30.1.1 直线与圆相离、相切、相交（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，实现从基础概念到综合应用的递进，强化直线与圆位置关系的判定与计算，培养数学眼光观察几何关系、数学思维推理参数范围的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直线与圆位置关系判定、距离与半径关系|基础选择填空，直接应用定义（如判断位置关系、求公共点个数）| |B组|已知位置关系确定半径范围、距离计算|结合坐标系与几何图形（如矩形、三角形中求半径取值）| |C组|动态几何、函数与圆综合|含动点、存在性问题（如动点在对角线上圆与边交点问题）| |拓展|中考真题适配|选用各地中考二模、期末试题，体现实战导向|

分层作业 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 目 录 A组 巩固过关 题型01直线与圆的位置关系 题型02已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围 题型03由直线与圆的位置关系求点到直线的距离 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 直线与圆的位置关系题型01 1．（2026年四川成都市新都区中考数学二诊试卷）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 3．已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 4．圆的半径为，当圆心到直线l的距离为下列数值时，直线l和圆分别有几个公共点？它们与圆有怎样的位置关系？ (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)有2个公共点，直线与圆相交 (2)有1个公共点，直线与圆相切 (3)有0个公共点，直线与圆相离 【分析】比较圆的半径与圆心到直线l的距离的大小关系，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴直线与圆相交，有2个交点； （2）解：∵， ∴直线与圆相切，有1个交点； （3）解：∵， ∴直线与圆相离，有0个交点. 5．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围题型02 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 9．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型03 11．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 12．（2025·浙江杭州·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 13．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 15．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 【答案】 【分析】根据直线和圆只有一个公共点，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得出结果. 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵直线和圆只有一个公共点， ∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即为. 16．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 17．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 18．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 19．如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 20．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 21．中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 22．（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． 23．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 【答案】或2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．当与相切时及当过点时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当与相切时，与矩形的边有三个公共点， 四边形是矩形， ， 与相切， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可设，则， 在中，， ， ， ； 解：如图，当过点时，与矩形的边有三个公共点， 设，则， 在中，， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； 故答案为：或2． 八、C 24．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 25．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 26．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 28．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 29．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的值， 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，构建腰长为的等腰直角，和半径为的，发现在点的位置时，满足条件； 如图，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为圆心，以为半径画弧，与的交点就是满足条件的点，再以为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论取何值，以为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，以为圆心，以为半径画圆，当与相切时，设切点为，与交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当与重合时，即时，同理可知：点恰好有三个； 如图，取，以为圆心，为半径画圆， 则与除了外只有一个交点，此时，即以为顶角，为腰，符合条件的点有一个，以为圆心，以为半径画圆，与直线相离，说明此时以为顶角，以为腰，符合条件的点不存在，还有一个是以为底边的符合条件的点； 点沿运动，到时，发现与直线有一个交点； 当时，圆在移动过程中，则与除了外会有两个交点，满足点恰好有三个； 综上所述，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点． 30．（2026·河北张家口·三模）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，直线与圆的位置关系等知识，利用分类讨论思想求解是解题的关键．分情况讨论：若为直角三角形，当l与圆相切时；当直线l过点Q时；当过点Q时；分别得出，即可得到t的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ， ， 在中， ， 以为直径作，当与相切时，过作，连接， ∴， ， 在 中，， ∴ ， ， ∴ ； ①若为直角三角形，如图（1），当直线与圆相切时，， 使为直角三角形的点有，，3个，继续向右运动，直线与圆有2个交点，此时点有4个； ②当直线l过点Q时，如图（2）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， 继续向右运动，此时点有4个； ③当直线经过点时，如图（3）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， ∴由图可知，满足条件的的取值范围是或． 31．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，代入、的横坐标求出的值，得到、的坐标后，用交点式直接求出抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的坐标，再利用、两点求出直线的解析式，设出直线上点的坐标，结合轴得到抛物线上点的坐标，进而表示出的长度即的半径，接着分与轴相切、与轴相切两种情况，依据圆心到坐标轴的距离等于半径列绝对值方程，求解后舍去使为0的解，最终得到的半径． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和，对称轴为直线， ∴，解得． ∴， ∴；． 设抛物线解析式为； （2）解：由抛物线， 令，得，故． 设直线的解析式为， 代入、，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴， 即的半径． ①当与轴相切时， ，即． 当时，，此时，舍去； 当时，，解得或， 对应或． ②当与轴相切时， 即，即． 当时，，舍去； 当时，，解得或， 对应或． 综上，的半径为或． 32．（2026·河北·三模）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，求劣弧的长． (2)如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】(1) (2)相切 (3)3 【分析】（1）由菱形的性质和证是等边三角形，再证出，最后由弧长公式计算即可； （2）连接，作于点N，由菱形的性质证出 ，根据切线的判定即可得答案； （3）设的半径为r，根据勾股定理得，计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 劣弧的长=； （2）解：如下图，连接，作于点N， 与相切于点M， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， 是的半径， 又， 与相切； （3）解：设的半径为r，则， ， ， ， ，解得：， 的半径为3． 33．平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． (1)如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； (2)已知点，，点D在y轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为1．若上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)或 【分析】（1）①作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点，根据题意可得点必定在上，即；求得点和点的坐标，可得是等腰直角三角形，则，进而可判断点是关于直线的映像点，然后利用两点坐标距离公式求得即可； ②先判断当、、、四点共线时，最小，再作，垂足为，判断是等腰直角三角形得到，由勾股定理可得，则，利用锐角三角函数求得和即可求解； （2）设点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为，则点在上，先推导出直线过定点，设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上，进而点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上，分为①当外圆与相切时，圆最小，即最小；②当内圆过点时，圆最大，即最大两种情况分别求解即可． 【详解】（1）①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴只有点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； （2）解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由题意，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即 ②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 34．（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 【答案】(1)①点、点；②或 (2) 【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形； （1）①根据定义判断即可；②“完美生成点”就是该点到圆心的距离等于圆心角所对弦的弦心距，据此可求出坐标； （2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”，线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，即线段上的所有点到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（）所对的弦的弦心距，分别算出和时的弦心距与半径的关系即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：①在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以正好经过点D，如图所示： ∴过点的直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以两次经过点F，如图所示： ∴过点有两条直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴， ∴将直线绕圆心O旋转，直线无法经过点E，如图所示： ∴点不是的“生成点”． 综上：点、点为的“生成点”． 故答案为：点、点． ②在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， 过点作，过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线有且只有一次经过点P， ∴过点P的直线与有两个交点，这样的直线只存在一条，且，点P为的“完美生成点”， ∴当点G在x轴正半轴时，点P坐标为，当点G在x轴负半轴时，点P坐标为， ∵直线直线上除点以外的其他点到圆心的距离大于弦心距， ∴直线直线上除点以外的其他点会有两条直线经过，不是的“完美生成点”． （2）解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， ∴此时线段上的点到点的距离， ∴线段上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且， ∵，，， ∴，解得：， ∴当一个圆的半径时，可以使得线段在这个圆的内部且线段上的所有的点到圆心的距离，即线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且， ∴半径的取值范围为． 35．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 【答案】(1)3 (2)①，②弦长大于的长． (3)或． 【分析】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键． （1）根据，解直角三角形求出，在直角三角形中求出即可解答； （2）①当与边相切于点时，则，即，可得，继而由列方程求出； ②连接，，分别求出，，进而求出，，再比较大小即可； （3）分当与相切时，点在圆内，两种情况讨论，画出图形求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ （2）解：①连接， 当与边相切于点时，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ②连接，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当与相切时，设切点为，如图， 由上述结果可知，，， ∴， ， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1， ②过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴是直径，此时， 当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为1， 综上所述，的值的取值范围是或． 试卷第2页，共41页 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 目 录 A组 巩固过关 题型01直线与圆的位置关系 题型02已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围 题型03由直线与圆的位置关系求点到直线的距离 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 直线与圆的位置关系题型01 1．（2026年四川成都市新都区中考数学二诊试卷）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 4．圆的半径为，当圆心到直线l的距离为下列数值时，直线l和圆分别有几个公共点？它们与圆有怎样的位置关系？ (1)；(2)；(3)． 5．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围题型02 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型03 11．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（2025·浙江杭州·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 15．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 16．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 17．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 19．如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 21．中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是_____________ 22．（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 23．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 八、C 24．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 27．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 29．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 30．（2026·河北张家口·三模）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 31．（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径． 32．（2026·河北·三模）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，求劣弧的长． (2)如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 33．平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． (1)如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； (2)已知点，，点D在y轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为1．若上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 34．（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 35．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 试卷第2页，共41页 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $