奥数培优专题08 积的变化规律与应用（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（人教版）

专题八 积的变化规律与应用 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：一个乘数不变的积的变化规律 3 考点二：积的变化规律在简便计算中的应用 4 考点三：利用规律推算未知算式的结果 5 考点四：找规律填数（11 类、99 类乘法规律） 6 第三部分 易错避坑指南 7 易错点 1：忽略“0 除外”的前提，规律适用范围错误 7 易错点 2：变化方向搞反，乘数扩大积反而缩小 8 易错点 3：双乘数变化只算一个，漏算另一个的影响 8 易错点 4：11 乘法中间相加满十，忘记进位 8 易错点 5：简便计算只扩不缩，结果倍数错误 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、基础夯实篇（8 题） 9 二、能力进阶篇（7 题） 9 三、思维跃迁篇（5 题） 10 第五部分 精准解析 11 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版四年级上册第四单元的算理核心培优内容，围绕积的变化规律及其应用展开，涵盖单乘数变化规律、积不变拓展、简便计算应用、未知算式推算、特殊算式找规律五大考点，建立“规律认知 - 简便应用 - 推理拓展”的完整计算能力体系，掌握变量对应、归纳推理、等值转化等核心方法，深化对乘法算理的理解，为后续运算律学习与复杂简算奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 单乘数变化的积规律 一个乘数不变，另一个乘 / 除以几（0 除外），积也同步乘 / 除以几 规律套用法、变量对应法 忽略“0 除外”的前提；变化方向搞反，乘除颠倒 积不变规律拓展 一个乘数乘几，另一个除以相同的数（0 除外），积的大小保持不变 等值转化法、凑整调整法 乘除的倍数不相等，导致积的大小改变 简便计算应用 利用积的变化规律凑整，将复杂乘法转化为整百整千的口算 凑整简算法、扩缩调整法 只扩大不缩小，忘记等值还原，结果出现偏差 未知算式推算 根据已知乘法算式的结果，利用规律直接写出相关算式的积 递推计算法、分步调整法 多个乘数变化时，只算一个的影响，漏算另一个 特殊算式找规律 11 类、99 类乘法的数字规律，归纳通用公式快速口算 归纳猜想法、公式速算法 11 乘法中间相加满十漏进位；记错 99 类简算公式 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 规律套用发 单乘数变化基础题 找不变的乘数→看另一个的变化→积同步变化 一个不变，另一个咋变，积就咋变 等值转化法 凑整简便计算题 拆出凑整因数→一个扩一个缩→保证积不变 扩几倍，缩几倍，积不变，好计算 递推计算法 未知算式推算题 对比已知算式→逐个看乘数变化→分步调整积 先看每个乘数怎么变，积跟着分步变 归纳猜想法 找规律填数题 计算前几个特例→总结数字规律→套用算结果 先算前几个，找出共同点，规律就出现 差量推理法 错中求解类题 算乘数的变化差→对应积的差量→反推原数 差量对应差倍，相除得原数 三、奥数思维提升 1. 函数思想：变量间的对应变化关系 核心要点：乘法算式中，一个乘数固定不变时，另一个乘数的变化会引起积的同步变化，二者变化方向和倍数完全对应。这种一个量变化、另一个量随之按固定规律变化的对应关系，就是基础的函数思想，是后续数学学习的重要思想基础。 示例：已知 6×8=48，6 不变，8 乘 3 变成 24，积也会乘 3 变成 144；8 除以 2 变成 4，积也除以 2 变成 24。积的变化始终和可变乘数的变化保持一致，二者一一对应。 2. 转化思想：等值变形的简便计算 核心要点：利用积不变的规律，把复杂的、不好算的乘法算式，转化成整百、整千的简单口算题，数值大小不变，但计算难度大幅降低，这就是转化思想在计算中的典型应用。 示例：计算 25×28，直接列竖式比较麻烦，利用积不变规律，把 25 乘 4 变成 100，同时把 28 除以 4 变成 7，算式转化为 100×7=700。通过等值转化，笔算题变成了口算题，又快又准。 3. 归纳思想：从特例到普遍规律 核心要点：通过计算多个同类的特殊算式，观察数字的共同特点，总结出通用的计算规律，再用规律解决同类所有题目。从个别到一般的归纳过程，是发现数学规律的核心方法。 示例：计算 11×11=121、11×12=132、11×13=143，观察发现“两边一拉、中间相加”的共同规律，归纳后就能快速算出所有 11 乘两位数的结果，不用逐个列竖式。 4. 推理思想：由已知向未知的递推 核心要点：不用重新计算，只根据已知算式的结果，通过分析乘数的变化，一步步推理出新算式的积。每一步变化都有规律依据，环环相扣，培养逻辑推理能力。 示例：已知 15×12=180，不用计算就能推出 15×36 的结果：12 变成 36 乘了 3，积也乘 3，180×3=540。通过规律推理，替代了重复计算，提升了计算效率。 5. 优化思想：计算方法的最优选择 核心要点：同一道乘法题可以有多种计算方法，利用积的变化规律进行凑整简算，是步骤最少、准确率最高的方法。主动选择最优解法，追求计算效率最大化，体现了数学中的优化思想。 示例：计算 125×48，可以列竖式笔算，也可以拆分计算，最优方法是利用积不变规律，125 乘 8 得 1000，48 除以 8 得 6，1000×6=6000，一步口算就能得出结果。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：一个乘数不变的积的变化规律 典型例题 1（基础型）—— 乘数扩大的规律应用 题目：已知 14×5=70，不计算直接写出 14×15 的结果。 思路点拨： ① 对比两个算式，乘数 14 保持不变，另一个乘数从 5 变成 15，乘了 3； ② 根据积的变化规律，一个乘数不变，另一个乘 3，积也同步乘 3； ③ 计算得：70×3=210。 【答案】 【知识点睛】一个乘数不变，另一个乘数乘几（0 除外），积就乘相同的数。 典型例题 2（提高型）—— 乘数缩小的规律应用 题目：已知 36×15=540，如果 15 不变，36 除以 9，积变成多少？ 思路点拨： ① 乘数 15 不变，另一个乘数 36 除以 9； ② 根据规律，积也同步除以 9； ③ 计算得：540÷9=60。 【答案】 【知识点睛】一个乘数不变，另一个乘数除以几（0 除外），积就除以相同的数。 典型例题 3（奥数型）—— 差量反推原积 题目：一道乘法算式，一个乘数不变，另一个乘数乘 4 后，积比原来多了 120。原来的积是多少？ 思路点拨： ① 另一个乘数乘 4，积也乘 4，相当于积变成了原来的 4 倍，比原来多了 3 倍； ② 多出来的 3 倍对应数值 120； ③ 求原来的积用除法：120÷(4-1)=40。 【答案】 【知识点睛】利用差倍关系，积的增加量对应乘数变化带来的倍数差，反推即可得到原积。 考点二：积的变化规律在简便计算中的应用 典型例题 1（基础型）—— 25 类凑整简算 题目：用积不变规律简算：25×16 思路点拨： ① 25 和 4 相乘能凑成 100，利用积不变规律，把 25 乘 4，同时把 16 除以 4； ② 算式转化为：(25×4)×(16÷4)=100×4； ③ 口算得结果：100×4=400。 【答案】 【知识点睛】一个乘数扩大几倍，另一个乘数缩小相同的倍数，积不变，通过调整凑整简化计算。 典型例题 2（提高型）—— 125 类凑整简算 题目：用简便方法计算：125×72 思路点拨： ① 125 和 8 相乘得 1000，把 125 扩大 8 倍，同时 72 缩小到原来的八分之一； ② 原式转化为：(125×8)×(72÷8)=1000×9； ③ 计算得：1000×9=9000。 【答案】 【知识点睛】见到 125 优先凑 8，利用积不变规律调整数字，凑出整千数实现口算。 典型例题 3（奥数型）—— 扩缩法错解辨析 题目：小明计算 25×12 时，写成了 (25×4)×(12×4)，这样算出来的结果和正确结果相比有什么变化？ 思路点拨： ① 正确的积不变应该是一个乘 4、另一个除以 4，小明两个都乘了 4； ② 两个乘数都乘 4，积会乘 4×4=16 倍； ③ 因此错误结果是正确结果的 16 倍，扩大了 16 倍。 【答案】扩大到原来的 16 倍 【知识点睛】积不变要求乘和除的倍数相等，若两个乘数同向变化，积会发生倍数叠加的变化。 考点三：利用规律推算未知算式的结果 典型例题 1（基础型）—— 单变量推算 题目：根据 23×30=690，直接写出下面两个算式的结果：23×90、23×15 思路点拨： ① 23×90：23 不变，30 变成 90 乘了 3，积也乘 3：690×3=2070； ② 23×15：23 不变，30 变成 15 除以 2，积也除以 2：690÷2=345； ③ 两个结果分别为 2070 和 345。 【答案】2070；345 【知识点睛】只有一个乘数变化时，积的变化和该乘数的变化完全一致。 典型例题 2（提高型）—— 双变量分步推算 题目：已知 12×20=240，如果 12 乘 3，20 除以 4，此时积是多少？ 思路点拨： ① 第一步：12 乘 3，积先乘 3：240×3=720； ② 第二步：20 除以 4，积再除以 4：720÷4=180； ③ 最终的积是 180。 【答案】 【知识点睛】两个乘数都变化时，分步依次调整积的大小，每一步对应一个乘数的变化。 典型例题 3（奥数型）—— 倍数变化推理 题目：两个数相乘，一个乘数乘 5，另一个乘数乘 2，积会怎么变化？ 思路点拨： ① 第一个乘数乘 5，积先扩大到原来的 5 倍； ② 第二个乘数乘 2，积在 5 倍的基础上再扩大 2 倍； ③ 总倍数：5×2=10，积扩大到原来的 10 倍。 【答案】扩大到原来的 10 倍 【知识点睛】两个乘数同时扩大，积扩大的倍数是两个乘数扩大倍数的乘积。 考点四：找规律填数（11 类、99 类乘法规律） 典型例题 1（基础型）—— 11 乘两位数规律 题目：用规律快速计算：11×25，11×63 思路点拨： ① 11 乘两位数规律：两边一拉，中间相加，把两位数的两个数字拉开，中间填两个数字的和； ② 11×25：2 和 5 拉开，中间 2+5=7，结果为 275； ③ 11×63：6 和 3 拉开，中间 6+3=9，结果为 693。 【答案】275；693 【知识点睛】“两边拉、中间加”是 11 乘两位数的核心速算口诀，计算速度远快于竖式。 典型例题 2（提高型）—— 99 乘两位数规律 题目：用规律计算：99×42，99×78 思路点拨： ① 99 乘一个数，等于 100 个这个数减去 1 个这个数，即结果 = 该数 ×100 - 该数； ② 99×42=4200-42=4158； ③ 99×78=7800-78=7722。 【答案】4158；7722 【知识点睛】99 类乘法可以转化为整百数减原数的差，不用列竖式直接口算得出结果。 典型例题 3（奥数型）—— 111 类回文数规律 题目：找规律填空：1×1=1，11×11=121，111×111=12321，那么 1111×1111=？ 思路点拨： ① 观察前三个结果，都是回文数，几个 1 相乘，结果就从 1 按顺序写到几，再倒着写回 1； ② 1111 是 4 个 1，结果从 1 写到 4 再写回 1； ③ 因此结果为 1234321。 【答案】 【知识点睛】相同个数的 1 相乘，结果呈金字塔形回文结构，是经典的数学规律。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：忽略“0 除外”的前提，规律适用范围错误 错误示例：认为“一个乘数除以几，积也除以几”在除数为 0 时也成立。正确分析：0 不能做除数，所以所有“除以几”的规律都必须加上“0 除外”的前提，否则没有意义。 修正方法：描述规律时，只要涉及除法，立刻补充“0 除外”，牢记除数不能为 0 的基本规则。 易错点 2：变化方向搞反，乘数扩大积反而缩小 错误示例：一个乘数乘 2，认为积要除以 2 才能保持不变，乘除方向完全颠倒。正确分析：一个乘数不变，另一个乘几积就乘几；要让积不变，一个乘几另一个就要除以几，二者方向相反。 修正方法：做题前先判断是“积同步变”还是“积不变”，同步变方向相同，积不变方向相反。 易错点 3：双乘数变化只算一个，漏算另一个的影响 错误示例：两个乘数都乘 2，认为积也乘 2，漏算了另一个乘数的扩大效果。正确分析：两个乘数同时变化，积的变化是两个变化的叠加，扩大倍数相乘、缩小倍数相除。 修正方法：遇到两个乘数都变的题，分步计算，先变第一个、再变第二个，一步一步来不遗漏。 易错点 4：11 乘法中间相加满十，忘记进位 错误示例：计算 11×57，中间 5+7=12，直接写成 5127，没有向前一位进位。正确分析：中间相加满十要向前一位进 1，正确结果应该是 627，百位 5 加进位 1 变成 6。 修正方法：用 11 的规律计算后，检查中间相加是否满十，满十就向前一位加 1，再验证结果位数。 易错点 5：简便计算只扩不缩，结果倍数错误 错误示例：简算 25×24，把 25 乘 4 变成 100，24 不做调整，直接算 100×24，结果扩大了 4 倍。正确分析：利用积不变规律简算，一个乘数扩大几倍，另一个就要缩小相同的倍数，积才不变。 修正方法：凑整调整后，立刻检查另一个乘数有没有做反向调整，保证一乘一除倍数相等。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 一个乘数不变，另一个乘数乘 6，积也____________。 2. 已知 15×8=120，那么 15×24=____________。 3. 两个数的积是 180，一个乘数不变，另一个除以 9，积变成____________。 4. 11 乘两位数的速算口诀是：两边一____________，中间相____________。 5. 判断：一个乘数乘几，积就一定乘几，没有任何限制条件。（ ） 6. 计算 99×8，可以用____________减__________的方法快速算出结果。 7. 已知 125×8=1000，那么 125×32=____________。 8. 要让积不变，一个乘数乘 5，另一个乘数应该____________。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 根据 32×15=480，直接写出下面三个算式的结果： 32×45= 16×15= 64×30= 10. 用积不变规律简算：25×36 11. 用规律快速计算：11×48，11×92 12. 用规律计算：99×57，999×6 13. 两个数相乘，一个乘数乘 6，另一个乘数除以 3，积会怎么变化？ 14. 判断：两个乘数同时乘 10，积也会乘 10。（ ） 15. 一道乘法算式，一个乘数增加 8，另一个不变，积增加了 96，另一个乘数是多少？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 根据规律直接写出结果：11111×11111= 9999×9999= 17. 两个数相乘的积是 240，一个乘数乘 4，另一个乘数也乘 5，现在的积是多少？ 18. 小马虎做乘法题时，把一个乘数 36 看成了 9，结果得到的积是 108，正确的积是多少？ 19. 找规律填空：9×9=81，99×99=9801，999×999=998001，那么 99999×99999=____________。 20. 一个乘数乘 10，另一个乘数除以 2，得到的积是原来的多少倍？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】乘 6 思路点拨： ① 一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘相同的数。 【知识点睛】积的变化基本规律。 2. 【答案】 思路点拨： ① 15 不变，8 变成 24 乘了 3； ② 积也乘 3：120×3=360。 【知识点睛】单乘数扩大的规律应用。 3. 【答案】 思路点拨： ① 一个乘数不变，另一个除以 9，积也除以 9； ② 180÷9=20。 【知识点睛】单乘数缩小的规律应用。 4. 【答案】拉；加 思路点拨： ① 11 乘两位数速算口诀：两边一拉，中间相加。 【知识点睛】11 类乘法的基础口诀。 5. 【答案】 思路点拨： ① 除以几的时候必须 0 除外，乘几也不能乘 0，规律有适用前提。 【知识点睛】积变化规律的前提条件。 6. 【答案】； 思路点拨： ① 99×8=100×8 - 8=800-8=792。 【知识点睛】99 类乘法的简算思路。 7. 【答案】 思路点拨： ① 125 不变，8 变成 32 乘了 4，积也乘 4； ② 1000×4=4000。 【知识点睛】125 类乘法的规律推算。 8. 【答案】除以 5 思路点拨： ① 积不变规律：一个乘几，另一个就要除以相同的数（0 除外）。 【知识点睛】积不变规律的基础应用。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】1440；240；1920 思路点拨： ① 32×45：15 乘 3，积乘 3：480×3=1440； ② 16×15：32 除以 2，积除以 2：480÷2=240； ③ 64×30：32 乘 2、15 乘 2，积乘 4：480×4=1920。 【知识点睛】单变量与双变量的综合推算。 10. 【答案】 思路点拨： ① 利用积不变规律，25×4=100，36÷4=9； ② 原式转化为 100×9=900。 【知识点睛】25 类乘法的凑整简算。 11. 【答案】528；1012 思路点拨： ① 11×48：4 和 8 拉开，中间 4+8=12，满十进 1，得 528； ② 11×92：9 和 2 拉开，中间 9+2=11，满十进 1，得 1012。 【知识点睛】11 乘法满十进位的情况。 12. 【答案】5643；5994 思路点拨： ① 99×57=5700-57=5643； ② 999×6=6000-6=5994。 【知识点睛】99、999 类乘法的简算规律。 13. 【答案】扩大到原来的 2 倍 思路点拨： ① 先乘 6 积扩大 6 倍，再除以 3 积缩小到三分之一； ② 总变化：6÷3=2，积扩大到原来的 2 倍。 【知识点睛】一乘一除的综合变化判断。 14. 【答案】 思路点拨： ① 两个乘数都乘 10，积会乘 10×10=100 倍，不是 10 倍。 【知识点睛】双乘数同时扩大的积变化规律。 15. 【答案】 思路点拨： ① 乘数增加 8，积增加 96，说明 8 个另一个乘数就是 96； ② 另一个乘数：96÷8=12。 【知识点睛】差量法反推未知乘数。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】123454321；99980001 思路点拨： ① 5 个 1 相乘，结果从 1 写到 5 再写回 1，得 123454321； ② 4 个 9 相乘，结果是 3 个 9、1 个 8、3 个 0、1 个 1，得 99980001。 【知识点睛】1 类和 9 类乘法的规律拓展。 17. 【答案】 思路点拨： ① 两个乘数分别乘 4 和乘 5，积扩大的倍数是 4×5=20 倍； ② 现在的积：240×20=4800。 【知识点睛】双乘数扩大的积变化计算。 18. 【答案】 思路点拨： ① 36 看成 9，除以了 4，积也除以了 4 得到 108； ② 正确的积：108×4=432。 【知识点睛】错中求解的逆向还原。 19. 【答案】 思路点拨： ① 规律：n 个 9 相乘，结果有 (n-1) 个 9、1 个 8、(n-1) 个 0、1 个 1； ② 5 个 9 相乘，4 个 9、1 个 8、4 个 0、1 个 1，即 9999800001。 【知识点睛】9 类自乘的数字规律归纳。 20. 【答案】倍 思路点拨： ① 先乘 10 扩大 10 倍，再除以 2 缩小一半； ② 总倍数：10÷2=5，是原来的 5 倍。 【知识点睛】乘除混合的积变化倍数计算。 1 学科网（北京）股份有限公司 $