河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学双休自主学习测试卷（10）

**基本信息** 以生活情境与逻辑推理为核心，分层考查排列组合、二项式定理及导数应用，适配高二周测巩固与能力提升需求，如“志愿者安排”“马拉松照相”等题体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分类加法计数原理、二项式系数和|结合“伊宁至乌鲁木齐出行”生活情境，基础与中档题梯度分布| |多选题|3/18|函数零点与极值、排列组合应用|如第10题综合考查捆绑法与插空法，培养批判性思维| |填空题|3/15|二项式系数最大项、函数零点|第14题通过导数研究零点个数，强化数学抽象| |解答题|5/77|导数综合应用、排列组合实际问题|15题分层设问切线方程、单调性及参数范围，19题结合志愿者工作考查复杂排列，突出逻辑推理与运算能力|

2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（10） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．小明要从伊宁市去乌鲁木齐参加学科竞赛，他既可以选择坐火车，也可以选择乘飞机，火车每天有3趟，飞机每天有4次航班，那么小明在一天中从伊宁市去乌鲁木齐有多少种不同方法？（   ） A．12 B． C．7 D． 2．的展开式中的系数是（     ） A．40 B．30 C． D． 3．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 4．函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 7．甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 8．已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知，则下列说法正确的有（    ）． A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 10．已知3名女同学与5名男同学站成一排，则（   ） A．不同排法数为 B．3名女同学站在一起的排法数为 C．3名女同学两两不相邻的排法数为 D．3名女同学都不站两端的排法数为 11．下列说法正确的是（   ） A． B．若 则 C．被整除的余数为 D．精确到的近似数为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．计算的值为___________．（用数字作答） 13．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 16．（本小题分）给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 17．（本小题分）在的二项展开式中． (1)若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求值； (2)若，求展开式通项和展开式中含项的系数； (3)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值． 18．（本小题分）已知展开式中前三项的二项式系数和为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项. 19．（本小题分）现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. (1)两端要站女生，有多少种不同的站法？ (2)若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ (3)女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ (4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A D C D AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由题意，根据分类加法计数原理，小明在一天中从伊宁市去乌鲁木齐有种不同方法. 2．C 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，的幂指数等于2，求出，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意： 令，即 故展开式中的系数为. 3．D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 4．A 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 5．A 【分析】求导后参变分离可得在上恒成立，结合其单调性即可得解. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则，即在上恒成立， 由的解析式可知其在区间上单调递增， 所以，则，则的最大值为. 6．D 【详解】在中，偶数次项系数为正，奇数次项系数为负， 所以，取， 可得， 故所求式的值为. 7．C 【分析】按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排“赛道引导”工作的人数分为两类， 第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法， 再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法， 若“终点服务”工作安排一人，则有种方法， 所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法， 第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 8．D 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 9．AC 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 10．BCD 【分析】根据排列知识，结合捆绑法、插空法及特殊位置法求解即可. 【详解】若3名女同学与5名男同学站成一排，则不同排法数为，A错误； 由捆绑法可得，3名女同学站在一起的排法数为，B正确； 由插空法可得，3名女同学两两不相邻的排法数为，C正确； 若3名女同学都不站两端，则从5名男同学中选2名进行排列，剩余3名男同学与3名女同学进行全排列， 则3名女同学都不站两端的排法数为，D正确. 11．ABD 【详解】对于A，由二项式定理可得，故A正确； 对于B，已知， 展开式的通项为， 由此可知，系数正负交替， 因此各项系数的绝对值之和等于展开式的各项系数之和， 令，代入，得到系数绝对值之和为， 即， 令，代入，得， 所以，故B正确； 对于C，， 因为能被整除，因此除以的余数等价于除以的余数， 在正整数范围内，除以的余数是，即除以的余数是，故C错误； 对于D，，故D正确. 12．6 【详解】， ． 13． 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式通项公式求解. 【详解】对于二项式，当为偶数时，中间项（第项）的二项式系数最大. 本题中（偶数），因此第项的二项式系数最大，此时. 二项式的通项为 将代入通项 因此，该项的系数为. 14． 【分析】令，则问题可转化成函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得结果. 【详解】，令， 函数 有两个零点等价于函数与函数的图象有两个交点， ，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增， 所以，，，如图所示，所以实数的取值范围是. 15．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，解导数大于0，小于0的不等式即可. （2）由（1）作出大致图象. （3）结合（2）的图象，求出函数的图象与直线的交点个数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，， 函数的大致图象，如图： （3）方程解的个数等价于函数的图象与直线的交点个数， 由（2）知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 17．(1) (2)通项为，含项的系数为 (3)最小正整数 【分析】（1）根据求解即可. （2）利用二项展开式的通项计算可得结果； （3）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【详解】（1）因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以, 所以 （2）当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 （3）展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【详解】（1）因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； （2）因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； （3）设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 19．(1)720 (2)960 (3)2520 (4)3720 【分析】（1）先排两端的女生，再排其余学生，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （2）先排无特殊要求的男生，再将相邻的女生甲乙捆绑成一个整体，最后把 “甲乙整体” 和女生丙插入男生形成的空隙中，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （3）先计算 7 人无限制的全排列总数，再利用定序问题的对称性，甲在乙右方的情况占总排列数的一半，直接除以 2 得到结果即可； （4）用间接法，先计算 7 人无限制的全排列总数，再减去甲在左端、乙在右端的不符合条件的情况，最后加回重复减去的 “甲在左端且乙在右端” 的情况，得到站法总数即可. 【详解】（1）优先排两端的女生：从3名女生中选2名排在两端，则， 排中间5个位置：剩余5人全排列：， 所以. （2）先排4名男生，形成5个空隙：， 将甲乙捆绑成一个整体，内部排列：， 从男生形成的5个空隙中选2个，分别放入“甲乙整体”和丙（两者不相邻）： ， 所以. （3）7人全排列：， 甲在乙的右方与甲在乙的左方的情况数相等，各占一半： . （4）7人全排列：， 甲在左端：， 乙在右端：， 甲在左端且乙在右端：， 所以. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $