精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

喀什二中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 2. 展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，写出通项计算可得答案. 【详解】展开式的通项为， 所以的系数为. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 4. 设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据期望定义计算 ，求解参数，从而求出期望，利用期望的性质即可求解. 【详解】由题意得， 代入分布列的概率得 ， 已知 ，因此列方程 ， 解得 ，满足 ，符合条件； 所以期望为， 因此得到. 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 6. 函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究在区间上的单调性，结合零点存在定理列出不等式组，解不等式可得答案. 【详解】因为函数，，所以在上恒成立，则在上单调递增， 要使函数在区间内有一个零点，根据零点存在定理可得：，即， 解得：，即实数的取值范围是； 故选：D 7. 3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 364 C. 432 D. 468 【答案】C 【解析】 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 8. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果. 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减； 又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示： 当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为. 故选：A. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11. 以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（ ） A. 每人安排一项工作的不同方法数为 B. 每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C. 若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D. 每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理及组合知识求解判断C，根据分步乘法计数原理求解判断D. 【详解】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人数分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为， 若丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法， 如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得. 【详解】，则，则. 13. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A､B､C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有___________种（用数字作答）. 【答案】150 【解析】 【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法； 第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A､B､C三个乡村学校去，共有种， 所以不同的选派方法共有种. 故答案为：150 14. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】的导函数为，当时，， 由时，，时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为，最大值为， 所以对于任意的，． 因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在上的值域为， 又因为存在． 由题意，得， 可得，解得． 故答案为: ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 求导，. 由点斜式得切线方程为：，即. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 令，得，. 当x变化时，，的变化情况如下表： x 3 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 16. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. （1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； （2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. 【小问2详解】 根据贝叶斯公式，可得： . 17. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】（1） （2）240 （3）140 【解析】 【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果. （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （3）根据二项式定理求出所求项的系数. 【小问1详解】 令，得，得. 【小问2详解】 的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. 【小问3详解】 中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 18. 一个袋子内装有若干个颜色为红、白、黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为． （1）求袋子内小球的个数； （2）若从中随机抽取3个小球，设取出白球的个数为，求的分布列； （3）若一次只抽取1个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的概率． 【答案】（1）8； （2） （3）．【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式，利用组合数计算样本点个数，求解未知数； （2）根据超几何概率模型计算公式，根据随机变量含义进行取值，即可得到分布列； （3）根据不放回的抽取，将事件第二次抽到黑球分解为事件第一次抽到红球，第二次抽到黑球；第一次抽到白球，第二次抽到黑球；第一次抽到黑球，第二次抽到黑球；根据全概率公式计算结果即可． 【小问1详解】 设红球、白球、黑球的个数分别为，，， 因为从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以袋子内小球的个数为8； 【小问2详解】 由（1）知，袋子内有8个小球，其中4个白球， 故的所有取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 【小问3详解】设第一次抽取的是红球、白球、黑球分别为事件，，，第二次抽取的是黑球为事件，，且，，互斥． 由全概率公式可得 ， 所以第二次抽取的是黑球的概率为． 19. 已知函数. （1）若该函数在单调递增，求的取值范围. （2）当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解； （2）构造函数，利用导数讨论其单调性，并结合即可证明. 【小问1详解】 由题意， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又该函数在单调递增，故， 综上可知，的取值范围为 【小问2详解】 当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，令， 则， 所以在上单调递减，，即， 令，则，故， 又在上单调递增，，所以， 故 【点睛】方法点晴:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略: 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围; 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什二中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 有极小值，没有极大值 4. 设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 364 C. 432 D. 468 8. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（ ） A. 每人安排一项工作的不同方法数为 B. 每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C. 若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D. 每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从二项分布，若，则______. 13. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A､B､C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有___________种（用数字作答）. 14. 已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 16. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. （1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； （2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 17. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 18. 一个袋子内装有若干个颜色为红、白、黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为． （1）求袋子内小球的个数； （2）若从中随机抽取3个小球，设取出白球的个数为，求的分布列； （3）若一次只抽取1个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的概率． 19. 已知函数. （1）若该函数在单调递增，求的取值范围. （2）当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $