河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-计数原理

**基本信息** 高二暑假数学专项测试卷聚焦排列组合与二项式定理，以校运会报名、区域着色等真实情境为载体，通过分层设问考查运算能力与推理意识，适配暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列数计算、二项式系数|如第4题校运会报名，考查分步乘法计数原理| |多选题|3/18|组合数性质、二项式展开式|第11题结合排队问题，融合相邻与不相邻排列| |填空题|3/15|课程表排列、数字组成|第13题课程表安排，体现实际应用| |解答题|5/77|二项式定理综合、排列组合应用|第16题从选代表到指定辩手，分层考查组合与排列；第19题排队问题综合捆绑法与插空法，培养逻辑推理|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（4） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（     ） A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为（     ） A．15 B．25 C．30 D．35 3．用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A．240 B．210 C．180 D．150 4．校运会开始了，高二某班四位同学报名参加百米､跳高､跳远三个项目，每人只能报其中一个项目，则有（    ）种不同的报名方案. A． B． C． D． 5．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为（   ） A．60 B．80 C．120 D．160 6．5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（     ） A．20种 B．25种 C．30种 D．150种 7．4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（    ） A．36种 B．72种 C．144种 D．576种 8．如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知且、，则（    ） A． B． C． D． 10．已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 11．名女生和名男生随机站成一排，下列计算正确的是（    ） A．名女生站在一起，名男生也站在一起的站法有种 B．名女生互不相邻，名男生也互不相邻的站法有种 C．男生甲不站排头，女生乙不站排尾的站法有种 D．每名女生旁边都有男生的概率为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知二项式的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为____． 13．某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，上、下午均有一节数学课，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，则不同的排法有__________种.（用数字作答） 14．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）二项式展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求二项式系数的最大值； (2)求展开式中所有项的系数和； (3)求展开式中的常数项． 16．(本小题15分）班上每个小组有8名同学，现要从每个小组选3名同学代表本组与其它小组进行辩论赛. (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三辩手，那么每个小组有多少种选法? 17．(本小题15分）已知二项式． (1)若其展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，求的值； (2)若，求展开式中所有的有理项； (3)设展开式中的各项系数和为，则当时，求除以所得余数．（参考数据：，，） 18．(本小题17分）已知． (1)求的值（数据：）； (2)求的值； (3)证明：能被1000整除． 19．(本小题17分）4名男生和4名女生排成一排.(用数字作答) (1)如果女生全排在一起，有多少种不同的排法? (2)如果女生都不相邻，有多少种不同的排法? (3)这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A B C B ABC BC 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】，故B正确. 2．B 【详解】，展开式的通项为. 令，得；令，得，. 所以的展开式中的系数为. 3．C 【详解】数字不能放首位，所以优先考虑首位，其他位置可以任选，共有个没有重复数字三位数. 4．B 【详解】要完成的是“高二某班四位同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，由分步乘法计数原理可得，共有(种)报名方法． 5．A 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，，， 则的展开式中的通项为：，， 令，解得，故该展开式中的系数为. 6．B 【详解】将5名医生分为3个不区分次序的支教组，且每组至少1人，人数分配共两类： 人数为1,1,3的分组：从5人中任选3人组成3人组，剩余2人各为1组， 由于两个1人组无序，无重复计数，该类分组数为种； 人数为2,2,1的分组：先从5人中选2人组成第一个2人组，再从剩余3人中选2人组成第二个2人组， 剩余1人单独成组，由于两个2人组无序，需消除重复计数，故该类分组数为种， 根据分类加法计数原理，总分组方式共有种. 7．C 【详解】第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种， 因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种. 8．B 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论，当与同色时，只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数，当与不同色时，需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数，所以总着色方法为种. 9．ABC 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对； 对于B选项，由组合数的性质可得，B对；对于C选项，，C对； 对于D选项，当时，， 当时，，D错. 10．BC 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 11．BCD 【详解】选项A：将名女生、名男生分别捆绑为个整体，两个整体全排列，再分别内部全排列， 总站法为种，A错误； 选项B：要名女生和名男生都互不相邻，仅能为“男女男女男女男”的排列结构， 总站法为种，B正确； 选项C：总排列数为，减去甲站排头的种、乙站排尾的种， 再加回多减的甲站排头且乙站排尾的种，总站法为种，C正确； 选项D：总排列数为，满足条件的情况分两类： ①女生都不相邻：先排名男生，再将女生插入个空隙中，共种； ②仅有名女生相邻：先选名女生捆绑，排名男生，将捆绑整体插入男生中间个空隙， 再将剩余名女生插入不与该整体相邻的个空隙，共种； 所求概率为，D正确. 12． 【详解】因为二项式展开式的所有二项式系数之和为，解得； 二项式的展开式通项为： ，其中， 令，解得，所以，因此常数项为. 13．576 【详解】先安排上午连上的语文课，则可能有3种，再安排数学课，上午还剩下两节课， 所以上午数学课有2种选择，下午有四节课，所以下午数学课有4种选择， 最后安排英语、物理、体育、音乐，共种，所以共种. 14．48 【详解】由题意，组成没有重复数字且比30000大的正整数， 所以万位只能在3，4中二选一，共有2种选法， 其余4个数，分别排在千位、百位、十位和个位，共有种排法， 所以由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为. 15．【详解】（1）由展开式前三项的二项式系数和为22， 得，化简得，即， 因为，所以.所以二项式的展开式中二项式系数的最大值为. （2）令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为. （3）二项式的展开式的通项为 ， 令 ，得 ，所以展开式中的常数项为 . 16．【详解】（1）选法种数为种. （2）选法种数为 种. （3）选法种数为 种. 17．【详解】（1）二项式展开式中，第项的二项式系数为，因此第3项二项式系数为，第4项二项式系数为，由题意得：，代入组合数公式，， 化简得：. （2）时，二项式展开式的通项为： 有理项要求的指数为整数，即为整数，故为3的倍数，可取： ：,：,：, （3）求除以的余数令， 得展开式各项系数和， 二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，即除以所得余数为 18．【详解】（1）由 ， 有 ．又由， 有． 可得 =59 049． （2）由， 有，可得=20． （3）由 ． 即． 因为是整数，所以能被1 000整除． 19．【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样和4个男生合在一起有5个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，4个女生间又有种排法，因此共有（种）不同排法． （2）（插空法）先排4个男生，有种排法， 这4个男生之间和两端有5个位置，从中选取4个位置排女生，有种排法， 因此共有（种）不同排法． （3）（特殊元素法）当甲排在最右端时，该情况同时满足“甲不站左端”和“乙不站右端”两个条件，此时其余7人全排列，有种；当甲不在最右边时，由于甲也不能在最左端，所以甲可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙不能在最右端，也不能在甲已选位置，所以乙有6个位置可选，有种，其余人全排列，有种，共有种． 由分类加法计数原理，共有（种） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $