精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2021-2022学年九年级上学期期末测试数学试卷

2021—2022学年度第一学期九年级期末测试 数学 （本场考试时间120分钟满分150分） 友情提醒：试卷中所有答案都必须书写在答题卡指定的位置上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 2. 如图，在，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ） A. 3.5，5 B. 4，5 C. 3，5 D. 3.5，4 4. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 6. 将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 7. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，过点，下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共计30分．请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 关于x的方程kx2+2x+1=0是一元二次方程，则k应满足的条件是__________． 10. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________． 11. 电焊工用一个圆心角为120°，半径为24cm的扇形白铁片制作一个圆锥的侧面（假设焊接时缝隙宽度忽略不计），则这个圆锥的底面半径为_____cm． 12. 如图，已知是线段的黄金分割点，且，若表示为一边的正方形的面积，表示长是，宽是的矩形的面积，则________．（填“”“”或“”） 13. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为______________． 14. 如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ________．（取3） 15. 像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____． 16. 如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ____________________． 17. 抛物线（其中a为常数，且），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是_______． 18. 如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ___________． 三、解答题（本大题共9小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根是负整数，求正整数的值； 21. 某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）该班学生人数有________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 22. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证： （2）若的面积为2，求平行四边形的面积． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）观察图象，当时，的取值范围为 　　； （3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 24. 某公司分别在A、B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60元． （1）若A城的成本为1600元，则B城的成本为多少元？ （2）当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ 25. 如图，四边形内接于，为的直径，过点C作交的延长线于点E，延长，交于点F，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 26. 如图1，中，，，，点D是边上异于B、C两点的任意一点，将绕点A按逆时针旋转得到，其中直线和直线相交于点Q． （1）求证：； （2）在绕点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若没有发生变化，请求出的度数． （3）当时，连接，在旋转的过程中，求线段扫过的面积． 27. 如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年度第一学期九年级期末测试 数学 （本场考试时间120分钟满分150分） 友情提醒：试卷中所有答案都必须书写在答题卡指定的位置上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填涂在答题卡上） 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，是解题的关键． 根据一元二次方程一般式的各项系数，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的化为一般式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是：3，，， 故选：D． 2. 如图，在，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∴． 3. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ） A. 3.5，5 B. 4，5 C. 3，5 D. 3.5，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义，对给定数据排序后即可分别求解． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排列为：2、3、4、4、5、5、5，本组共7个数据， ∴最中间的数是第4个数，即中位数为4， ∵这组数据中5出现次数最多，共出现3次， ∴众数为5． 4. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求得，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得． 【详解】∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴． 故选B． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 5. 已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3． 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【点睛】考查判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离． 6. 将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=-x2的图象向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是：y=-（x+3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，过点，下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系，分别判断a，b，c的符号， 即可判断①；求出时的函数值，即可判断②；把代入，即可判断③；求出函数的最大值，即可判断④；根据，，即可得出，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∴， 故①不正确， ∵，当时，， ∴当时，， ∴， 故②不正确， ∵， ∴， 故③正确， ∵当时，，， ∴函数的最大值为：， ∴， ∴， 故④正确， 由上知， ，， ∴， 故⑤不正确， 综上：③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 8. 如图，在平行四边形 中，，点 从点 出发，以 的速度沿 匀速运动，点 从点 出发；以 的速度沿 匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图是 的面积 时间 变化的函数图象，当 的面积为 时，运动时间 为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况讨论即可，求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】由图、 图可知，当时，点与点重合； 当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，如图作，交的延长线于点，则 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当 时，则 ， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， 解得， ∴， 当时， 则， 解得，不符合题意，舍去， 综上所述，运动时间为， 故选：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法， 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共计30分．请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 关于x的方程kx2+2x+1=0是一元二次方程，则k应满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义直接进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程kx2+2x+1=0是一元二次方程， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：如图，，，， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，面积法，会用面积转化是解题的关键． 11. 电焊工用一个圆心角为120°，半径为24cm的扇形白铁片制作一个圆锥的侧面（假设焊接时缝隙宽度忽略不计），则这个圆锥的底面半径为_____cm． 【答案】8 【解析】 【分析】读懂题意，根据扇形白铁片的弧长与圆锥底面圆周长相等即可得出答案． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为cm， 根据题意得圆心角为120°，半径为24cm的扇形白铁片弧长为： ， 当扇形白铁片制作成一个圆锥的侧面时，圆锥地面圆周长为，即， 解得， 答：这个圆锥的底面半径为8 cm． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了扇形弧长与底面圆半径的计算，解题的关键是根据扇形白铁片的弧长与圆锥底面圆周长相等列出方程． 12. 如图，已知是线段的黄金分割点，且，若表示为一边的正方形的面积，表示长是，宽是的矩形的面积，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故答案为=． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 13. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵, ∴二次函数的图象的对称轴方程为直线， ∵二次函数的图象经过点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程解为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与x轴的交点坐标，此题难度不大． 14. 如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ________．（取3） 【答案】960 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：等边三角形的边长， ∴等边的周长是， ∵圆的周长， ∴烟花的截面周长， ∴组合烟花侧面包装纸的面积． 故答案为：960． 15. 像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____． 【答案】x＝﹣1 【解析】 【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x， 两边平方，得 x+5＝1﹣2x+x2， 解得x1＝4，x2＝﹣1， 检验：x＝4时，4+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解， 当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握． 16. 如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关于轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点代入解析式，确定函数的表达式，根据的长是定值，想使四边形的周长最小，只需的和最小，为此过点作对称轴的对称点，作点B关于x轴的对称点F，连接，交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F， 连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值， 将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴点B坐标为， 则点， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 所以所在直线解析式为． 当时，， ． 故答案为：． 17. 抛物线（其中a为常数，且），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：由抛物线，可得对称轴为直线，当时，当时，y随x的增大而增大，当时，当时，y随x的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴当，时，y随x的增大而增大， ∴当时，，时，， ∵当时，对应的函数值y恰好有3个整数值， ∴它的三个整数分别是，，， ∴， ∴． ∴当，时，y随x的增大而减小， ∴当时，，时，， ∵当时，对应的函数值y恰好有3个整数值， ∴它的三个整数分别是，，， ∴， ∴． 综上：或． 18. 如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交于点，在上取一点，使得，连接，．求出，．可得结论． 【详解】解：过点作交于点，在上取一点，使得，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 8， ﹣， ∴， ﹣， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根是负整数，求正整数的值； 【答案】（1） 证明： ， 故不论为何值，方程总有两个实数根； （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次方程以及根的判别式，求根公式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）先计算根的判别式，即可得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 方程有一个根是负整数， ， 故正整数的值为或或． 21. 某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）该班学生人数有________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，树状图求概率，概率公式，用样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图，获取信息是解题的关键． （1）用的人数除以所占百分比即可得到答案； （2）先求出E的人数，再用总人数减去的人数，求出的人数，补全图形即可； （3）用画树状图的方法求出所有的等可能结果数，找到符合题意的结果数，根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：人数：（人）， 故人数：（人）， 【小问3详解】 解：画树状图， 共有种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球占种， ． 22. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证： （2）若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，即可得到四边形的面积，再证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，由此可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）观察图象，当时，的取值范围为 　　； （3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的取值范围，利用割补法求面积，求一次函数解析式等，熟练掌握利用配方法和割补法是解题的关键． （1）将抛物线利用配方法可以转化为顶点式，从而解出答案． （2）由①知，顶点坐标为，计算出和时对应的y值，即可求解； （3）先利用二次函数与一元二次方程的关系求出点A的坐标，连接交y轴于点D，利用待定系数法求的解析式，进而求出点D的坐标，根据即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）知， 二次函数的顶点坐标为， 将代入，得， 将代入，得， 当时，的取值范围为：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象与轴交于、两点， 令， 解得，， ，， 二次函数图象与轴交于点， 令，得， ， 如图，连接交y轴于点D， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，得， ， ， ． 24. 某公司分别在A、B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60元． （1）若A城的成本为1600元，则B城的成本为多少元？ （2）当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ 【答案】（1）4200元 （2）当A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700元 【解析】 【分析】（1）令y=1600，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x=30，再求B城的生产成本即可； （2）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W元，则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：A城生产产品x件，则B城生产产品（100-x）件， 当y=1600时，则x2+20x+100=1600， 解得：x1=30，x2=-50（舍去）， 此时100-x=100-30=70（件）， ∴70×60=4200（元）， ∴B城的成本为4200元； 【小问2详解】 设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W元， 则W=x2+20x+100+60（100-x） =x2-40x+6100 =（x-20）2+5700， ∴当x=20时，W取得最小值，最小值为5700， 答：当A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700元． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，四边形内接于，为的直径，过点C作交的延长线于点E，延长，交于点F，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过连接半径，利用圆的性质、圆内接四边形的性质以及角度之间的等量代换，证明，从而得出为 圆的切线； （2）先通过作辅助线构造矩形， 利用勾股定理求出圆的半径，再根据得，求出线段的长度． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于 ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于，连接， ，则， ∵ ， ∴ 四边形是矩形， ∴ ，， 设的半径为 ， 在中，， ， ∴， ∴，， ， 由勾股定理，得 ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ． 【点睛】掌握圆有关的性质、切线的判定技巧、巧妙添加辅助线构造矩形，利用矩形的性质、勾股定理求出半径，再运用，得是解题的关键． 26. 如图1，中，，，，点D是边上异于B、C两点的任意一点，将绕点A按逆时针旋转得到，其中直线和直线相交于点Q． （1）求证：； （2）在绕点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若没有发生变化，请求出的度数． （3）当时，连接，在旋转的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到对应边成比例和对应角相等，从而证明三角形相似； （2）利用（1）中相似三角形的性质得到角的关系，进而推出四点共圆，再根据圆内接四边形的性质求出的度数； （3）先确定点的运动轨迹，再通过解直角三角形求出相关线段长度，进而分别求出扇形、、、弓形的面积，最终得到线段扫过的面积． 【小问1详解】 证明：∵绕点按逆时针旋转得到 ， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴点、、、共圆， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图， 作于，作的外接圆，连接，， 由 (2) 知， ， ∴点在上运动， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积． 【点睛】解题的关键在于证得，掌握四点共圆及圆内接四边形的性质、相似三角形的性质，能正确做出辅助线，找到点的运动轨迹，掌握解直角三角形的技巧及三角函数值的应用，勾股定理的应用，三角形面积公式、扇形的面积公式的应用． 27. 如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点D的坐标为 或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由轴，则，而与相似，则或，然后用解直角三角形的方法进行求解； （3）当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则，即可求解． 【小问1详解】 设抛物线的表达式为：， ∵， ， ∴， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 存在，理由： 当时，， ∴， 过点C作直线轴交抛物线于点R，设， 由知，， 则，即∠， ∵轴，则， ∵与相似， 则或； ①时，设于交于点S， ∵， ∴， ， 设，则，代入①，得 ， 解得，（舍去）， ∴， 则点； ②时， 延长交x轴于点H，则， ∵， ∴， 在中，过点H作的垂线交的延长线于点M， ∵， 设，则， 在等腰中，， 即， 解得：， 在中，， 即点， 由点C、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立①③得：， 解得：（舍去）或， 则点 综上，点Q的坐标为：或； 【小问3详解】 存在，理由： 设点D的坐标为， 根据点A、D的坐标，由待定系数法可求直线AD的表达式为，则点， 同理可得，直线BC的表达式为：，则点， 当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则， 即， 解得：或6， 即点或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到一次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质，其中，分类求解是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $