24.2.2直线与圆的位置关系（2）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.2.2直线与圆的位置关系（2） 题型一、切线的判定定理的认识 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二、切线的判定条件 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 5．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 7．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 题型三、证明直线的圆的切线 8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线． 10．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 11．（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 12．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 题型四、先添加条件再证明是圆的切线 13．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 题型五、切线与作图问题 15．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是外一点． (1)如图1，过点作的一条切线，切点为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，若是的中点，且，求证：点在上． 题型六、切线的性质的有关计算 17．（2025·湖南常德·三模）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 22．（21-22九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 题型一、切线的有关多结论判断问题 23．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 24．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、切线与动点问题 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ． 26．（21-22九年级上·江西宜春·期末）如图，半圆O的直径，在中，，，．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为（s），运动开始时，半圆O在的左侧，．当 时，的一边所在直线与半圆O所在的圆相切． 题型三、切线的判定与性质综合问题 27．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 29．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 30．（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 31．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，以的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为 ． 33．（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为的直径，，，求的半径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.2直线与圆的位置关系（2） 题型一、切线的判定定理的认识 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 题型二、切线的判定条件 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 6．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 7．（17-18九年级下·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 题型三、证明直线的圆的切线 8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】根据圆周角定理推出，根据，结合三角形得内角和定理，推出，即可证明是的切线． 【详解】证明：， ． 又， ， 即， ， 是的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 11．（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 12．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 题型四、先添加条件再证明是圆的切线 13．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据切线的判定和性质，“三线合一”，三角形全等的判定和性质，进行解答即可． 【详解】解：①②为条件，③为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∵， ∴； ①③为条件，②为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴为半径， ∴直线是的切线； ②③为条件，①为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 题型五、切线与作图问题 15．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是外一点． (1)如图1，过点作的一条切线，切点为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，若是的中点，且，求证：点在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）取的中点B，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点C，作直线即可． （2）连接OC，由切线的性质可得，则∠ACO=90°．设，则， ， ，由勾股定理得，，即的半径为x，进而可知点B在上． 【详解】（1）如图，取的中点B，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点C，作直线， 则直线即为所求． 理由：如图，连接， 由作法得：， ∵B为中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∵为的半径， ∴与相切； （2）证明：（1）得，． 设，则． ∵B是线段的中点， ∴， ， 由勾股定理得，， 即的半径为x， ∴的长等于的半径的长， ∴点B在上． 题型六、切线的性质的有关计算 17．（2025·湖南常德·三模）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，先求出，再根据切线的性质得，再根据三解形内角和定理得，得，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 18．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ． 故选：B． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形外角性质，首先利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得的度数，然后根据切线的性质可得是直角三角形，然后根据直角三角形两个锐角互余进行列式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， 则， ∴． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，三角形的外角性质．连接，根据为的切线，得出，又因为，得出，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此求解即可． 【详解】解：连接，   为的切线， ， ， 又， ， ， ∴． 22．（21-22九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，可得，得到，又由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型一、切线的有关多结论判断问题 23．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 24．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 题型二、切线与动点问题 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ． 【答案】2或8或14 【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆与相切；点O与C重合时，半圆与相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键 【详解】解：∵半圆的直径， ∴半圆的半径, ①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ②如图2，当点E与D重合时，则， ∴半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ③如图3，过C作于F， ∵，， ∴， 当半圆与相切时，O到的距离等于半径， ∴点O与C重合，此时点O运动了， ∴运动时间 综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14， 故答案为：2或8或14． 26．（21-22九年级上·江西宜春·期末）如图，半圆O的直径，在中，，，．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为（s），运动开始时，半圆O在的左侧，．当 时，的一边所在直线与半圆O所在的圆相切． 【答案】1或4或7 【分析】的一边所在直线与半圆O所在的圆相切有三种情况：当点C与点E重合、点O与点C重合以及点D与点C重合，分别找出点O运动的路程，即可求出答案． 【详解】 如图，当点C与点E重合时，AC与半圆O所在的圆相切， ∵， ∴， ∴，即点O运动了2cm， ∴， 当AB与半圆O所在的圆相切时， 过点C作交于点F， ∵，， ∴， ∴，即点O与点C重合， ∴点O运动了8cm， ∴， 当点C与点D重合时，AC与半圆O所在的圆相切， ，即点O运动了14cm， ∴， 故答案为：1或4或7． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 题型三、切线的判定与性质综合问题 27．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． 29．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． （1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵与切于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的半径，且点是半径的外端点，， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为，即 ∴， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 30．（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 31．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连接，作于点F，由等边三角形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，可知当的值最小时则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点Q，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， 故选：B． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，以的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、直角三角形斜边中线的性质、中位线性质、勾股定理等知识点，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后利用中位线的性质可得圆的半径，最后根据即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，点O为的中点， ∴， 如图，设切点为点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴圆的半径为，即， ∴． 故答案为4． 33．（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的切线性质、弧与圆周角的关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直径所对圆周角为直角及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的核心性质（切线垂直于过切点的半径、弧中点对应圆周角相等、直径所对圆周角为直角）建立角的等量关系，再结合等腰三角形判定或全等三角形判定证明线段相等． （1）连接，利用切线性质得，由得；根据推出，结合对顶角，联立直角三角形的角互余关系，证得，再由“等角对等边”得； （2）延长至Q，由C是中点得；利用得，进而；根据直径性质得得，结合切线推出；从而，再用证，最终得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴，即．① ∵， ∴，即．又， ∴． 由得，， ∴．② 联立①、②知， ∴（等角对等边）． （2）证明：延长至点Q， ∵点C是的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴，③ ∵是的直径， ∴即 由得，， ∴ 由是切线，是半径知，即 ∴，④ 由③与④知，， 由是直径知：又， ∴， ∴ 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为的直径，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5． 【分析】（1）连接，并延长交于点F，根据切线性质得出，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据垂径定理得出，说明垂直平分，即可得出答案； （2）根据中位线性质得出，设的半径为r，则，根据勾股定理得出，解方程得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， 设的半径为r，则， 在和中根据勾股定理得：， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，平行线的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $