河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-复数

**基本信息** 高二暑假复数专项测试，覆盖复数概念、运算及几何意义，题型分层设计，解答题综合考查逻辑推理与运算能力，适配暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、共轭复数、复平面坐标|基础概念辨析，突出数学眼光的抽象能力| |多选题|3/18|复数分类、几何意义、模的运算|选项分层，考查数学思维的推理意识| |填空题|3/15|模的最值、方程根、纯虚数应用|情境简洁，体现数学语言的符号表达| |解答题|5/77|复数运算、纯虚数判定、方程根与韦达定理|多问递进，综合数学思维与语言，适配高考真题趋势|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 2．若复数，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则共轭复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 7．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 8．已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知复数，其中，是虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为纯虚数，则或1 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10．已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 11．已知复数，，，则下列结论正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C． D．若是实系数方程的一个根，则另一个根为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知为复数，则的最小值为___________． 13．若复数是关于的方程的一个根，则________． 14．已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知是虚数单位，复数，． (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．(本小题15分）已知复数满足，且的实部大于0．设． (1)求复数； (2)若复数是关于的实系数二次方程的一个根，求，的值． 17．(本小题15分）复数，当实数m取什么值时 (1)z为实数； (2)z为纯虚数； (3)复数z在复平面内对应点在第三象限． 18．(本小题17分）已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 19．(本小题17分）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B A C B A AB BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】可知，则虚部为. 2．B 【详解】因为，所以. 3．B 【详解】，则共轭复数为，虚部为. 4．B 【详解】因为，所以对应点的坐标为. 5．A【详解】依题意，复数，则， 所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限. 6．C【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 7．B 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 8．A 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 9．AB 【详解】选项A，当时，则，所以，因此，选项A正确； 选项B，当时，则，所以，选项B正确； 选项C，若为纯虚数，则，解得，所以选项C错误； 选项D，若在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得或，因此选项D错误. 10．BCD 【详解】. 选项A，虚部为，错误. 选项B，，所以，正确. 选项C，，正确. 选项D，对应点，位于第二象限，正确. 11．BCD 【详解】对于A，，实部是1，虚部是，不是纯虚数，A错误. 对于B，，， 所以，B正确. 对于C，由B知，，所以，C正确. 对于D，实系数方程的虚根共轭成对，若是根，则另一个根是它的共轭，D正确. 12． 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离； 表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为． 13．9 【详解】方法一：因为是关于方程的一个根， 所以， 所以，所以. 方法二：因为是关于方程的一个根，所以另一个根为， 由韦达定理可得：；. 所以. 14． 【详解】设（且），将其代入原方程得： 整理得： 列方程组： 由第二个方程，，故，解得. 将代入第一个方程，得，即. 根据复数模的运算性质：对任意复数，， 因此. 代入，得， 则： 因此. 15．【详解】（1）当时，，所以， 所以． （2）， 因为复数是纯虚数，所以， 解得， 所以． （3）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即， 所以，实数m的取值范围是． 16．(1) (2)，． 【详解】（1）设，则． 代入得， 即．             由复数相等得, 由的实部大于0，即，解得，，         此时．                 则． （2）由（1）知，其共轭复数．         因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为， 由韦达定理，         ，         故，． 17．【详解】（1）， 由为实数，则，解得. （2）由为纯虚数，则，解得. （3）由复数在复平面上的对应点为，该点在第三象限， 则，故，解得. 所以. 18．【详解】（1）设，， ; （2）原式. 19．【详解】（1）复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $