精品解析：江苏省扬州市仪征市第三中学2022-2023学年九年级上学期第二次周练（9.25）数学试卷

仪征市第三中学周末练习初三数学第二次 一．选择题（共8小题，满分24分） 1. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，解之即可． 【详解】关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记时，方程有两个相等的实数根是解题的关键． 2. 某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ） A.   B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-1移项后，在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方即可. 【详解】把方程x2+2x-1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1=1+1， 配方得（x+1）2=2． 故选C． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ） A. 18° B. 54° C. 36° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°， ∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°． ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°， ∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键． 5. 如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折变换求出OD=CD=3，OC=6，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D， ∴OD=CD=×9=3，OC=OD+CD=6， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC， 连接OA， 由勾股定理得：AC= =3， 即AC=BC=3， ∴AB=AC+BC=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC=BC是解此题的关键． 6. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将n代入方程，提公因式化简即可. 【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵， ∴n+m+2=0，即m+n=-2， 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键. 7. 如图，已知是的直径，A是半圆弧的中点，点D在劣弧上（不与点A，点C重合），与交于点E．设，，则α与β之间的数量关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再由圆周角等于圆心角的一半求得，根据三角形外角的性质得，整理即可． 【详解】解：∵是的直径，A是半圆弧的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（　　） A. 若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝ B. 若CD＝，则⊙O的半径是1 C. 若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形 D. 若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可． 【详解】解：A、∵OC＝OB＝2， ∵点E是OB的中点， ∴OE＝1， ∵CD⊥AB， ∴∠CEO＝90°，CD＝2CE， ∴ ， ∴，本选项错误不符合题意； B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意； C、∵∠A＝30°， ∴∠COB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△COB是等边三角形， ∴BC＝OC， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∴BC＝BD， ∴OC＝OD＝BC＝BD， ∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意． D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD， 所以四边形OCBD是菱形 ∴OC＝BC， ∵OC＝OB， ∴OC＝OB＝BC， ∴∠BOC＝60°， ∴，故本选项错误不符合题意．． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 二、填空题（共10题；共30分） 9. 方程2x2 ﹣8＝0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】移项变形后，直接利用开平方法进行求解即可． 【详解】解：移项，得， 方程两边同除以， 得， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 11. 如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______． 【答案】x=-2 【解析】 【分析】把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0，即可得出答案． 【详解】解：当把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0， 即方程一定有一个根为x=-2． 故答案为：x=-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 12. 如图，四边形内接于，延长至点，若，则的度数为______． 【答案】144°##144度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补和圆周角定理是解此题的关键． 13. 如图，是的直径，的长为，点D在圆上，且，则弦的长为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，构建直角三角形，根据等弧对等角和角对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 在半径为2的⊙O中，弦AB长为，点C为⊙O上一点且不与点A，B重合，则∠ACB的度数为______． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】如图，当点在优弧上时，作于，根据垂径定理得，在中利用锐角三角函数可求出，则根据三角形内角和定理得到，然后根据圆周角定理求解，当点在劣弧上时，利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当点在优弧上时，作于，则 在中，，， ， ， ， ， 当点在劣弧上时，， 综上所述，的度数为或． 故答案为：60°或120° 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形、三角函数的定义及特殊角的三角函数值，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；圆内接四边形的对角互补；会运用垂径定理构建直角三角形，记住特殊角的三角函数值是解题关键． 15. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由的内接四边形对角互补得，求出和，再根据三角形外角的性质求出和． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为，进而得到或，进行求解即可. 【详解】解：一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的根为， ∴的两个根满足或， 解得． 17. 如图，为的两条弦，若，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作分别垂直于和，连接，设的半径为r．可得四边形P为矩形，从而得到，在和中，根据勾股定理可得，，进而根据勾股定理可得，由此可得结论． 【详解】解：连接，作分别垂直于和，连接， 设的半径为r． ∵分别垂直于和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， 在和中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 即的半径为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________． 【答案】（，）##（，） 【解析】 【分析】连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H， ∵∠AOC=60°，则∠OCH=30°，且OC=3， ∴OH=OC=，CH=， ∵点A(4，0)， ∴AO=4， ∴AH= AO- OH=， 在Rt△ACH中， AC=， ∵∠BOA=90°， ∴AB为⊙M的直径， ∴∠BCA=90°， ∵∠AOC=60°， ∴∠ABC=60°，则∠BAC=30°， 在Rt△ABC中，BC=AB， AB2=AC2+BC2，即AB2=()2+(AB)2， ∴AB2=， 在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2=， ∴OB=， 点B的坐标是：（，）． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题（共10题；共96分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）原方程无实数根 【解析】 【分析】（1）先移项，再分解因式，方程转化成两个一元一次方程，即可求解； （2）根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可求解． 【小问1详解】 解： 方程整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴原方程无实数根． 20. 已知关于x的方程. （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）当a=1时，求该方程的根． 【答案】 （1）证明：∵∆=， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）x1=，x2= 【解析】 【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答； （2）将a=1代入方程，再根据根公式求出方程的根． 【详解】解：（1）略 （2）当a=1时，方程可化为， ∴， 解得：x1=，x2=． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由圆周角定理求得∠ADC，再根据四点共圆的性质，得到的值，最后根据与互补，求得的值． 【详解】解：由圆周角定理得，∠ADC∠AOC=150°＝75°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及四点共圆的性质，熟练掌握相关几何性质是解题的关键． 22. 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD． 【答案】 解：∵AB＝CD ∴弧AB＝弧CD ∴弧AC＝弧BD ∴∠AOC＝∠BOD． 【解析】 【分析】由AB＝CD可得弧AB＝弧CD，则可得弧AC＝弧BD，从而证得结论． 【详解】略 【点睛】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 23. 如图，已知中，弦，点P是弦上一点，，． （1）求的长； （2）过点P作弦与弦垂直，求证：． 【答案】（1）5 （2） 证明：过点作于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据垂径定理得到，根据 ，得到的长，根据勾股定理即可得出的长； （2）根据角平分线的性质先证明，再证明，结合垂径定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于， 则， ∵ ，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握垂径定理及全等三角形的判定是解题的关键． 24. 如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接． （1）填空：_________；（填“>”“=”或“<”） （2）求图中的面积． 【答案】（1）< （2） 【解析】 【分析】（1）利用三等分可知DC=DB，根据三角形的三边关系即可求出结果； （2）由条件可知四边形OBDC为菱形，据此即可求出三角形面积． 【小问1详解】 解：∵点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴DC=DB， ∵在中，， ∴， 故答案是：＜； 【小问2详解】 如图所示，连接OC、OD， 由（1）得：， ∵OC=OD=OB=2， ∴与均为等边三角形且全等， ∴四边形OBDC为菱形， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查的是圆中等分性质的应用，掌握圆的性质以及结合菱形的性质进行求解是解题的关键． 25. 如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1）为等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】(1) 由角平分线的定义可知，，，所以，所以，因为为直径，所以，所以是等腰直角三角形．(2)连接交于点．因为，所以．因为，所以垂直平分．由是等腰直角三角形，，可得．因为．设，则．在和中，，解出的值即可． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形． 证明：∵平分，平分， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵为直径， ∴． ∴是等腰直角三角形． 【小问2详解】 如下图， 连接交于点． ∵， ∴． ∵， ∴垂直平分． 由(1)知是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 设，则． 在和中，由勾股定理：， 即． 解得． ∴． ∴． 26. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 【答案】该玩具销售单价应定为元或元，售出玩具为件或件 【解析】 【详解】试题分析：设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600-10（x-40）]件，根据单件利润×销售数量=总利润即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 试题解析：设该玩具的销售单价应定为元 根据题意，得 解得 当时，件，当时，件. 答：该玩具的销售单价定为元时，售出500件；或售价定为元时售出200件. 27. 如图，在 中，，以为直径的圆交于点E，交于点F，过点D作交的延长线于点C，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求半圆的半径和菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4； 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合证明及计算问题，涉及菱形的判定、勾股定理的应用、圆的性质等知识点，解题的关键是综合运用上述知识点进行推理求解． （1）根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，即可证明四边形为菱形； （2）设菱形的边长为 ，则，根据勾股定理，求出半径，进而求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴四边形为菱形. 【小问2详解】 解：∵ ∴ 连接，则 设菱形的边长为 ，则 ∴，即 解得或（舍去） ∴ 菱形的面积为：. 28. 如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题． （1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； （2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2 ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 【答案】（1）28，42（2）每间教室瓷砖共需要5440元 【解析】 【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），然后将n=6代入计算即可； （2）设白色瓷砖的行数为n，根据每间教室面积为68m2为等量关系列出方程，进而求解即可． 【详解】（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块； 当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块； 当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块； 则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1）， 当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块； 故答案为28，42； （2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得： 0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68， 解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去）， 白色瓷砖块数为n（n+1）=240， 黑色瓷砖块数为4（n+1）=64， 所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元．   答：每间教室瓷砖共需要5440元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪征市第三中学周末练习初三数学第二次 一．选择题（共8小题，满分24分） 1. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ） A.   B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ） A. 18° B. 54° C. 36° D. 72° 5. 如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 7. 如图，已知是的直径，A是半圆弧的中点，点D在劣弧上（不与点A，点C重合），与交于点E．设，，则α与β之间的数量关系（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（　　） A. 若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝ B. 若CD＝，则⊙O的半径是1 C. 若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形 D. 若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60° 二、填空题（共10题；共30分） 9. 方程2x2 ﹣8＝0的解是_____． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 11. 如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______． 12. 如图，四边形内接于，延长至点，若，则的度数为______． 13. 如图，是的直径，的长为，点D在圆上，且，则弦的长为______ ． 14. 在半径为2的⊙O中，弦AB长为，点C为⊙O上一点且不与点A，B重合，则∠ACB的度数为______． 15. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 16. 若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 17. 如图，为的两条弦，若，则的半径为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________． 三、解答题（共10题；共96分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的方程. （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）当a=1时，求该方程的根． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数． 22. 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD． 23. 如图，已知中，弦，点P是弦上一点，，． （1）求的长； （2）过点P作弦与弦垂直，求证：． 24. 如图，点C，D分别是以为直径的半圆上的三等分点，，连接． （1）填空：_________；（填“>”“=”或“<”） （2）求图中的面积． 25. 如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 26. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 27. 如图，在 中，，以为直径的圆交于点E，交于点F，过点D作交的延长线于点C，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求半圆的半径和菱形的面积． 28. 如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题． （1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； （2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2 ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $