专题03 基本不等式（6大题型）(专项训练)高一数学北师大版2019必修第一册

专题03 基本不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、基本不等式的认识与理解 1 题型二、直接用不等式求最值 2 题型三、配凑法（换元）求最值（常考点） 2 题型四、条件等式求最值（必考点） 3 题型五、对勾函数求最值（易错点） 4 题型六、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、基本不等式的认识与理解 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 题型二、直接用不等式求最值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 3．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 4已知，且，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 5.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 题型三、配凑法（换元）求最值（常考点） 1 当时，函数的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．9 2 已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 3．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．函数，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型四、条件等式求最值（必考点） 1．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 4．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 5．（2025高一·全国·专题练习）已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 7．（24-25高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 8．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 10．（24-25高一下·河南·开学考试）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 11．（2025高一·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 题型五、对勾函数求最值 一、多选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 2．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 二、填空题 3．（2023高一·全国·专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 题型六、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 一、单选题 1．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 7．已知函数． (1)解不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 8．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．（25-26高一上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 7．（24-25高一·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（24-25高一·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、解答题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 11．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、基本不等式的认识与理解 1 题型二、直接用不等式求最值 3 题型三、配凑法（换元）求最值（常考点） 5 题型四、条件等式求最值（必考点） 7 题型五、对勾函数求最值（易错点） 12 题型六、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、基本不等式的认识与理解 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．，都有 B．任意非零实数，，都有 C．，使得 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式、方程的根、基本不等式和命题的真假分析运算即可得解. 【详解】解：对于选项A，∵，， 当时，，即当时，， ∴，不恒成立，故A错误； 对于选项B，当非零实数，异号时，，不满足，故B错误； 对于选项C，取，有，故C正确； 对于选项D，函数，但是等号 成立的条件是，即，而，所以等号不成立， 所以函数的最小值不是2，故D错误； 故选：C. 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用的关系式以及均值不等式即可求出答案. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故选：B. 5．（25-26高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例． 【详解】当时，，A错； 时，满足，但，B错； 时，满足，，C错． ，则，，当且仅当时等号成立．D正确． 故选：D． 题型二、直接用不等式求最值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 2．（2025高一·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 3．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 4已知，且，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】B 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 5.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型三、配凑法（换元）求最值（常考点） 1 当时，函数的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 2 已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为，故选：D 3．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 4．若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用基本不等式计算即可. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为3． 故选：C. 6．函数，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可求得最小值为8. 【详解】由可得， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 即所求最小值为8. 故选：B 题型四、条件等式求最值（必考点） 1．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【分析】由基本不等式乘“1”法求解即可； 【详解】由， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 3．（24-25高一·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 4．（24-25高一·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 5．（2025高一·全国·专题练习）已知且，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由可得，令，利用基本不等式建立的关系求解. 【详解】由可得. 因为，所以. 令，则有. 因为， 所以 当且仅当时取等号，此时取最小值0. 故选：B. 6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题 7．（24-25高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 8．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 10．（24-25高一下·河南·开学考试）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)3(2) 【分析】（1）利用基本不等式，可得答案； （2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】（1）由，得，当且仅当时，等号成立． 故的最大值是3． （2）由，得，即． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 11．（2025高一·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 题型五、对勾函数求最值 一、多选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．函数 的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数满足，则的最小值为3 D．设，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 2．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 二、填空题 3．（2023高三·全国·专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 题型六、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 一、单选题 1．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 2．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 二、多选题 5．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 三、解答题 6．（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 7．已知函数． (1)解不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1）因为，所以， 首先，令，解得或， 当时，解，得到， 当时，，此时原不等式无解， 当时，解，得到， 综上，当时，原不等式解集为， 当时，原不等式无解， 当时，原不等式解集为， （2）因为对任意的，恒成立， 所以恒成立， 故，即， 因为，所以，， 即，故，令， 从而，又， ， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 故，即实数的取值范围为. 8．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 2．（25-26高一上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【分析】结合题意，由基本不等式求解可得. 【详解】因为，， 则， 当且仅当时取等号，即时. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形给定式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入得，由构造，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 5．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． 6．（24-25高一·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高一·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，转换为关于的二次函数即可验算；对于B，由结合基本不等式即可验算；对于C，由基本不等式即可验算；对于D，由乘一法验算即可. 【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 因为，所以当时，的最小值为1，故A正确； 对于B，， 等号成立当且仅当，故B错误； 对于C，，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 三、解答题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 11．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【详解】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$