河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-成对数据的统计分析

**基本信息** 高二暑假数学专项测试卷聚焦统计与概率模块，通过学生成绩分析、疫苗效果检验等真实情境，考查回归分析、独立性检验等核心知识，体现数据意识与模型观念，适配暑期巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|回归方程、相关系数、残差|结合散点图分析线性相关性（如第5题去离群点后相关性变化）| |多选题|3/18|决定系数、残差平方和|多选项辨析回归模型拟合效果（如第11题比较不同模型残差）| |填空题|3/15|等高条形图、独立性检验|通过疫苗试验数据考查列联表应用（第14题）| |解答题|5/77|分层抽样、非线性回归、二项分布|综合频率分布直方图与独立性检验（第16题），体现问题层次性|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（6） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．已知变量关于变量的线性回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知y关于x的经验回归方程为.若，.则v关于u的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ）A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 6．下列说法中，正确的个数是（    ） ①随机变量X服从正态分布，且，则； ②用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列说法错误的个数是（     ） ①根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联”；②对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为；③当样本相关系数的绝对值等于时，样本数据无相关性；④在一组数据中插入一个数后，该组数据的方差变大 A．个 B．个 C．个 D．个 8．新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（   ）    A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．为了研究父亲身高与儿子身高的关系，通过调查97名男大学生身高（单位：cm）及其父亲的身高（单位：cm），得到数据，，…，，再由最小二乘估计得到一元线性回归方程，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则经验回归直线必过点 B．当父亲的身高时，男大学生身高一定为 C．本次调查的数据中男大学生身高和其父亲的身高的相关系数为正 D．一元线性回归方程也能够很好地刻画父亲身高与女儿身高的关系 10．根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（   ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．相关系数变小 11．下列选项正确的是（   ） A．变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强 B．在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25 D．用模型拟合一组数据，，其中，设，变换后的经验回归方程为，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x，y相关关系最强的是______． 13．某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 14．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 (1)求； (2)记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； (3)能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．(本小题15分）某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 (1)根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数； (2)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？ (3)若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中主动预习的人数为，求的均值和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．(本小题15分）某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表. 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 m 20 女生 20 50 合计 n 100 (1)求的值 (2)根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？ (3)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲､乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局.已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．(本小题17分）某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 (1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） (2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ (3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 19．(本小题17分）某校组织“阅读伴我行”活动，意在增强学生的自主阅读意识，让阅读成为一种习惯．老师借此活动随机调查了50名学生每周自主阅读平均时间与本学期语文平均成绩，并将调查结果整理如下： 本学期语文平均成绩每周自主阅读平均时间 不低于110分 低于110分 不低于 18 2 低于 6 24 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断学生的语文成绩与自主阅读时间有关联？ (2)高二某学生每天早上坚持晨读半小时，晨读科目为语文或英语．已知他第一天选择语文的概率为，选择英语的概率为．若他前一天选择语文，则后一天继续选择语文的概率为；若前一天选择英语，则后一天选择语文的概率为． （ⅰ）求该学生第二天选择语文的概率； （ⅱ）求从第1天到第15天中，该学生选择语文的概率小于选择英语概率的天数． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B D A D C AC AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据经验回归方程恒过即可求解. 【详解】由题知，，即，解得. 2．D 【分析】利用相关系数的性质即可. 【详解】由图可得，，图2线性相关性比图1强，所以，则，即. 3．A 【分析】根据残差的定义，先计算x=2对应的回归预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到残差． 【详解】将 代入线性回归方程，得预测值 , 已知该样本点的实际观测值 ，因此残差为． 4．B 【详解】由，，得，代入，得，所以. 5．D 【详解】由题设，均值，去掉后，新均值，变大， 均值，去掉后，新均值，变小，A错误， 由散点图可知，是偏离其余点的离群点，去掉后，剩余点更贴近一条直线， 所以x和y为正相关且相关性变强，即相关系数的绝对值越接近1，故去掉后变大，B错误，D正确； 线性相关性越强，模型拟合效果越好，残差平方和越小，因此去掉后残差平方和变小，C错误. 6．A 【详解】对于①，由，且，得，①错误； 对于②，用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r绝对值越大两个变量的相关程度越强，②错误； 对于③，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，③正确； 对于④，决定系数越大，拟合效果越好，因此模型甲的拟合效果更好，④错误. 7．D 【分析】对①根据独立性检验的定义判断可得，对②先由样本中心求得回归直线方程，再根据残差定义计算可得，对③根据相关系数的定义判断可得，对④直接计算插入数前后数据的方差可得. 【详解】对①：独立性检验中，当时，仅能说明在显著性水平下，没有充分证据推断与有关联， 不能直接得出“与没有关联”的结论，故①错误； 对②：经验回归直线过样本中心点，代入得，解得，即回归方程为. 当时，，残差为，故②错误； 对③：样本相关系数刻画的是变量间的线性相关程度，当时，仅说明变量间不存在线性相关关系， 可能存在非线性相关关系，不能判定样本数据无相关性，故③错误； 对④：原数据的均值，方差； 插入数后，新数据的均值， 方差，方差变小，故④错误. 综上所述，个说法均错误. 8．C 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于，所以正确； 因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论， 所以错误. 9．AC 【详解】选项A：由最小二乘法推导得到的经验回归直线恒过样本中心点，A正确； 选项B：将代入回归方程得到的是估计值，实际男大学生身高会存在随机波动，并非一定等于该值，故B错误； 选项C：回归方程的斜率为，说明父亲身高与儿子身高呈正相关关系，所以相关系数为正，故C正确； 选项D：该回归方程是基于父亲身高与男大学生（儿子）身高的样本数据拟合得到的，样本不含父亲与女儿身高的相关信息，无法刻画父亲身高与女儿身高的关系，故D错误. 10．AD 【分析】新增的点是偏离原正相关趋势的离群点，会削弱线性相关性，因此决定系数变小、相关系数变小，残差平方和变大. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 选项A，决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，A正确； 选项B，残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，B错误； 选项C，越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，C错误，D正确 11．ABD 【分析】使用线性相关系数的性质，线性回归方程的定义求解. 【详解】变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强，选项A正确； 在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度更高，即模型的拟合效果越好，选项B正确； 当时，，则样本点的残差为，选项C错误； 已知，两边取自然对数可得，设，则， 由变换后的经验回归方程为可知，，即， 所以已知，则，选项D正确. 12．③ 【详解】由图可知，图③的差异最大，则相关关系最强. 13．拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 14．36 【分析】设没接种只数为，列出2×2列联表后计算，可得，即可得的最小值. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，于是，即，即，∴，即被抽查的没接种动物至少有36只． 15．(1)， (2) (3)有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【详解】（1）由列联表知， （2）由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． （3）零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 16．(1)众数为590；中位数为590 (2) 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 可以认为学生成绩优秀与主动预习有关 (3)均值9；方差4.95 【分析】（1）根据众数及中位数的定义即可求解； （2）根据频率分布直方图补全列联表，计算后，对照临界值即可得出答案； （3）根据题目得出，再根据二项分布的期望及方差公式即可求解． 【详解】（1）由频率分布直方图得，众数为590； ，， 中位数为． （2）由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有人，则成绩优秀的有30人． 补全列联表如下： 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 提出假设：学生成绩优秀与主动预习无关． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立． 即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关． （3）由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为， 则． 所以，． 17．(1)， (2)不能认为性别与喜欢围棋有关联 (3) 【详解】（1）男生人数，则， 喜欢围棋的共，则. （2）零假设：性别与喜欢围棋没有关联， ， 则根据的独立性检验，零假设成立，不能认为性别与喜欢围棋有关联； （3）已知甲第一局失败，若最终甲获胜，则包含以下几种情况： 接下来甲连胜三局，概率为； 接下来共比赛四局，且最后一局甲获胜，概率为， 故在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率为. 18．(1)经验回归方程为；第5天的残差. (2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好. (3)连续天后优化时效最好 【分析】（1）利用最小二乘估计可算出，的值，即可得到经验回归方程. （2）（ⅰ）由可得，再利用最小二乘估计即可；（ⅱ）计算出，再跟比较即可得结果. （3）计算出回归时效函数，利用导数判断的单调性，求出取得最大值时的值. 【详解】（1）由已知得， 所以. 所以. 所以经验回归方程为. 第5天的残差. （2）（ⅰ）因为，所以. 所以 所以关于的非线性经验回归方程为 （ⅱ）模型①中的决定系数， 已知模型②中的决定系数，即，所以模型②拟合效果更好. （3）根据（2）结果选择模型②， 则 所以 令，即，得. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 因为，则，. 所以. 所以在连续天后优化时效最好. 19．(1)有关联 (2)（ⅰ）；（ⅱ）1． 【分析】(1)作出列联表并写出零假设，代入相应公式求出值，根据与临界值的大小作出判断；（2）（ⅰ）第二天选语文分两种情况：第一天选语文且第二天也选语文、第一天选英语且第二天选语文，利用全概率公式进行计算；（ⅱ）记该学生第天选择语文的概率为，用全概率公式推导递推关系，然后构造等比数列求的通项，根据题中条件得出，代入通项化简不等式，分奇偶讨论，找出内满足条件的n. 【详解】（1）（1）列联表如下： 本学期语文平均成绩每周自主阅读平均时间 不低于110分 低于110分 合计 不低于 18 2 20 低于 6 24 30 合计 24 26 50 零假设：学生的语文成绩与自主阅读时间没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即学生的语文成绩与自主阅读时间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）（2）（ⅰ）设表示该学生第天选择语文， 表示该学生第天选择英语， 则，，，， 所以该学生第二天选择语文的概率为． （ⅱ）记该学生第天选择语文的概率为，，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ， 由题意，只需，即， 则，即， 当为偶数时，显然不成立； 当，，，…，时，考虑的解， 当时，显然成立； 当时，显然不成立， 由单调递减得，，…，时，显然也不成立， 综上，从第1天到第15天中，该学生选择语文的概率小于选择英语概率的天数为1． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $