专题13 圆弧面约束下的平抛运动 讲义 -2026-2027学年高一物理暑期能力提升

高中物理 高一暑期能力提升 专题13 圆弧面约束下的平抛运动 【方法解读】 圆弧面约束的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ== 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　 【例1】　(2025·内蒙古赤峰市期中)水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽中以速度大小v0沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求： (1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v； (2)槽口和冲击点的高度差h； (3)槽口和冲击点的水平距离x。 【例2】　(2025·福建厦门市检测)固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为53°(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.v1∶v2=1∶9 B.t1∶t2=1∶4 C.甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量 D.落在D点的小球垂直打在圆弧上 【例3】　(2025·海南省创新中学协作体联考)如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1∶v2=2∶3，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则(　　) A.乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B.甲球做平抛运动的时间为 C.甲球做平抛运动的初速度大小为 D.若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 【针对性训练】 1 .(2026·东北三省重点高中联合体模拟)如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=60°，一小球(可视为质点)在圆轨道左侧的A点以速度v0=5 m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. m B.5 m C. m D. m 2 如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，半径R=0.2 m，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.初速度越大，小球运动时间越长 B.初速度不同，小球运动时间一定不同 C.小球落到轨道瞬间，速度方向可能沿半径方向 D.小球初速度v为1 m/s时，小球运动时间最长 3 (2025·吉林松原市模拟)如图，一倾角为30°的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q(可视为质点)同时由斜面顶端以相等的初速度大小v0向左、向右水平抛出，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若初速度v0=，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B.若初速度v0=，P球将落到斜面的底端 C.若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D.在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 4.(2025·黑龙江哈尔滨高三期中)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　) A.圆环的半径为R＝ B.小球从P点运动到Q点的时间为t＝ C.小球从P点到Q点的速度变化量为 D.小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝ 5 如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过。已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s 6. （2024江西吉安一中期末）半径为R半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，O是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，∠COD=60°。现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从O点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的E点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A. 小球在D点的速度方向由O指向D B. 小球在D点的速度大小为 C. 小球在O点的速度大小为 D. 小球由D到E运动的时间为 7. （2026安徽阜阳联考）如图所示，水平地面上固定一个半径m的半圆形轨道，在轨道左侧有离地高度m的平台，小球从平台上的A点水平抛出，恰好垂直撞在半圆形轨道的B点，BO和竖直方向的夹角，C点为半圆顶点，g取10m/s2，求： （1）小球到B点的水平位移； （2）若小球平抛的初速度增大一倍，小球能否越过半圆形轨道顶点C。 8 (2026昆明质检)如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃到水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 （1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值； （2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。 9 (8分)(2025·河北保定市期中)如图所示，某人从平台上水平抛出一弹性球，与平台右侧固定的四分之一圆形轨道的A点发生碰撞，碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中。已知圆形轨道半径为5R，圆心O与A点连线跟竖直方向夹角为37°，弹性球抛出时离地高度为R，忽略空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求： (1)(5分)弹性球抛出后运动到A点所用的时间； (2)(3分)弹性球水平抛出时的速度大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高一暑期能力提升 专题13 圆弧面约束下的平抛运动 【方法解读】 圆弧面约束的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ== 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　 【例1】　(2025·内蒙古赤峰市期中)水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽中以速度大小v0沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求： (1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v； (2)槽口和冲击点的高度差h； (3)槽口和冲击点的水平距离x。 答案　(1)　(2)　　(3) 解析　(1)如题图乙，水流落在轮叶上的速度v沿水车切线方向，速度v与竖直方向的夹角为θ，有vsin θ=v0 可得v= (2)竖直方向有vy==gt 槽口至冲击点高度为h=gt2 得h= (3)槽口和冲击点的水平距离即为平抛运动的水平位移，由于平抛运动的等时性，水在水平方向的运动时间也为t，则有x=v0t 解得x=。 【例2】　(2025·福建厦门市检测)固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为53°(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.v1∶v2=1∶9 B.t1∶t2=1∶4 C.甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量 D.落在D点的小球垂直打在圆弧上 答案　A 解析　设半圆形竖直轨道半径为R，根据两小球的轨迹，由数学知识可知x1=R-Rsin 53°=R，y1=Rcos 53°=R，x2=R+Rsin 53°=R，y2=Rcos 53°=R，两小球竖直方向的位移相同，两小球下落的时间相同，即t1=t2，水平位移之比为1∶9，所以水平速度之比为1∶9，故A正确，B错误；在竖直方向上两球下落时间相同，加速度相同，则甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；假设落在D点的小球垂直打在圆弧上，此时速度方向沿半径，则速度的反向延长线交水平位移的中点，应在圆心处，因为水平位移小于2R，所以速度的反向延长线不可能交于圆心，故D错误。 【例3】　(2025·海南省创新中学协作体联考)如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1∶v2=2∶3，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则(　　) A.乙球末速度方向与水平方向的夹角更大 B.甲球做平抛运动的时间为 C.甲球做平抛运动的初速度大小为 D.若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上 答案　C 解析　由于两球同时抛出、同时落在圆弧面上，因此两球平抛运动的时间相等，下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量vy相同，设末速度方向与水平方向的夹角为θ，由tan θ=，v1∶v2=2∶3，可知甲球末速度方向与水平方向的夹角更大，故A错误；由平抛运动的水平方向位移x=v0t，可知甲、乙两球做平抛运动的水平位移之比为x1∶x2=2∶3，由x1+x2=R得甲球做平抛运动的水平位移为x1=R，根据几何关系，两球做平抛运动下落的高度h==R，由h=gt2，联立解得t=2，故B错误；甲球做平抛运动的初速度大小为v1==，故C正确；若甲球做平抛运动的初速度大小为2，由于甲球下落R高度时的水平位移x=2·=R，小于R，因此甲仍能落在圆弧面上，故D错误。 【针对性训练】 1 .(2026·东北三省重点高中联合体模拟)如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=60°，一小球(可视为质点)在圆轨道左侧的A点以速度v0=5 m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. m B.5 m C. m D. m 答案　A 解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tan α=，x=v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x= m，故选A。 2 如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，半径R=0.2 m，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.初速度越大，小球运动时间越长 B.初速度不同，小球运动时间一定不同 C.小球落到轨道瞬间，速度方向可能沿半径方向 D.小球初速度v为1 m/s时，小球运动时间最长 答案　D 解析　平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，下落的高度不一定大，则运动的时间不一定长，速度不同的小球下落的高度可能相等，如关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故A、B错误；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向反向延长线过圆心O，由平抛运动物体在任意时刻的瞬时速度反向延长线一定通过此时水平位移中点，可知与小球从A点抛出这一条件矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误；当小球落在半圆轨道最低点时，运动时间最长，由R=vt和R=gt2，可得v=1 m/s，故D正确。 3 (2025·吉林松原市模拟)如图，一倾角为30°的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q(可视为质点)同时由斜面顶端以相等的初速度大小v0向左、向右水平抛出，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若初速度v0=，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B.若初速度v0=，P球将落到斜面的底端 C.若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D.在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 答案　AC 解析　如图所示，与斜面对称的斜边交圆弧于M点，两球只有落到高度相同的M、M'点，两球才可同时撞在斜面与圆弧上，此时有x=R=v0t，y=R=gt2，解得v0=，故A正确；若P球落到斜面底端有R=g，R=v0t1，解得v0=，故B错误；当P球恰好落到斜面底端时，Q球轨迹如图中的抛物线所示，由图可知Q在圆弧上的落点距地面高度高于，故C正确；当v0<时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 4.(2025·黑龙江哈尔滨高三期中)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　) A.圆环的半径为R＝ B.小球从P点运动到Q点的时间为t＝ C.小球从P点到Q点的速度变化量为 D.小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝ 答案　A 解析　以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，故D错误;小球在Q点的竖直方向的速度为vQy＝v0tan θ，小球从P点运动到Q点的时间t＝，故B错误;小球在水平方向做匀速直线运动，有Rsin θ＝v0t，圆环的半径为R＝，故A正确;小球从P点到Q点的速度变化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C错误。 5 如图所示，一个半径为R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的右上方C点掠过。已知O为半圆柱体侧面半圆的圆心，OC与水平方向夹角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s B.小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s C.小球做平抛运动的初速度为4 m/s D.小球做平抛运动的初速度为6 m/s 答案　AC 解析　小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度方向与水平方向的夹角为37°，tan 37°＝，设位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝tan 37°＝，因为tan θ＝，解得y＝ m，根据y＝gt2，可得小球从B点运动到C点所用时间为t＝ s＝0.3 s，故A正确，B错误;小球做平抛运动的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正确，D错误。 6. （2024江西吉安一中期末）半径为R半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，O是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，∠COD=60°。现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从O点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的E点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A. 小球在D点的速度方向由O指向D B. 小球在D点的速度大小为 C. 小球在O点的速度大小为 D. 小球由D到E运动的时间为 【参考答案】B 【名师解析】 小球从O到D点做平抛运动，根据平抛运动规律速度的反向延长线过水平位移中点，小球从O点抛出，故D点的速度方向不可能由O指向D，故A错误； 小球从O到D点做平抛运动，则有 ， 解得小球在O点的初速度大小为 故C错误； 根据上述可以解得，小球由O到D的运动时间 从O到E的运动过程有 解得 则小球从D到E的运动时间为 故D错误； ．结合上述可知，小球在D点的速度大小为 ，故B正确。 7. （2026安徽阜阳联考）如图所示，水平地面上固定一个半径m的半圆形轨道，在轨道左侧有离地高度m的平台，小球从平台上的A点水平抛出，恰好垂直撞在半圆形轨道的B点，BO和竖直方向的夹角，C点为半圆顶点，g取10m/s2，求： （1）小球到B点的水平位移； （2）若小球平抛的初速度增大一倍，小球能否越过半圆形轨道顶点C。 【答案】（1）1.2m；（2）能 【解析】 （1）小球运动到B点时，其竖直位移 m 所用时间 s 设初速度为，则 解得 m/s 小球到B点的水平位移 m （2）半圆形轨道顶点C到A点的水平距离为 m 竖直距离为 m 小球平抛的初速度增大一倍，则 m/s 小球的水平位移为时所用时间 竖直距离 说明此时小球在C点上方，即小球能越过半圆形轨道顶点C。 8 (2026昆明质检)如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃到水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 （1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值； （2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。 【答案】(1) (2) 0.6s 【解析】 （1）若选手以速度水平跳出后，能跳在水平跑道上，则： 解得： （2）若选手以速度水平跳出，因，人将落在弧形坡上 下降高度： 水平前进距离： 且： 联立解得： t=0.6s 9 (8分)(2025·河北保定市期中)如图所示，某人从平台上水平抛出一弹性球，与平台右侧固定的四分之一圆形轨道的A点发生碰撞，碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中。已知圆形轨道半径为5R，圆心O与A点连线跟竖直方向夹角为37°，弹性球抛出时离地高度为R，忽略空气阻力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求： (1)(5分)弹性球抛出后运动到A点所用的时间； (2)(3分)弹性球水平抛出时的速度大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中，说明到达A点时速度方向沿半径方向，在A点时的竖直速度为vy== 则所用时间为t== (2)弹性球水平抛出时的速度大小 v0=vytan 37°=。 1 学科网（北京）股份有限公司 $