，每列的和都是3的倍数的不同填法种数为 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 所以 16. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？ （2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能认为学生喜爱打篮球与性别有关； （2）的分布列为： 1 2 3 的均值为2； （3）的均值为22，方差为9.9. 【解析】 【分析】（1）求出的值，根据的值及独立性检验的意义即可判断； （2）先求出抽出的人数中，不喜爱和喜爱打篮球的人数，从而可得的取值情况，求出对应的概率，即可列出分布列，再由均值公式求解即可； （3）由二项分布求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 所以在犯错的概率不超过的情况下，认为学生喜爱打篮球与性别有关； 【小问2详解】 由题意可得抽取的6名女生中，不喜爱打篮球的人数为人，喜爱打篮球的人数为人， 所以， 且，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以； 【小问3详解】 因为喜欢打篮球的人数的概率为， 所以， 所以， . 17. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 【答案】（1）1 （2） 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【小问1详解】 由，令，得，得， 令，得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 18. 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）选模型③， （2）至少需要小时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的增长速度可选择模型③，再结合表格中的数据可求得模型的函数解析式； （2）解不等式，可得结论； （3）求得，且，，于是得出，构造函数，其中，由题意可知函数在上的最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. 【小问2详解】 由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. 【小问3详解】 由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. 19. 某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏．传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者将球传给谁．当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于4，则传给乙，否则留在甲处（也算一次传球）；当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于3，则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子的点数大于2，则传给甲，否则传给乙．假设初始时足球在甲处，经过次掷骰子（即次传球）后，足球在甲处的概率为． （1）求，； （2）三次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的分布列和数学期望； （3）次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的数学期望． 附：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则． 【答案】（1） （2）分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）先梳理传球位置间的转移概率，建立的递推关系式，依次代入分步计算得到与； （2）先枚举所有情况算出取各值的概率得到分布列，再利用期望可加性快速求出数学期望； （3）构造第次传球的示性变量，结合线性期望性质把总期望转化为到的和，先求解一阶线性递推得到通项，再对等比数列求和化简得到的期望闭式. 【小问1详解】 先梳理转移概率：骰子共6个点， 球在甲：留甲概率，传乙概率，无传丙； 球在乙：传甲概率，传丙概率，不留乙； 球在丙：传甲概率，传乙概率​，不留丙。 记经过次掷骰子后，足球在乙处的概率为,在丙处的概率为，则， 由题，满足 则 ，, ； . 【小问2详解】 X表示三次传球后每次在甲的次数和，可能取值为， ，， ，， 分布列为： 由期望可加性，. 【小问3详解】 令，则，， 由可得， 因为 ， 所以 ， 所以，所以，所以， 所以， 所以，即 所以当时，即， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2025—2026学年度下学期期末考试高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（ ）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A. 72 B. 108 C. 156 D. 196 7. 已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 10. 某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为4%，3%，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______． 13. 的展开式中，的系数为________． 14. 将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 16. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 45 70 女生 20 10 30 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？ （2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 18. 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 19. 某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏．传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者将球传给谁．当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于4，则传给乙，否则留在甲处（也算一次传球）；当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于3，则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子的点数大于2，则传给甲，否则传给乙．假设初始时足球在甲处，经过次掷骰子（即次传球）后，足球在甲处的概率为． （1）求，； （2）三次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的分布列和数学期望； （3）次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的数学期望． 附：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $