精品解析：山东省淄博市博山中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

博山中学2023-2024学年度第一学期期中考试 初四数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为，题目比较简单． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的定义：从左面观察物体所得到的视图是左视图（不可见的用虚线）即可得． 【详解】解：该几何体的左视图是 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了左视图，熟记左视图的定义是解题关键． 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点，则 C. 图象与坐标轴有公共点 D. 图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A． 的图像位于第一、三象限，故本选项不符合题意； B． 由的图像经过点，则，计算得或，故本选项不符合题意； C． 的图像与坐标轴有公共点，故本选项不符合题意； D． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 5. 如图，河堤的横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 10m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， ， m， 在中，由勾股定理得，（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 6. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用非负数相加和为0则每一项都为0，求出和的度数，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，， ∵ 在中，，， ∴，， ∵ 三角形内角和为， ∴. 7. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的符号即可估算的解． 【详解】解：由表格可得， 当时，，则， 当时，，则， ∴关于x的一元二次方程的一个解得取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A； B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能； C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能； D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系． 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（　　） A. a＝2.5 B. a＝3 C. a＝2 D. a＝3.5 【答案】B 【解析】 【分析】平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，平移后A（2，6-a） C（6，4-a），列得a=2（6-a）=6（4-a），计算可得． 【详解】解：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上， 平移后A（2，6-a），C（6，4-a）， ∴a=2（6-a）=6（4-a）， ∴a=3， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标符合解析式的特点，正确理解点平移的规律列得方程是解题的关键． 10. 我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x的增大而减小； ④当或时，函数的最小值是9； ⑤当与的图象恰好有3个公共点时或 其中结论正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断． 【详解】解：∵令，得， 令，则 解得， ∴与坐标轴的交点为，和， ∴结论①正确； 观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为， 故结论②正确； ∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大， 故结论③不正确； ∵当或5时，， ∴当或时，函数的最小值是0． 故结论④不正确； ∵函数与x轴的两个交点为，， 又∵与平行， ∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况： ①经过点，此时b=1， ②当与函数只有一个交点时， 则方程有两个相等的实数根， 将整理得：， ∴判别式， 解得：． 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与点P不在同一反比例函数上的点为___________． 【答案】B 【解析】 【分析】由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出点A、B、C的横纵坐标的积，比照后即可得出结论． 【详解】解：∵点P在反比例函数图象上， ∴． ∵点A的坐标为， ∴点A在反比例函数图象上； ∵点B的坐标为， ∴点B不在反比例函数图象上； ∵点C的坐标为， ∴点C在反比例函数图象上， 故与点P不在同一反比例函数图象上的是点B， 故答案为：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 12. 一只葡萄酒杯如图①所示，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，以顶点为原点建立如图②所示的平面直角坐标系，若，，则抛物线的表达式为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】设抛物线的解析式，结合，，则，代入解析式计算即可． 【详解】设抛物线的解析式， ∵，， ∴， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 13. 抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移规律左加右减，上加下减即可求得平移后的顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得出：，即； 得到顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 14. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设AE=BE=x，则CE=8-x，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：由题意得AE=BE=x，则CE=8-x ∵ ∴， 解得 ∴CE=8-x=， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，正切的定义等．勾股定理的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握． 15. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为1，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、． 直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：（负值舍去）， 点的横坐标为1， 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点的横坐标为； 同理可得：点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； ． 点的横坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键． 三、解答题：（16-19题，每题10分，20-21题，每题12分，22-23题，每题13分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数次幂、负整数指数次幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，然后合并解题． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，零指数次幂、负整数指数次幂法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：如图， ． 【点睛】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线． 18. 已知：抛物线与x轴有两个交点． （1）求m的取值范围； （2）当m为负整数时，求m的值及该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2），该抛物线与x轴的交点坐标， 【解析】 【分析】抛物线与x轴有两个交点即为相对应的一元二次方程有两个不等实数根，结合一元二次方程中根的判别式即可求得m的取值范围； 结合及本小题对m的要求确定m的取值后，将代入即为该抛物线的解析式，要求抛物线与x轴的交点坐标，使即可． 【小问1详解】 解：根据题意可理解为：一元二次方程有两个不等实数根， 即该一元二次方程中， m的取值范围为． 【小问2详解】 解：且m为负整数， ， 此时抛物线解析式为， 当时，， 该抛物线与x轴的交点坐标为，． 故且该抛物线与x轴的交点坐标为，． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程，解题关键是理解抛物线与一元二次方程的相互转化关系．小技巧：抛物线与x轴有两个交点即为相对应的一元二次方程有两个不等实数根，即；抛物线与x轴有交点即为相对应的一元二次方程有实数根，即；抛物线与x轴无交点即为相对应的一元二次方程无实数根，即． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，为木杆在x轴上的投影，，，过点P作轴，垂足为点M，交于点N，求的长． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质．根据坐标得出轴，的值，根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵，． ∴轴，， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， 即的长为9． 20. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角．求立柱的高为多少米（结果精确到米）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 【答案】19.2米 【解析】 【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G， 则四边形为矩形， ∴米，． ∴． ∴． 中，，（米）． ∴（米）． 中，， ∴（米）． ∴（米）． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围； （3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）观察图象特点，即可得出取值范围； （3）先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质求出线段长，最后由线段和差即可求出的长． 【小问1详解】 ∵，轴， ∴，点的纵坐标为， ∵点在图象上， ∴当时，，解得：， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 如图，在第二象限内，当时，， 【小问3详解】 如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：时，，解得：， ∴点， ∴，， ∴， ∴， ∴点． 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，相似三角形的判定等知识，注重数形结合是解答本题的关键． 22. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）该网店每星期的销售利润要不低于2400元，求销售单价x的取值范围？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元． （3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【解析】 【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论； （2）设该网店每星期的销售利润为w元，，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题． 【小问1详解】 由题意可得，； 【小问2详解】 设该网店每星期的销售利润为w元， 由题意可得，当时，， 解得，，， ∵二次项系数为， ∴开口向下， ∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元， ∴当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元． 【小问3详解】 ， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2023-2024学年度第一学期期中考试 初四数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点，则 C. 图象与坐标轴有公共点 D. 图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 4. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，河堤的横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ） A. 10m B. m C. m D. m 6. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（　　） A. a＝2.5 B. a＝3 C. a＝2 D. a＝3.5 10. 我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x的增大而减小； ④当或时，函数的最小值是9； ⑤当与的图象恰好有3个公共点时或 其中结论正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与点P不在同一反比例函数上的点为___________． 12. 一只葡萄酒杯如图①所示，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，以顶点为原点建立如图②所示的平面直角坐标系，若，，则抛物线的表达式为________． 13. 抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是______． 14. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_____． 15. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_________． 三、解答题：（16-19题，每题10分，20-21题，每题12分，22-23题，每题13分） 16. 计算： 17. 请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图． 18. 已知：抛物线与x轴有两个交点． （1）求m的取值范围； （2）当m为负整数时，求m的值及该抛物线与x轴的交点坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，为木杆在x轴上的投影，，，过点P作轴，垂足为点M，交于点N，求的长． 20. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角．求立柱的高为多少米（结果精确到米）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围； （3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标． 22. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）该网店每星期的销售利润要不低于2400元，求销售单价x的取值范围？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $