精品解析：山东省日照市东港区南湖镇中心初级中学2022-2023学年九年级上学期数学素养提升竞赛试题_

南湖镇中心初级中学2022年九年级数学素养提升竞赛试题 （时间：60分钟，分值：100分 ） 一、选择题（共8小题；共48分） 1. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    ) A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的两根为、，根据根与系数的关系得到，，由于，变形得到，则，然后解方程，满足的的值为所求. 【详解】设方程的两根为、，则，， ， ， ， ，， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，，也考查了一元二次方程的根的判别式. 2. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如图，连接BD， ∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°. ∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD． ∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°. ∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C. 3. 在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（ ） A. （0，0） B. （0，2） C. （2，﹣4） D. （﹣4，2） 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2， ∴=1，=﹣1，解得x=2，y=﹣4， ∴P1（2，﹣4）． 同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，∴每6个数循环一次． ∵=335…5， ∴点P2015的坐标是（0，0）． 故选A． 4. 在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ） A. AC+CB＝AD+DB B. AC+CB＜AD+DB C. AC+CB＞AD+DB D. AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系解题． 【详解】解：如图； 以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE； ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB； ∵∠DAC＝∠CBE， ∴∠DAC＝∠CEB； ∵AC＝CE， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA； ∴AD＝DE； ∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD， ∴AC+BC＞BD+AD； 故选：C． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF=BF=AE=BG=2， ∴DE=3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN=DE=3，MN=MG， ∴CM=5-2-MN=3-MN， 在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2， ∴（3+NM）2=（3-NM）2+42， ∴NM=， ∴DM=3+=， 故选A． 6. 如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 时大时小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题． 【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F， 则△BEO∽△OFA， ∴， 设点B为（a，），A为（b，）， 则OE=-a，EB=，OF=b，AF=， 可代入比例式求得，即， 根据勾股定理可得：OB=，OA=， ∴tan∠OAB=== ∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变． 故选：D 【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定及锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答． 7. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A. 2≤k≤8 B. 2≤k≤9 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8 【答案】B 【解析】 【详解】∵点C(1,2),BC∥y轴,AC∥x轴， ∴当x=1时，y=−1+6=5， 当y=2时，−x+6=2，解得x=4， ∴点A. B的坐标分别为A(4,2),B(1,5)， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点(x,−x+6)时k值最大， 则k=x(−x+6)=−x²+6x=−(x−3) ²+9， ∵1⩽x⩽4， ∴当x=3时，k值最大， 此时交点坐标为(3,3)， 因此，k的取值范围是2⩽k⩽9. 故选B. 点睛: 本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键． 8. 如图，抛物线与轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确； ∵2≤c≤3， 而c=-3a， ∴2≤-3a≤3， ∴-1≤a≤-，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x=1时，二次函数值有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 二、填空题（共4小题；共24分） 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2013 【解析】 【分析】根据方程的解的定义得到，再由一元二次方程根与系数的关系得到，然后变形整体代入求值即可． 【详解】解：由题意可得 ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴． 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______. 【答案】4 【解析】 【分析】由，和坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】解：①∵，和坐标都满足函数，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的； 故答案是：4 【点睛】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握. 11. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_______． 【答案】10.5 【解析】 【分析】将求GE+FH的最大值转化为GH-EF的值，因为EF是△ABC的中位线，EF=，AB的长度不变，所以只要GH的长最大即可，当GH为直径时，其长度最大. 【详解】如图，连接OA，OB， ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°． ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA=OB=AB=7． ∵E、F是AC、BC的中点， ∴EF==3.5． ∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，∴要使GE+FH最大，即要GH最大． ∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和三角形的中位线的性质.将求GE+FH的最大值转化为求GH-EF的最大值，是解题的关键. 12. 如图，反比例函数（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF可求解. 【详解】方法1：如图，连接OB． ∵E、F是反比例函数（x＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，∴S△AOE=S△COF=×3=． ∵AE=BE， ∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=3． ∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=3﹣=． ∴F是BC的中点． ∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=6﹣﹣﹣×=． 方法2 设点E的坐标为，则点B的坐标为，于是由，可得点F的坐标为．如图所示，过点F作轴的线，交OE于点，则为OE的中点．故点的坐标为，于是，从而． 三、解答题（共2小题；共28分） 13. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ，其中不及格人数占样本人数的百分比为 ； （2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40，20%；（2），作图见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数是12，所占的百分比是30%，据此即可求得总人数； （2）利用360°乘以对应的百分比即可求得α的值，然后利用百分比的意义求得C级的人数，进而补全统计图； （3）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人），不及格人数占样本人数的百分比为：， 故答案为：40，20%； （2）根据题意得：360°×＝54°，C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， 故答案为：54°； （3）树状图如下： 共有12种等可能的情况，选中小明的有6种， ∴P（选中小明）＝＝． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，会求总数，部分的百分比，扇形的圆心角度数，会用列表法与树状图法求事件的概率． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解； （3）分BC为菱形的边、菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过， ∴ ∴ ∴ （2）设，将点代入 ∴ 过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F 设点，则 由铅垂定理可得 ∴面积最大值为 （3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5， 则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5， 联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）； 设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC为菱形的边时， 点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D）， 即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②， 当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③， 当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④， 联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）； 联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）； ②当BC为菱形的对角线时， 则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤， 此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥， 联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3， 故点E（1，−3）， 综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）． ∴存在， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南湖镇中心初级中学2022年九年级数学素养提升竞赛试题 （时间：60分钟，分值：100分 ） 一、选择题（共8小题；共48分） 1. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    ) A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1 2. 如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 3. 在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（ ） A. （0，0） B. （0，2） C. （2，﹣4） D. （﹣4，2） 4. 在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ） A. AC+CB＝AD+DB B. AC+CB＜AD+DB C. AC+CB＞AD+DB D. AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　） A. B. C. D. 6. 如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 时大时小 D. 保持不变 7. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A. 2≤k≤8 B. 2≤k≤9 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8 8. 如图，抛物线与轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（共4小题；共24分） 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______. 11. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_______． 12. 如图，反比例函数（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为___． 三、解答题（共2小题；共28分） 13. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ，其中不及格人数占样本人数的百分比为 ； （2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $