河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-函数与导数

**基本信息** 聚焦导数应用，通过基础辨析、实际问题建模及综合探究，分层考查数学推理与运算能力，适配高二暑假专项巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|切线方程、极值点、平均变化率|基础概念辨析，如第4题结合导数判断极大值点| |多选题|3/18|导数性质、函数奇偶性|多维度辨析，如第10题综合零点与单调性| |填空题|3/15|最值、不等式解集、零点个数|抽象问题转化，如第14题整数参数零点问题| |解答题|5/77|切线方程、单调区间、粮仓容积最值、极值与恒成立|分层递进，如第17题以古代粮仓为情境考查导数应用，第18题三问综合极值、单调性与存在性问题|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（2） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，则（     ） A．3 B． C． D． 2．已知曲线在点处的切线为，则（     ） A．2 B．1 C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，存在，使得能成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则f 10．已知函数（），则（     ） A．函数的图象过点 B．，使得函数是奇函数 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数有三个不同零点，则 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．在上单调递增 B．是的极大值点 C．在区间内的值域为 D．有且只有1个零点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数的最小值为____________ 13．已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 14．设为整数，且函数在区间内正好有两个不同零点，所有满足条件的整数的和为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极小值，求实数的值. 16．(本小题15分）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 17．(本小题15分）我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为，若不计壁厚，设该粮仓容积为，圆柱的底面半径为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)求该粮仓容积的最大值． 18．(本小题17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D D D BC ABD 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】由求导得，所以． 2．C 【详解】因为，所以， 又因为切线方程为：，斜率为，所以，解得. 3．B 【详解】由求导得 ， 因. 4．C 【详解】因为函数的定义域为，且，令，解得或；令，解得；可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为. 5．D 【详解】因为，所以函数在区间上的平均变化率为. 6．D 【详解】因为对任意，均有，所以， 构造函数，则， 因此在上恒成立，即是上的单调递减函数. 因为，由单调性得，即，化简得. 因为，由单调性得，即，化简得. 因此，. 7．D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解．当时， ，故，即实数的取值范围是． 8．D 【详解】由题意只需即可，，令得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，所以，解得． 9．BC 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误． 10．ABD 【详解】对于选项A，，与的取值无关，因此函数的图象恒过点，故选项A正确；对于选项B，若为奇函数，则满足对任意成立， 即，化简得，，所以，此时是奇函数，因此存在满足条件，故选项B正确； 对于选项C，，若在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故选项C错误； 对于选项D，若有三个不同零点，则有两个不同实根，即， 此时极点为，极大值，时恒大于0； 极小值，解得，因此，故选项D正确. 11．BD 【详解】令，解得. 对于A，当，单调增，当，单调减，A错误； 对于B，在单调增，在单调减，故是的极大值点，B正确； 对于C，在的最大值为.故在的最大值不是，C错误； 对于D，当时，恒成立，即在无零点，易知，在单调减，则在有且仅有一个零点，所以有且只有1个零点，D正确. 12． 【详解】函数定义域为，. 令，得故（负根舍去）， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以在处取得最小值 13． 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；，又不等式等价为：或， 得或，所以不等式的解集为． 14． 【详解】由可得，令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ，由可得，如下表所示： 减 极小值 增 极大值 减 又因为，，则，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因为，故实数的取值集合为， 因此满足条件的整数的和为. 15．【详解】（1）当时，，则， 又，则， 故所求切线方程为，即. （2）， 令得或，在处取得极小值，或， 若，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极小值，符合题意； 若，即，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极大值，不合题意，舍去；综上所述，． 16．【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为， 且，令，得；令，得或； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 则的极大值为，极小值为． （2）解：由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 又由，可得，所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 17．【详解】（1）由题意可知圆柱体的高为，所以， 因为，所以. （2） 所以当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在时取最大值，最大值为.所以粮仓容积的最大值为. 18．【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数，求导得， 由在单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立， 因此，．设，，， 则在上单调递增，于是，即，所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，．当时，， 即在上单调递增，， 函数，，，求导得． 由，得，函数在上单调递减，则． 因此，解得，所以 的取值范围为． 19．【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数，所以． 因为，所以，所以，所以函数的值域为． （2）由题意知，.因为， 所以是偶函数，当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得．故实数的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $