河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-随机变量及其分布

**基本信息** 暑假高二数学专项测试卷，聚焦概率统计，以量子通信探测、“火洛杯”竞赛等真实情境设计问题，考查数学眼光、思维与语言，适配高二暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、二项分布|基础概念辨析，如第3题正态分布对称性| |多选题|3/18|事件独立性、条件概率|第10题结合研学情境考查独立事件判断| |填空题|3/15|全概率公式、贝叶斯公式|第13题分情况摸球，体现数学思维| |解答题|5/77|分布列、期望、概率综合|19题量子通信探测（科技前沿），17题“火洛杯”竞赛（文化传承）|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（5） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200．已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（     ） A． B． C． D． 6．现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知事件满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 11．已知为一个随机变量，则（   ） A．若，则， B．若，且，则 C．若服从两点分布，且，，则 D．若随机变量的分布列为，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．某乒乓球训练馆有两台发球机：机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上旋球，则下一次从机器发球；若发出下旋球，则下一次从机器发球.若第一次从机器发球，记第次发出下旋球的概率为，则______. 13．已知袋子中装有12个大小相同的球，其中有4个黑球和8个白球．甲同学从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．甲同学第二次摸到白球的概率为__________；当甲同学第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为__________． 14．某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失7000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天气的概率为0.4，天气变坏的概率为0.6，则该渔船应选择______（填“出海”或“不出海”）． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某超市举办促销活动，顾客消费后可参与一次抽奖．抽奖规则如下：盒子中装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客从中随机摸出2个球，若摸到2个球中有红球就中奖，且每位顾客抽奖结果互不影响． (1)求某位参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)若有4位顾客到此超市消费，并参与抽奖活动，设这4位顾客中中奖人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 16．(本小题15分）某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表． (1)求这个代表恰好在第一小组的概率； (2)求这个代表恰好是团员的概率； (3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率； (4)现在要在班内任选1个团员代表，求这个代表恰好在第一小组的概率． 17．(本小题15分）2026年第四届“火战凉山·火洛杯”全网曝光超4350万次，话题浏览超2．5亿次，是凉山年度全民热门赛事．某校为激发学生对体育运动的兴趣，举行了一次有关“火洛杯”的知识竞赛，其中篮球、彝族特色文化、禁毒防艾三类相关知识题量占比分别为、、，甲同学回答篮球、彝族特色文化、禁毒防艾这三类问题中每个题的正确率分别为、、． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得10分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望． 18．(本小题17分）某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． (1)从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． (2)若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． (3)若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 19．(本小题17分）在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号．现有两套独立工作的探测系统，，系统单次探测成功的概率为（），系统单次探测成功的概率为（）．现进行独立探测实验，每轮同时启动，两套系统进行探测． (1)每轮探测中，，各探测一次，，均探测失败判定为失效轮．已知，若连续两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为，求的值； (2)探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统独立探测2次，操作员乙操控系统独立探测2次．若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利轮； （i）设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为，若，与（1）中数值相同，求的分布列及数学期望； （ii）若，每轮探测互不影响，设每轮为胜利轮的概率为，求的最小值以及此时，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C A D D ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】因为，所以. 2．B 【详解】由题意，所以. 3．D 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以若，则， 所以.又，所以. 4．D 【详解】因为，所以，则 5．C 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 又 设小明答对试题为事件，则由已知得：，，， 由全概率公式得：． 6．A 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 7．D 【详解】由题意可知，甲投篮一次命中次数X服从参数为的两点分布，则. 同理，.已知，则，整理得，解得. 8．D 【详解】∵ ，∴ . 若没有极值点，则在上恒成立， ∴ 判别式，化简得，即. ∵ 服从正态分布，其分布曲线关于对称轴对称，∴ . 又，由对称性可得. ∴ 函数没有极值点的概率. 9．ACD 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以事件发生事件一定发生，所以， 因此，故B错误； 选项C：由条件概率公式，故C正确； 选项D：由条件概率公式，或理解为事件发生事件一定发生，故D正确. 10．BCD 【详解】由题可知，总基本事件数为，事件为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分配需保证少华山和渭华起义纪念馆都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与A同往华山，其余2人在少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与1人在少华山和渭华起义纪念馆排列，共有种， 所以，同理可得，故A错误； 事件：当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况， ①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②华山或少华山有两位同学研学， 在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共有4种情况； 所以事件共有种情况， 所以，故C正确； 因为，，，， 所以，故B正确； 因为， 所以事件A与事件B不独立，故D正确； 故选：BCD． 11．ACD 【详解】对于A，若，则，， 所以，，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若服从两点分布，且，，则， 所以，所以，故C正确； 对于D，由分布列的性质得，解得，故D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】由题意得第次发出下旋球的概率为， 则第次发出上旋球的概率为，且机器发上旋球和下旋球的概率分别为和； 机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.， 结合题意得，即， 设，可得， 得到，解得，可得， 而，得到是首项为，公比为的等比数列， 则，故，可得. 13． 【详解】设事件为“第一次摸到黑球”，事件为“第一次摸到白球”，事件为“第二次摸到白球”.由题意可得，. 若第一次摸到黑球放回，则袋中球数量不变，故； 若第一次摸到白球不放回，则此时袋中剩余7个白球、共11个球，故. 根据全概率： ; 根据贝叶斯公式，第二次摸到白球时第一次摸到黑球的概率如下， 为 . 14．不出海 【详解】若选择出海，设为渔船的收益，则由题意知的可能取值为6 000元，元， ，，所以 ； 若选择不出海，无论天气好坏都要承担1 000元的损失费，又由， 故作出决策为：不出海． 15．【详解】（1）设摸到的2个球中红球的个数为， 某位参与抽奖的顾客中奖，即摸到1个红球或2个红球， ，，即， 所以，某位参与抽奖的顾客中奖的概率为． （2）法一：由（1）可知，每位参与抽奖的顾客中奖的概率都为，且每位顾客抽奖结果相互独立，因此，随机变量的分布列为， 即 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 法二：随机变量的所有可能取值为． ，， ，，． 所以随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 16．【详解】（1）设A：在班内任选1名学生，该学生属于第一小组，B：在班内任选1名学生，该学生是团员．． （2）． （3）． （4）． 17．【详解】（1）因为篮球、彝族特色文化、禁毒防艾三类相关知识题量占比分别为、、， 甲同学回答篮球、彝族特色文化、禁毒防艾这三类问题中每个题的正确率分别为、、， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为：； （2）由题意，可得， ， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. 18．【详解】（1）设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”．由全概率公式得． （2）的所有可能取值为，     则即     整理得解得，而，因此，所以当时，取得最大值． （3）的所有可能取值为3，4，5，6．     ， ， 的分布列为 3 4 5 6    . 19．【详解】（1）设单轮探测为失效轮的概率为，则， 由题意得，，，. （2）(i)的可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 的分布列如下 0 1 2 3 4 . (ii)由题意得 ， ，，令，，则， 当时，， ， 解得， 当，时，的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $