专题5 平衡中的临界极值问题 讲义-2026年高一物理暑期能力提升

该高中物理讲义以“平衡中的临界极值问题”为核心，通过框架图系统梳理知识体系，涵盖临界问题（摩擦力、绳子拉力、支持力）、极值问题及解题方法（极限法、数学分析法、物理分析方法），清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“方法-例题-训练”的递进设计，如例2通过数学分析法结合“摩擦角”模型求拉力最小值，培养科学思维中的科学推理与模型建构能力。针对性训练包含高考真题及模拟题，分层设置，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化探究，助力教师实施精准教学。

高中物理 高一暑期能力提升 专题5 平衡中的临界极值问题 【方法解读】 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例1】　(2026河南名校联考)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平地面间动摩擦因数的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　分析可知，只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最小。整体分析有FN=2mg，Ff=F板，设O1O2与水平地面的夹角θ，对甲，由平衡条件得F板= 联立解得Ff= 可知θ角越小，Ff越大，故甲柱体刚接触地面时Ff最大，此时乙与水平地面间的动摩擦因数最小，由几何关系得sin θ==，即θ最小为30°。则Ff==μFN=μ·2mg 解得μ=，故选A。 【例2】　如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 答案　2 N 解析　方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F==(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ① 再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin=mgsin α ② 联立①②得Fmin=2 N。 【总结提升】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 【针对性训练】 1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30° 可得μ≥tan 30°=，B正确。 2.(2025·河北卷·4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　) A.G B.G C.G D.G 答案　B 解析　对小球进行受力分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°=G，解得Fm=G，故选B。 3.(2025·浙江省强基联盟联考)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧)，用两个吊钩钩住绳圈长边的中点起吊(如图所示)，钢丝绳与水平方向的夹角为α，若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ，为了满足安全起吊(不考虑钢丝绳断裂)，需要满足的条件是(　　) A.tan α>μ B.tan α<μ C.sin α>μ D.sin α<μ 答案　B 解析　要起吊重物，只需满足绳子张力FT的竖直分量小于钢丝绳与板材之间的最大静摩擦力，一般情况最大静摩擦力等于滑动摩擦力，如图所示， 即FTcos α·μ>FTsin α 化简可得tan α<μ，故B正确，A、C、D错误。 4.如图甲所示，我国自主研发的“章鱼”触手机器人能抓取任意形态的物体，可负载260倍自重。如图乙所示，圆锥体母线和高线之间的夹角α=37°，该机器人对圆锥体的弹力方向垂直于圆锥体侧面，靠机器人和圆锥体之间的摩擦力将圆锥体抓起。若该机器人竖直向上抓起圆锥体时施加的弹力足够大，则机器人和圆锥体之间的动摩擦因数至少为(已知sin 37°=，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　机器人对圆锥体的弹力方向垂直于圆锥体侧面，设弹力为FN，摩擦力为Ff，圆锥体的重力为mg。若机器人竖直向上能够抓起圆锥体，在竖直方向则满足mg+FNsin α≤Ffcos α，Ff=μFN，联立解得μ≥tan α+，该机器人竖直向上抓起圆锥体时施加的弹力足够大，则μ≥tan α=，故选C。 5 （2025·贵州贵阳模拟）如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　） A.24 kg B.20 kg C.16 kg D.12 kg 答案：C 解析：根据题意可知，甲对绳子的拉力大小等于甲的重力，对结点O，受力分析如图所示，则当乙与地面的静摩擦力达到最大时，物体甲的质量最大，有TB＝μm乙g＝m甲gtan 37°，解得物块质量最大为m甲＝16 kg，故A、B、D错误，C正确。 6. （2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　） A.100 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 答案：C 解析：设拉力F与斜面夹角为θ，则他恰好拉动重物时有Fcos θ＝mgsin 15°＋μ，整理可得F＝＝＝，故当sin＝1时，m最大，则他能拉动的重物质量最大为m＝＝200 kg，故选C。 7.（2025·重庆沙坪坝三模）如图所示，小明将一小型条形磁铁对着原本用轻绳竖直悬挂的金属小球（未触地）作用，金属小球缓慢上升，轻绳偏离竖直方向较小角度。该过程中小磁铁和小球连线与竖直方向的夹角保持不变，则（　　） A.轻绳拉力逐渐变大 B.轻绳拉力逐渐变小 C.磁铁与小球的距离不变 D.磁铁与小球的距离变大 答案 B 解析：　金属球缓慢上升时，以球为研究对象进行受力分析，可知小球在竖直方向上偏一个较小角度时，轻绳拉力T逐渐减小，磁铁对小球作用力F逐渐增大，则二者距离逐渐变小。故选B。 8.（2025·海南三亚模拟预测）如图，物体A、B相对静止，共同沿粗糙斜面匀速下滑，若默认最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，则下列说法中正确的是（　　） A.A与B之间可能没有摩擦力 B.B受到斜面的滑动摩擦力大于mBgsin θ C.B与斜面的滑动摩擦因数μ＞tan θ D.A与B的滑动摩擦因数一定等于B与斜面间的滑动摩擦因数 答案 B 解析：　A、B整体，受力情况如图甲所示，由共点力平衡条件得f＝（mA＋mB）gsin θ，FN＝（mA＋mB）gcos θ，滑动摩擦力为f＝μFN，由以上三式可以解得μ＝tan θ，故B正确，C错误；A物体，受力情况如图乙所示，由共点力平衡条件可得fA＝mAgsin θ，FNA＝mAgcos θ，滑动摩擦力为fmax＝μABFNA，又有fmax≥fA，联立以上关系式可解得μAB≥tan θ＝μ，故A、D错误。 9.（2025·株洲一模）碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d为（　　） A.R B.R C.R D.R 答案 D 解析：　设生米粒的质量为m，当米粒受到碗的摩擦力达到最大时，米粒距碗口的距离最小，设支持力与水平方向的夹角为θ，以生米粒为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件有mgcos θ＝fm，fm＝μFN，FN＝mgsin θ，联立解得μ＝，而根据几何关系有cos θ＝，sin θ＝，联立解得d＝R，故选D。 10.（2025·河北省名校联盟模拟考试）如图所示，质量分别为m和2m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a固定在轻杆一端，轻杆另一端固定在左侧竖直墙壁上且与竖直墙壁的夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力F的大小和方向，但轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则（　　） A.轻绳上的拉力一定小于2mg B.外力F的最小值为mg C.轻杆对小球a的作用力的方向不变 D.轻杆对小球a的作用力的最小值为3mg 答案 B 解析：　对小球b进行受力分析如图甲所示，并作出力的矢量三角形，如图乙所示，当改变作用在小球b上的外力F的大小和方向时，由图乙知轻绳上的拉力可能小于2mg，可能等于2mg，也可能大于2mg，所以选项A错误；外力F的最小值为Fmin＝2mgsin 60°＝mg，选项B正确；由于轻杆是“死杆”，所以轻杆对小球a的作用力的方向可以变化，选项C错误；当轻绳的拉力为零时，轻杆对小球a的作用力最小，最小值为mg，选项D错误。 11 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）这一临界角θ0的大小。 答案：（1）　（2）60° 解析：（1）如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析 由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30° 解得μ＝tan 30°＝。 （2）设斜面倾角为α时，物体无法向上滑行，受力情况如图乙所示，由平衡条件得 Fcos α＝mgsin α＋Ff' FN'＝mgcos α＋Fsin α，Ff'≤μFN' 解得F≤ 当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时 不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高一暑期能力提升 专题5 平衡中的临界极值问题 【方法解读】 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例1】　(2026河南名校联考)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平地面间动摩擦因数的最小值为(　　) A. B. C. D. 【例2】　如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【总结提升】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 【针对性训练】 1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A. B. C. D. 2.(2025·河北卷·4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　) A.G B.G C.G D.G 3.(2025·浙江省强基联盟联考)在吊运表面平整的重型板材(混凝土预制板、厚钢板)时，如因吊绳无处钩挂而遇到困难，可用一根钢丝绳将板拦腰捆起(不必捆的很紧)，用两个吊钩钩住绳圈长边的中点起吊(如图所示)，钢丝绳与水平方向的夹角为α，若钢丝绳与板材之间的动摩擦因数为μ，为了满足安全起吊(不考虑钢丝绳断裂)，需要满足的条件是(　　) A.tan α>μ B.tan α<μ C.sin α>μ D.sin α<μ 4.如图甲所示，我国自主研发的“章鱼”触手机器人能抓取任意形态的物体，可负载260倍自重。如图乙所示，圆锥体母线和高线之间的夹角α=37°，该机器人对圆锥体的弹力方向垂直于圆锥体侧面，靠机器人和圆锥体之间的摩擦力将圆锥体抓起。若该机器人竖直向上抓起圆锥体时施加的弹力足够大，则机器人和圆锥体之间的动摩擦因数至少为(已知sin 37°=，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　) A. B. C. D. 5 （2025·贵州贵阳模拟）如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　） A.24 kg B.20 kg C.16 kg D.12 kg 6. （2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　） A.100 kg B.100 kg C.200 kg D.200 kg 7.（2025·重庆沙坪坝三模）如图所示，小明将一小型条形磁铁对着原本用轻绳竖直悬挂的金属小球（未触地）作用，金属小球缓慢上升，轻绳偏离竖直方向较小角度。该过程中小磁铁和小球连线与竖直方向的夹角保持不变，则（　　） A.轻绳拉力逐渐变大 B.轻绳拉力逐渐变小 C.磁铁与小球的距离不变 D.磁铁与小球的距离变大 8.（2025·海南三亚模拟预测）如图，物体A、B相对静止，共同沿粗糙斜面匀速下滑，若默认最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，则下列说法中正确的是（　　） A.A与B之间可能没有摩擦力 B.B受到斜面的滑动摩擦力大于mBgsin θ C.B与斜面的滑动摩擦因数μ＞tan θ D.A与B的滑动摩擦因数一定等于B与斜面间的滑动摩擦因数 9.（2025·株洲一模）碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d为（　　） A.R B.R C.R D.R 10.（2025·河北省名校联盟模拟考试）如图所示，质量分别为m和2m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a固定在轻杆一端，轻杆另一端固定在左侧竖直墙壁上且与竖直墙壁的夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力F的大小和方向，但轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则（　　） A.轻绳上的拉力一定小于2mg B.外力F的最小值为mg C.轻杆对小球a的作用力的方向不变 D.轻杆对小球a的作用力的最小值为3mg 11 如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数； （2）这一临界角θ0的大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $