河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（8）

**基本信息** 高二数学双休测试卷聚焦函数导数、排列组合等核心知识，以滑县木版画利润计算等真实情境题，融合数学思维与应用意识，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合与坐标（第1题）、函数切线（第2题）|基础概念与逻辑推理结合| |多选题|3/18|函数极值（第11题）、排列不相邻问题（第10题）|多维度辨析与综合应用| |填空题|3/15|“驼峰数”计数（第12题）、木版画利润最值（第13题）|文化情境与数学建模| |解答题|5/77|导数单调性（第17题）、零点问题（第18题）|分层设问，深化逻辑推理与运算能力|

2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（8） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第三、四象限内不同点的个数是(　　) A.18 B.16 C.14 D.10 2.已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A.4   B.8   C.0   D.-8 3.若，则正整数的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或3 4.函数y＝的大致图象可能是() A. B. C. D. 5.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　) A.144 B.72 C.36 D.12 6.某班级计划周一前五节课安排语文、数学、外语、物理、化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则不同的课表排法的种数为(　　) A.24 B.36 C.72 D.144 7.设函数，则满足的的取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.若函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 10.身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B.A与同学不相邻，共有种站法 C.A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 11.已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点可作曲线的两条切线 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”．由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有                  个，其中偶数有                  个． 13.滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为                  元/套时，月利润最大． 14.设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则                   ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题分）已知（，且）. (1)当时，求的值； (2)若，求的值. 16.（本小题分） 设函数，曲线在点处的切线斜率为1. （1）求a的值； （2）设函数，求的最小值. 17.（本小题分）已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）讨论极值点的个数. 18.（本小题分）已知函数f(x)＝xlnx＋(a－1)x2(a∈R)． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)＝0在(0，＋∞)内有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 19.（本小题分）已知函数f(x)＝xlnx. (1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围； (2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值． 参考答案： 1.【答案】D 【解析】分两类：第一类，从M中取的元素作为横坐标，从N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有3×2＝6(个)；第二类，从M中取的元素作为纵坐标，从N中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有1×4＝4(个)．由分类加法计数原理，知所求个数为6＋4＝10. 2.【答案】B 【解析】将直线化为斜截式，其斜率为. 因为函数的图象与直线在点相切，所以. 又因为点既在图象上，也在直线上， 将代入直线方程，解得. 则. 故答案选B. 3.【答案】D 【解析】对于，则有或. 得或，经检验均符合正整数要求. 故选：D. 4.【答案】D 【解析】当x＝e时，y＝1，即函数过点(e,1)，排除A； ∵y＝，∴y′＝－，x>0且x≠1， 当x>1时，y′(x)<0，函数单调递减；当0<x<1时，y′(x)<0，函数单调递减，排除B，C.故选D. 5.【答案】A 【解析】先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法． 6.【答案】B 【解析】由于数学和物理都不排在第一节，所以可先从其他3门课中任选1门排在第一节，有3种方法；然后将含数学和物理的4门课排在第二至第五节：先排数学和物理之外的两门，有A种排法，再把数学和物理插入到这两门课形成的3个空位中，有A种排法．根据分步乘法计数原理，可知有3AA＝36种不同的课表排法． 7.【答案】A 【解析】由,得, 故为奇函数., 因为, 所以恒成立, 故在上单调递增. 由,得, 因为为奇函数, 所以, 故. 因为在上单调递增, 所以, 即. 设,的定义域为,, 故在上单调递增. 由,得等价于g(x) < g(1) , 故. 故选:A. 8.【答案】A 【解析】由得,即. 函数有三个不同零点等价于直线与曲线有三个不同交点. 由得. 因为, 所以当或时,,单调递减; 当时,,单调递增. 故的极小值为,极大值为. 当时,,,故; 当时,增长速率远大于,故; 又当时,,故. 由直线与图象有三个不同交点，得. 故选:A. 9.【答案】BC 【解析】A选项，由题意得，令， 解得，A错误； BCD选项，， 所以，BC正确，D错误. 故选：BC. 10.【答案】ABD 【解析】对于A，六位同学全排列为， A、C、D三位同学固定从左到右由高到矮顺序， 需除以，即种站法，A正确. 对于B，先排B、D、E、F，有种站法，A与C插空， 有种站法，共种，B正确. 对于C，A、C、D捆绑，A在C与D中间有2种情况， 捆绑后与其余排列有种，共种，C错误. 对于D，A在排尾时，有种； A不在排头排尾时，A有种，B有种， 其余种，共种. 总计种，D正确. 故选：ABD． 11.【答案】AC 【解析】对于选项A：函数的定义域为R，． 令，得或， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是极值点，A正确． 对于选项B：由选项A可知极大值，极小值， 又，， 所以函数在定义域上有3个零点，B错误． 对于选项C： 所以点是曲线的对称中心，C正确． 对于选项D：设切点为， 切线的方程为， 代入，可得，解得． 所以过点的切线有1条，D错误． 故选：AC． 12.【答案】8　5 【解析】十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．偶数为214,312,314,412,324，共5个． 13.【答案】50 【解析】设A系列木版画的月利润为，则，， 可得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，利润取到极大值，也是最大值， 即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大． 故答案为：50. 14.【答案】 【解析】， ， . 令，得， ， 故的对称中心为， 即. 令， 则， 两式相加得. 其中（），共组， ， 故， 即. 15.【答案】解：(1)当时,. , 故. (2)因,得. 即, 故. 所以, 解得. 16.【答案】解：（1）由题意得的定义域为，， 因为，所以，解得． （2）因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： 所以在的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以. 17.【答案】解：（1）当时，函数且其定义域为， 对函数求导得， 令，解得，则函数在单调递增； 令，解得，则函数在单调递减， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）函数求导得， 当时，显然，所以函数上单调递增， 即函数极值点的个数为个； 当时，显然由两个根， 故解关于方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 18.【答案】解(1)当a＝1时，f(x)＝xlnx，x>0，f′(x)＝1＋lnx，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为k＝1，切点为(1,0)，则切线方程为y＝x－1. (2)f(x)＝0在(0，＋∞)内有两个不相等的实数根， 即1－a＝在x>0时有两个不相等的实数根． 令g(x)＝，x>0，则g′(x)＝， 当x>e时，可得g′(x)<0，g(x)单调递减； 当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)的极大值，即最大值为g(e)＝. 作出其大致图象，如图所示， 由g(x)的图象可得0<1－a<即有1－<a<1. 故所求实数a的取值范围为. 19.【答案】解(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1. ∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数， ∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0， 即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立． ∴a≥－1－ln x. 又当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x∈(－∞，－3]， ∴a≥－3， 即a的取值范围为[－3，＋∞)． (2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3， 即mx≤2xln x＋x2＋3.又x>0， ∴m≤. 令h(x)＝，则 h′(x)＝ ＝ ＝， 令h′(x)＝0；解得x＝1或x＝－3(舍去)． 当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∴h(x)min＝h(1)＝4，∴m≤4， 即m的最大值为4. 第11页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 $