精品解析：山东省淄博市博山中学（五四制）2023-2024学年九年级上学期第二次测试数学试题

2023年12月12日初中数学周测/单元测试 一、单选题 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊锐角60°的三角函数正弦值得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解题关键． 2. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，进行解答． 【详解】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上， 掷第4次时，不会受前3次的影响， 掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种， 所以掷第4次时6点朝上的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键． 4. 将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是（ ） A. 左移2个单位，再下移6个单位 B. 左移2个单位，再上移6个单位 C. 右移2个单位，再下移6个单位 D. 右移2个单位，再上移6个单位 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可． 【详解】解：由题意得： 由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到抛物线． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键． 5. 如图，的三点都在上，AB是直径，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“直径所对的圆周角是90度”及“同弧所对的圆周角相等”解答即可. 【详解】∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵ ∴∠BCD=50° ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40° 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的相关推论，熟练的掌握“直径所对的圆周角是90度”及“同弧所对的圆周角相等”是关键. 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过解析式判断开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知：，即开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，有最大值为3，当时，随的增大而减小； 综上所述：只有C选项正确； 故选C． 7. 从、、0、1、2这5个数中任取一个数，作为函数的值(为常数)，则使函数图象与轴有两个交点的概率是(　　) A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，函数图象与轴有两个交点，说明这个函数为二次函数，满足＞0且，求得，找出满足的值即可做出选择． 【详解】根据题意，函数图象与轴有两个交点，则＞0且， 解得＜２且， 所以，满足条件的数有-2、-1、1， 本题要从5个数中任意抽取1个数，但符合要求的只有3个，故概率为． 故选：C． 【点睛】根据题意，学生要意识到题目中的函数为二次函数是解答本题的关键，另外不要忽视，在二次函数中，二次项系数不为0． 8. 如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，根据垂径定理得出，设半径为r，再根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】连接OB ∵且过圆心， ∴ 设半径为r，则 在中， 解得： ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接OB，构造直角三角形是解决本题的关键． 9. 如图，已知函数与反比例函数图像交于点．将的图像向下平移个单位后与双曲线交于点，与轴交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像的平移问题，可得直线的解析式，然后把代入即可确定点坐标；作轴于点，轴于点，易证得，则，设点坐标为，则，，得到点坐标为，然后根据反比例函数上点的坐标特征得，解得 的值，于是可确定点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数的解析式． 【详解】解：函数与反比例函数图像交于点，设点坐标为， ∵的图像向下平移个单位的直线， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， 如图所示，过点作轴于点，轴于点， ∴，， 根据平移，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点，在反比例函数的图像上， ∴，解得，， ∴， ∴把点代入反比例函数得，， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式，也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图像的平移问题，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 12. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__． 【答案】． 【解析】 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个， ∴配成紫色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 13. 如图所示，外接圆的圆心坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可． 【详解】解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心， ∵ P点坐标是P（5，2）， ∴ 外接圆的圆心坐标是（5，2）． 故答案为（5，2）． 【点睛】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质． 14. 如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理和求三角函数值．一般来说，初中数学中求角的三角函数值的方法有两种，一是构造直角三角形，根据定义求解；二是将角进行转化求解．本题应用了第二种方法，要深刻领会． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点 Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD．，若 AQ＝AC，AD＝4 时，写出BP的长为_________． 【答案】 . 【解析】 【分析】连接，通过圆周角定理及推论证明是的切线；再根据切线长定理求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， 是切线； ，为半径． 是切线， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， ． 故答案为： . 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、计算题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算．（1）（2）分别先代入特殊角的三角函数值，再化简计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． （1）首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； （2）若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可． （1）直接根据概率计算即可． （2）根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：从三名航天员中安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 汤洪波 唐胜杰 江新林 汤洪波 — 汤洪波，唐胜杰 汤洪波，江新林 唐胜杰 唐胜杰，汤洪波 — 唐胜杰，江新林 江新林 江新林，汤洪波 江新林，唐胜杰 — 由上表得共有6种可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故 航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为． 18. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） （1）求乙山处到河边的垂直距离； （2）求河的宽度（结果保留整数）． 【答案】（1）乙山B处到河边的垂直距离为520米 （2）河的宽度约为468米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 过点B作，垂足为E， ∵乙山的坡比为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为520米； 【小问2详解】 如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， ∴（米）， ∴河的宽度约为468米． 四、作图题 19. 如图，在网格内，、、、． （1）判断的形状； （2）画出的外接圆； （3）点P是第一象限内的一个格点，． ①写出一个点P的坐标_____； ②满足条件的点P有_____个． 【答案】（1）直角三角形 （2）见解析 （3）①或或或或；②5 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可确定的形状； （2）根据网格即可画出的外接圆． （3）点P是第一象限内的一个格点，．①根据网格，即可写出一个点P的坐标；②满足条件的点P有5个． 【小问1详解】 解：如图所示：由坐标可得：，，， ∴， ∴的形状是直角三角形． 【小问2详解】 的外接圆即为所求作的图形； 【小问3详解】 点P是第一象限内的一个格点，． ①点P的坐标为或或或或． ②满足条件的点P有5个． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、勾股定理及其逆定理、三角形的外接圆与外心，圆周角定理． 五、证明题 20. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 六、应用题 21. 第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而一“墩”难求；为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个． （1）求这两次技术改造日产量的平均增长率； （2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】（1）10% （2） 【解析】 【分析】（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，然后根据两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个，列出方程求解即可； （2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为4cm，高为8cm，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得（负值已经舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为10%； 【小问2详解】 解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为4cm，高为8cm， ∴ 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据三视图求几何体的表面积等等，熟知相关知识是解题的关键． 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 【答案】（1）y= （2）能 （3）2米 【解析】 【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为，用待定系数法即可求得； （2）将代入所求解析式中，求出的值与比较大小即可判断出结果； （3）把代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 【小问2详解】 解：在中， 令得 ， ∴此球能过网； 【小问3详解】 解：在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 23. 如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上． （1）求抛物线顶点A的坐标． （2）若是的外接圆，试求的半径． （3）当时，求点P到圆心I的距离． 【答案】（1） （2）圆的半径为； （3）点P到圆心I的距离为：． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本性质、一次函数的基本性质． （1）由抛物线顶点坐标公式即可求解； （2）由，即可求解； （3）当时，则，进而求解． 【小问1详解】 解：令，则或， 即点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即点； 【小问2详解】 解：由圆和抛物线的性质知，点A、I共线且在的中垂线上， 设点，设圆的半径为r， 由得：， 解得：，； 即圆的半径为； 【小问3详解】 解：由（2）知，点，，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线l的表达式为：， 当时，则， 则， 解得：， 则点P的坐标为：或， 由点P、I坐标知，， 或， 即点P到圆心I的距离为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年12月12日初中数学周测/单元测试 一、单选题 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是（ ） A. 左移2个单位，再下移6个单位 B. 左移2个单位，再上移6个单位 C. 右移2个单位，再下移6个单位 D. 右移2个单位，再上移6个单位 5. 如图，的三点都在上，AB是直径，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 7. 从、、0、1、2这5个数中任取一个数，作为函数的值(为常数)，则使函数图象与轴有两个交点的概率是(　　) A. B. C. D. 1 8. 如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，已知函数与反比例函数图像交于点．将的图像向下平移个单位后与双曲线交于点，与轴交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 12. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__． 13. 如图所示，外接圆的圆心坐标是________. 14. 如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点 Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD．，若 AQ＝AC，AD＝4 时，写出BP的长为_________． 三、计算题 16. 计算： （1） （2） 17. 2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． （1）首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； （2）若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 18. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） （1）求乙山处到河边的垂直距离； （2）求河的宽度（结果保留整数）． 四、作图题 19. 如图，在网格内，、、、． （1）判断的形状； （2）画出的外接圆； （3）点P是第一象限内的一个格点，． ①写出一个点P的坐标_____； ②满足条件的点P有_____个． 五、证明题 20. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 六、应用题 21. 第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而一“墩”难求；为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个． （1）求这两次技术改造日产量的平均增长率； （2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 23. 如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上． （1）求抛物线顶点A的坐标． （2）若是的外接圆，试求的半径． （3）当时，求点P到圆心I的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $