河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高二优班5月份数学测试卷

**基本信息** 以电影《志愿军雄兵出击》观影座位排列、蔚县剪纸非遗考核等真实情境为载体，融合概率统计、排列组合、导数应用等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高二优班周测能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|条件概率、相关系数、二项式定理|第2题结合候鸟温度关系考负相关判断，体现统计应用| |多选题|3/18|排列组合、二项分布、正态分布|第9题多角度考查相邻/不相邻排列，培养严谨思维| |填空题|3/15|概率公式、导数极值点|第13题通过函数极值点个数考参数范围，深化逻辑推理| |解答题|5/77|排列组合应用、导数综合、概率分布|15题以电影观影座位考相邻不相邻排列，19题非遗工作室艺人考核考超几何分布，凸显文化传承与实际应用|

2025--2026学年第二学期高二年级优班5月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 2．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 3．已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．由数字，，，组成的无重复数字的位数中，比 大的数的个数为(      ) A． B． C． D． 5．的展开式中常数项为（    ） A．-20 B．20 C．-924 D．924 6．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 7．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．有6个人排成一排，下列说法正确的是（   ） A．甲乙相邻的排法有240种 B．甲乙不相邻的排法有144种 C．甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D．甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 10．下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，，则 B．相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X服从正态分布 ，且，则 11．已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知随机事件，满足，，则______． 13．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 14．设，则为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 16．(本小题15分）已知函数． (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：； (3)设P是曲线上的动点，P在何处时，曲线在P处的切线斜率最小？（结论不要求证明） 17．(本小题15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 18．(本小题17分）已知，. (1)求的值； (2)证明：. 19．(本小题17分）蔚县剪纸核心工序包括画样、刻制、染色3道关键工序，艺人的工序水平直接决定作品质量．某蔚县剪纸非遗工作室有若干个剪纸小组，其中某小组有10名艺人，按工序水平分为两类：4名艺人精通全部3道核心工序（记为“核心艺人”），6名艺人精通其中工序（记为“熟练艺人”）．现从该小组随机抽取5名艺人完成一批剪纸作品，按工序水平分类统计． (1)记抽取的5名艺人中，核心艺人的人数为，求的分布列及数学期望； (2)已知1名核心艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，1名熟练艺人完成1件剪纸作品达到优秀的概率为，现对该小组进行内部考核，从10名艺人中随机选1名，让其独立完成3件剪纸作品，记优秀作品的件数为，若优秀作品件数的数学期望，则考核有希望通过，判断考核是否有希望通过． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B D D D A ACD ABD 题号 11 答案 AB 1．【详解】设事件表示“第一次抽到语文题”，事件表示“第二次抽到数学题”， 则，，故. 2．【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，所以y与x负相关，所以A正确，D错误；当时，，所以约为， 所以B，C错误. 3．【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为，∴ ，即，解得. 4．【详解】根据题意，按千位数字分两类计算符合条件的四位数： 千位数字为3时，剩余三个数位由0,1,2全排列，排列数为，所得四位数均大于2025. 千位数字为2时，按百位数字进一步细分： 百位数字为1或3时，百位有2种选择，剩余两个数位由余下的2个数字全排列， 排列数为，所得四位数均大于2025. 百位数字为0时，剩余两个数位由1,3排列，得到2013与2031， 其中仅2031大于2025，共1个符合条件的数.因此，千位为2的符合条件的四位数共有个. 综上，比2025大的无重复数字的四位数共有个. 5．【详解】因为，展开式的通项公式为， 则当时为常数项. 6．【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件.则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 7．【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得，综上可得. 8．【详解】，.函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解；在上有解，即. 令，；在上单调递减， 时，取得最大值；，即实数的取值范围为. 9．【详解】对于A，因为甲乙相邻，所以甲乙相邻的排法有种，因此本选项说法正确； 对于B，6个人排成一排，共有种排法，因为甲乙相邻的排法有240种， 所以甲乙不相邻的排法有种，因此本选项说法不正确； 对于C， 当乙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头，乙不在排尾的排法有种，所以本选项说法正确； 对于D，当乙或丙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙，丙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头并且乙丙相邻的排法有种，所以本选项说法正确. 10．【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B正确； 对于C，在线性回归分析中，若值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 11．【详解】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立，则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. 12．【详解】因为，，所以． 13．【详解】函数的定义域为，且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得，即实数的取值范围为. 14．【详解】已知， 则令，有. 令，有， 两式相减得． 15．【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； （4）先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 16．【详解】（1）由得． 令，即，得或．又， 所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与． （2）设因为， 令得，令得，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，所以. （3）由（1）可得，当时，最小， 代入可得，所以当P的坐标为时，曲线在P处的切线斜率最小． 17．【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数的零点个数为2．，理由如下：因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，，则． 由（2）知，在上单调递增．因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 18．【详解】（1）由二项式定理得，的展开式的通项为： ，因为，所以， 故，所以， 此处可看作在 处时的值，则. （2）由（1）知， ，， 由得，， 故，则，所以， 令 ，则 ， . 19．【详解】（1）由题意知，10名艺人中有4名核心艺人，6名熟练艺人，随机抽取5名艺人，其中核心艺人的人数服从超几何分布，参数为，，．     所以，， ，，．     故的分布列为 ． （2）（方法一）设事件为“抽到核心艺人”，则事件为“抽到熟练艺人”， 所以，．     若抽到核心艺人，则其完成件作品中优秀作品数，所以．     若抽到熟练艺人，则其完成件作品中优秀作品数，所以．     所以，     所以，考核有希望通过．     （方法二）设事件为“抽到核心艺人”，则事件为“抽到熟练艺人”， 所以，．     若抽到核心艺人，则其完成件作品中优秀作品数； 若抽到熟练艺人，则其完成件作品中优秀作品数．     由题意知，的所有可能取值为，，，， 所以，， ，．     所以的分布列为 所以，     所以，考核有希望通过． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $