河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-函数和导数

**基本信息** 高二暑假数学专项测试卷聚焦导数应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查切线方程、单调性、极值等核心知识，体现数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|切线方程（第1题）、导数计算（第2题）|基础概念辨析，突出运算准确性| |多选题|3/18|函数单调性（第9题）、不等式成立区间（第11题）|多角度考查，体现批判性思维| |填空题|3/15|函数最值（第12题）、单调递减区间存在性（第13题）|简洁设问，注重知识迁移| |解答题|5/77|切线与最值（第15题）、单调性与恒成立（第16题）、零点个数（第18题）|分层设计，从基础应用到综合探究，契合高考导数命题趋势|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（3） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则可以是（    ） A．0 B． C． D． 6．下列图象与函数图象最符合的为（    ） A．B．C． D． 7．若函数的极小值点为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 8．设，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10． 已知函数，存在使得能成立，则的值可以为（    ） A．－1 B． C．1 D．2 11． 不等式成立的区间有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数的最小值为________. 13．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 14．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分） 设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 16．(本小题15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 18．(本小题17分）已知函数，其中． (1)若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； (2)若有3个不同的零点，求的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：当时，． (3)求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A C D C D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】，，所以切线方程为，即. 2．B 【详解】因为，等式两边求导得， 所以，解得. 3．D 【详解】对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为是常数，由常数的导数为0，得，故B不正确； 对于C，因为，故C不正确； 对于D，因为.故D正确. 4．A 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 5．C 【详解】， ，， ，. 6．D 【详解】,所以为偶函数，故排除A. 讨论在时的图象性质. ,令. 根据的符号可知，在单调增，在单调减. 故排除B、C.故答案选D. 7．C 【详解】函数的定义域为，， 因为是的极值点， 所以，解得， 若，则， 时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以确实是的极小值点，符合题意，综上，． 8．D 【详解】设，则， 当，在上单调递增，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以即. 9．ABD 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，，在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 10．ABC 【详解】的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减． 且，故存在使得能成立，故A正确． （ⅱ）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 当时，取得最小值，最小值为． 故只需，又与均递增， 故单调递增，故， 综上所述正确． 11．BCD 【详解】设，则， 因，故，即在全体实数集上单调递增. 对于A，当时，，即得，故A错误； 对于B，当时，，即得，故B正确； 对于C，当时，，即得，故C正确； 对于D，当时，，即得，故D正确. 12．－2 【详解】函数，则， 令，得或（舍），当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 则当时，函数有极小值，即最小值为. 13．【详解】∵函数，∴在上能成立， ∴能成立，由于的值域为，所以即可. 14．【详解】令，， 故在上单调递增，已知，则， 不等式等价于，即，在上单调递增， 故，解得或，解集为． 15．【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16．【详解】（1）当时，，定义域为，所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）因为函数，定义域为， 所以，因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减，因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 17．【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又斜率，故切线方程为：，即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立，即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为，所以在上恒成立, 即，解得，故的取值范围为． 18．【详解】（1）（i）函数，求导得， 由在处的导数为0，得，所以. （ii）由（i）得，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数在区间上的值域为. （2）由（1）知，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得，解得， 所以的取值范围是. 19【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. (2)当时，不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 因此当时，，即， 所以当时，. （3）函数的定义域为，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，函数在上单调递减，，而， 则当时，，函数在上单调递增； 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，，则，函数，即在上单调递减， ，函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $